专题检测九数列通项与求和

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1、第11页共7页专题检测(九)数列通项与求和A组一一“6+ 3 + 3”考点落实练一、选择题n + i1.若数列an的通项公式是 an= ( 1) (3n 2)，贝V ai + a2 + a2 020=()A. 3 027B.3 027C. 3 030D.3 030解析：选 C 因为 ai+ a2+ + a2 020= + a2)+ (a3+ a4)+ + (a2 019+ a2 020)= (1 4)+ (7 10)+ (3 X 2 019 2) (3 X 2 020 2) = ( 3) X 1 010= 3 030,故选 C.an +11 一2.已知数列an满足玄+1+ 1 = 2，且a2=

2、 2，贝V a4 =()1A. 2B.23C.12D.11解析：选Da + 11因为数列an满足一-，所以an+1+ 1 = 2(an+ 1)，即数列an+ 1是an+1 + 12等比数列，公比为2,则 a4+ 1 = 22(a2+ 1) = 12,解得 a4= 11.23.(2019广东省六校第一次联考)数列 an的前n项和为Sn= n+ n + 1 , bn =(n*1) an(n N )，则数列bn的前50项和为()A.49B.50C.99D.100解析：选A由题意得，当 n2时，an= Sn Sn-1 = 2n，当n= 1时，a1= S1 = 3,所以数列bn的前 50 项和为(3+

3、4) + ( 6+ 8) + + ( 98 + 100) = 1 + 2X 24= 49,故选 A.4.已知数列an是等差数列，若a2, a4+ 3, a6+ 6构成公比为q的等比数列，则q=()A.1B.2C.3D.4解析：选A 令等差数列 an的公差为d，由a2, a4+ 3, a6+ 6构成公比为q的等比数 列，得(a4+ 3)2= a2(a6 + 6)，即 + 3d + 3)2= + d)(6 + 5d + 6)，化简得(2d+ 3)2= 0,解得3.所以q =a4+ 3a23a1 23a1 2=1.故选A.3a1 25.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门

4、石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处浮雕共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个浮雕，这些浮雕构成一幅优美的图案，若从最下层往上,浮雕的数量构成一个数列an，则Iog2（a3a5）的值为（）A.8B.10D.16C.12解析：选C 依题意得，数列an是以2为公比的等比数列,因为最下层的浮雕的数量为(1 27)印，所以 S7=1 - 2= 1 016，解得 a1 = 8,所以 an= 8 x 2n 1 = 2n*2(i w nW 7, n N ),所以 a3= 25, a5= 27,从而 a3x a5= 25x 27= 212,所以 Iog2(a3a5

5、)= Iog2212= 12,故选 C.6.（2019洛阳市统考）已知数列an, bn的前n项和分别为Sn, Tn,且an0, 6Sn= a* +3an,bn =2an(给-1) ( 2an+1_ 1)，若kTn恒成立，则k的最小值为（B.丄498C.49D.441解析：选 B T 6Sn= a2+ 3an, - 6Sn+1 = a：+1 + 3an+1,二 6an+ 1= (an +1 + an)(an +1 an)+ 3(an+ 1 an),-(an+1 + an)(an+1 an) = 3(an+ 1 + an), an0 , an+ 1 + an0，二 an + 1 an = 3 ,

6、又 6a1 = a + 3a 1, a 1 0 ,. a1 = 3.二an是以3为首项，3为公差的等差数列，an= 3n,1 f 11 )/ 11 、/ 11 Y| 1 fl 1)-Tn = 7 . Lb- 1 82- 1.丿 + 运2 1 83 - 1.丿 + + Un- 1_ 8n+1- 1丄=7 7 8n+1- 1 丿0，因为a1= 2, a2+ 2+ 4a= 4a2 +1,所以(anq4 (n+ 1).)2 + 40n= 4(anq)2,化为 q （n+ 1）9.（2019福州市质量检测）已知数列an的前n项和为Sn，a1 = 1，且Sn=入n- 1（入为常数）,若数列bn满足anbn

7、=-+ 9n-20,且bn+10,解得 q= 2.n + 1则数列an的通项公式an= 2X ( 2)n-1= 2丁.n+ 1答案：汀8.(2019安徽合肥一模改编)设等差数列an满足a2= 5, a6+ a$= 30，则an=,1 、 数列 ；2_ 1 |的前 n项和为.解析：设等差数列an的公差为d.T an是等差数列，/ a6+ a$= 30= 2a7,解得a7= 15,1 1 1a7 a2 = 5d.又 a2 = 5，贝V d = 2. an = a2 + (n 2)d = 2n + 1. 2 =二an 1 4n (n + 1)4偌出卜話的前n项和为珊-异G-抄+冷)=驻nh)=所以a

8、1=入一1 = 1,解得=2,n所以所以因为所以所以anbn=- n2+ 9n-20,2,n + 9n 20bn=2*-1 .n2 11n+ 28(n 4)( n 7)bn +1 bn=n0,解得4n0,所以an= 2n1(n N*).(2)bn = -= 2n+ 1 J2n 1 ,an十 an+1 2n 1 + 72n+ 1*故数列bn的前 n 项和 Tn= b1 + b2 + bn= c.3 1) + C5 3) + (.2n+ 1 2n 1)= 2n + 1 1.11.已知数列an的前 n 项和 Sn= 2n“一2, bn= |n+ 2n.(1)求数列an的通项公式；求数列anbn的前n

9、项和Tn.解：(1)当 nA2 时，an= Sn Sn-1 = 2n+1 2 2n+ 2= 2n,当 n = 1 时，a1= S1= 2,所以 an= 2n.a(2) / bn= 2+ 2n= 2n + 1 ,. anbn = (2n+ 1) 2n. Tn= 3X 2+ 5x22+ 7X 23 + + (2n+ 1) 2n,2Tn= 3 x 22+ 5 x 23 + 7 x 24 + (2n + 1) 2n+1, Tn= 6 + 23 + 24 + + 2n+1 (2n + 1) 2n+1= 6 +23 (12n31 2(2n + 1)2n+1=2 (2n 1) 2n+1 Tn= (2n 1)

10、 2n+1 + 2.12.(2019郑州市第二次质量预测)数列an满足：暑+ 02 +話n2 + n, n (1)求an的通项公式；19设bn=，数列bn的前n项和为Sn,求满足5的最小正整数n.a20解：(1)由题意知，乎+乎+_at； = n2 + n,23n 十 1当 n A2 时，J+ 詈+ = (n 1)2+ n 1,两式相减得，= 2n, an = 2n(n+ 1)(nA 2).n+ 1当 n = 1 时，a1= 4 也符合，所以 an= 2n(n+ 1), n N*.所以Sn= 2 .+丄=n+ 12 (n+1)由盼2(占 9得n 9所以满足条件的最小正整数n为10.B组一一大题

11、专攻强化练1.(2019河北省九校第二次联考)已知an是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn,且1Sn为an与一的等差中项an(1)求数列an的通项公式；(-1) n 亠设bn=，求bn的前n项和Tn.an解：(1)由题意知，2Sn= an + -，即 2Snan- a= 1，an当n = 1时，由式可得a1 = S1 = 1;当 n 2 时，an= Sn - Sn-1，代入式，得 2Sn(Sn Sn-1) (Sn Sn-=1 , 整理得 s2- s2-1 = 1.所以S2是首项为1,公差为1的等差数列，Sn= 1 + n- 1 = n. 因为an的各项都为正数，所以Sn= . n,所以 an

12、= Sn Sn-尸飞.；n-奄n- 1(n2),又 a1= S1 = 1，所以 an= n - ：n 1.，-、.(1)(, 八 n,厂t、(2)bn =-= -=( 1) ( , n+ .n 1),an 寸 n寸 n 1当n为奇数时，Tn=- 1+ ( 2+ 1) -( 3+ . 2) + + ( n- 1+ n 2)- ( n + n 1) = - ,n;当n为偶数时，Tn=- 1+ ( 2+ 1) - ( 3+ . 2) + 一(n - 1+ n - 2) + ( n + , n - 1) = , n.所以bn的前n项和Tn= ( 1)Vn.2.(2019安徽省考试试题)已知等差数列an

13、中，as-玄3= 4，前n项和为Sn,且$, & 1 , S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式；4n令bn= ( - 1)n，求数列bn的前n项和Tn.anan+ 1解：(1)设an的公差为 d，由 as- a3= 4,得 2d = 4, d= 2.= 2a1 + 2, S3 1 = 3a1 + 5, S4= 4a1+ 12,又 S2, S3 1, S4成等比数列， (3ai + 5)2 = (2ai + 2) (4ai+ 12),解得a1= 1,an= 2n 1.(2)bn = ( 1)n_ = ( 1)nnan an +1丄+亠n 1 2n+ 1 ，当n为偶数时，Tn = 1 + 3

14、 + 1 + 5 +2n 3 2n 1当n为奇数时，1+1 + 3+5-2n 3 2n 1亠+亠2n 1 2n+ 1 Tn = 1 n2n + 12n2n+ 1，2n+ 22n+ 1.n为偶数,-Tn =2n + 22n+ 1，n为奇数.M-数列”.3.（2019江苏高考题节选）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“(1)已知等比数列an(n N)满足:a2a4 = a5, a3 4a?+ 4a1 = 0，求证：数列a*为“ M-数列”；*122已知数列bn（n N ）满足：b1 = 1, S = b ，其中S为数列 bn的前n项和.求数列5的通项公式.解：（1）证明：设等比数列an的公比为q

15、，所以玄产0, q丰0.,a2a4= a5,口m得3 4a2+ 4a1 = 0,ag = a1q ,2a1q 4a1q+ 4a1 = 0,解得a1= 1，因此数列an为“M-数列”.q = 2.因为S = 2 T2-，所以bn* 0.Sn bnbn+112 2由 b1= 1, S1 = B,得； = ；，贝U b2= 2.11b2bnbn+ 1,1 2_2_由 Sn= bn bn +1 得=2 ( bn +L 5) .bnbn+1bn- lbn当 n 2 时，由 bn= Sn Si-1，得 bn=-b ) b厂，整理得 bn +l+ bn-2 ( bn + 1 bn)2 ( bn-bn-1)1

16、 = 2bn.所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列bn的通项公式为bn = n(n N).n + 1n + 14.已知数列an满足：a1 = 1, an +1 = 一an + 一a(1)设bn=岸，求数列 bn的通项公式；求数列an的前n项和Sn.解:(1)由n+1,an + n可得an+1an , 1=+n+1n 2又 bn=乎 所以 bn+1 -bn = 2,由 a1 = 1,得 6= 1 ,1 1 1所以12-1，即 bn= 2-所以当 n2 时，(b2 b1)+ (b3 b2)+ (bn - bn-1)=于 + 戸十+1,=1满足上式，所以c 丄 *bn= 2 2*-1(n N).f1(2)由(1)可知an= 2n-，设数列 甘气的前n项和为Tn, 贝V Tn= + + 尹，1123n?Tn=尹歹+ J3 +尹由一得，1 丄11111 n 2 2n n n + 2Tn=尹 + 2+ 22+ 尹1 -歹= 1 -歹=2-p-2 1 -1 2所以Tn = 4 -宾.所以数列 an的前n项和Sn= n(n + 1) 4+-1.Sn= 2an - 1，所以 Sn- 1 = 2an -1 - 1(n2),an= 2an-1,.数列an是等比数列，首项是 1，公比是2,所以an= 2n-1