八年级数学上册第14章勾股定理教案教师版华东师大版

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1、本资料来自网络 如有雷同概不负责 共享资料 我们只是传递的媒介第14章 勾股定理14.1勾股定理(1)1、发现并验证直角三角形三边的关系勾股定理；2、能直接利用勾股定理进行计算；3、体验发现勾股定理的过程，体会数形结合的数学思想；4、了解勾股定理的有关史料，激发学习数学的兴趣。新课引入：方式一：我们在七年级下期学习了等腰三角形，现在开始学习直角三角形的一个重要性质-勾股定理。板书课题14.1勾股定理(1)方式二：请大家在练习本上画一个直角三角形，观察直角边和斜边之间的关系：两直角边之和大于斜边，斜边大于直角边。除此以外还有其他关系吗？这就是我们要继续学习的内容。板书课题14.1勾股定理(1)

2、课前热身：请同学们预习P48-P51的内容。独立完成下面四个问题：1、勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。2、如图14.1.1，以直角三角形ABC的三边为边长向形外画正方形，这三个正方形的面积之间满足关系： AC2+BC2=AB2 3、在RtABC中，C=90,AB=c，AC=b，BC=a，那么a、b、c满足关系式：a2+b2=c2，可得a=；b= ,C= 。4、我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。过渡语：请同学们小组交流你的答案和所作的思考：设计意图：让学生通过预习，对勾股定理的基本内容有所了解。教学建议：这一环节让学生独立学习，然后

3、小组交流，不要直接讲解。教学点1：勾股定理与面积例1：如图14.1.2，正方形ABCD、CEFG、BEHI是以RtBCE的三边为边向形外所画正方形，已知正方形ABCD、BEHI的面积分别为64cm2、100cm2，则正方形CEFG的边长为 。分析：勾股定理实质上就是以直角三角形的三边为边长向形外所作的正方形的面积之间的关系，故可以先求得正方形CEFG的面积，然后求得其边长。解：正方形CEFG的面积=100-64=36（cm2）正方形CEFG的边长=6cm教学结论: 以直角三角形的斜边为边长向形外所作的正方形的面积等于以两直角边为边长向形外所作的正方形的面积之和。教学建议：让学生先观察思考，然后

4、小组交流答案，最后全班交流解这类题的关键是找准直角三角形的斜边。 【学点训练】1、 如图14.1.3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的面积为81cm2，则正方形A、B、C、D的面积之和为 81cm2。2、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方形1的边长为64cm，则正形7的边长为 1cm 。设计意图:进一步巩固勾股定理的实质是揭示了以直角三角形的三边为边长向外所作的正方形的面积之间的关系。教学点2：勾股定理的初步应用例2、RtABC

5、中，C=90，AB=c，BC=a,AC=b，a:b=3：4，c=20，求a,b的长。解：a:b=3:4, 设a=3k,b=4k(k0), C=90,a2+b2=c2 ， k=4, a=12,b=16例3、已知直角三角形的两边分长别为6cm和8cm，求第三边的长。解：设这个直角三角形的第三边为xcm.分两种情况：（1）当斜边为xcm时，由勾股定理得， , x=10(cm) (2)当斜边为8cm时，由勾股定理得， x=综上，第三边的长为cm或10cm.例4、如图14.1.5，在ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，ADBC于点D，求AD的长。解：设BD=x,则CD=14-x. ADBC,A

6、DC=ADB=90，在RtABD和RtADC中，由勾股定理得，AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2，x=9，AD=教学结论:在使用勾股定理计算边长时要看准斜边和直角边，没有告知时应该分类讨论；在已知一边和其他两边之间关系时，应根据勾股定理建立方程求解。教学建议: 让学生独立完成后小组交流答案，然后全班交流解这类题的关键是找准直角三角形的斜边，同时让学生懂得分类的必要性，以及使用方程的重要性。 【学点训练】3、在RtABC中，A=90，AB=c，BC=a，AC=b （1）已知a=15,b=12,求c； （2）已知a:b=5:3,且c=16，求a，b。解:(1) A=90, , （2）设

7、a=5k,b=3k,A=90, ,k=4, a=20,b=12.4、已知直角三角形的两边长分别为2和3，则第三边长是或。5、一直角三角形的斜边比一直角边长大2，另一直角边为6，求斜边的长。解：设一直角边为x,则斜边为x+2,根据勾股定理得，x=8, 斜边为x+2=10设计意图：巩固应用勾股定理计算直角三角形的边长，进一步渗透方程和分类的数学思想。1、 如图14.1.6，要从电线杆离地面8米处拉一条长10米的缆绳，由固定点A到电线杆底部B的距离AB= 6米 2、如图14.1.7，在ABC中，AB=AC=13cm，ADBC于D，AD=5cm，那么BC= 24cm;3、如图14.1.8，在平行四边形

8、ABCD中，CAAB于A，若AB=3，BC=5，则平行四边形ABCD的面积为 12 。4、在RtABC中，C=90，A、B、C的对边分别为a、b、c，且a：b=8：15，C=34，求a，b的值。解：设a=8k,b=15k, C=90,，c=17k=34,k=2, a=16,b=30.5、如图14.1.9，RtABC中，BAC=90，AB=7，BC=25，求以AC为直经的半圆的面积与周长。解：BAC=90，AB=7，BC=25，AC=24，半圆的周长为，面积为教学建议：本部分设计是对核心内容的进一步巩固和反馈，时间5到10分钟完成，教学中要重视反馈信息，及时根据学生答题情况查漏补缺。课堂反思：谈

9、收获：这节课学到的知识是_，自己出色的表现是_，还存在的困惑是_我的风采我展示，我的课堂我参与，我的舞台我增彩！14.1勾股定理(1) 课后作业方案一、选择题1、在ABC中，A=90，则下列等式不成立的是（ B ）A、BC2=AB2+AC2 B、AB2=AC2+BC2 ，C、AB2=BC2AC2 D、AC2=BC2AB22、若直角三角形的两直角边各扩大1倍，则斜边扩大（ B ）A、倍 B、1倍 C、2倍 D、4倍3、若正方形的面积为1，则对角线为（ B ）A、 B、 C、 D、24、一根旗杆在离地面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断之前的高为（ C ）A、10.5米

10、B、7.5米 C、12米 D、8米5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为10cm，正方形A、B、C的边长分别为6cm,5cm,5cm，则正方形D的边长为（ A ）A、 B、4cm C、 D、3cm 二、填空题6、在RtABC中，C=90，a=1,b=,则C=2 。7、在RtABC中，斜边AB=4，则AB2+BC2+AC2= 32 。8、若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为或。9、ABC中，三边长均为整数，ABAC，若AC=4cm，BC=3cm，则AB=5cm或6cm（提示：先确定AB的取值范围为1AB4）10、在ABC中，C=90，AB

11、C的周长为60cm，是BC：AC=5：12则AB= 26cm三、解答题11、求下列各直角三角形中字母a、b的值。解：（1）（2）12、有一块土地的形状如图，B=D=90，AB=20m，BC=15m，CD=7m，请计算这块土地面积。解：连结AC，在RtABC中, B=90,AC= m，在RtADC中, D=90AD=24m；面积为234m214.1 勾股定理（2）1、理解用面积法证明勾股定理；2、应用勾股定理解决实际问题；3、体会转化的数学思想。新课引入：方式一：我们在上节课探索了直角三角形的一个重要的性质-勾股定理，但还没有给予证明，本节课继续学习证明和应用。板书课题14.1勾股定理(2)方式

12、二：勾股定理是直角三角形的很重要的性质，它揭示了直角三角形的直角边和斜边之间的关系。人们对勾股定理的认识经历了从特殊到一般的过程，而且出现了许多证明方法，我们这节课将再次分享古人的智慧。国外一般称这个定理为毕达哥拉斯定理，我国称为勾股定理。板书课题14.1勾股定理(2)课前热身：请同学们预习P51-P52的内容。独立完成下面两个问题：1、如图14.1.10，在边长为C的正方形中，有四个斜边为C的全等直角三角形，它们的直角边分别为a、b，请利用这个图形证明勾股定理。 证明：S大正方形= c2 ，又S大正方形= c2 ，a2+b2= c2 2、如图14.1.11，在正方形网格中，ABC的顶点在格点

13、（小正方形的顶点）上，AB=c，BC=a,AC=b，比较a、b、c的大小（D ）A、abc B、cab C、cba D、bac过渡语：请同学们小组交流你的答案和所作的思考：设计意图：让学生在自学的基础上了解用图形面积关系证明勾股定理，同时能利用网格求出线段的长度。教学建议：这一环节让学生独立学习，然后小组交流，不要直接讲解。教学点1 证明勾股定理例1：如图14.1.12，直角三角形的直角边a、b，斜边为c，四个同样的直角三角形拼成大正方形。利用这个图形证明勾股定理。 证明：S大正方形= （a+b）2 = a2 +b2 +2ab ，又S大正方形= a2 +b2 +2ab a2+b2= c2教学结

14、论：面积法是证明勾股定理的一种重要方法，也是证明其他几何问题的一种常用方法；图形经过割补和拼接后，只要没有重叠和空隙面积就不会改变。教学建议：让学生充分观察思考、尝试，然后在小组内交流，教师可先准备4个全等的直角三角形，抽学生代表结合拼图作全班交流。【学点训练】1、如图14.1.13，直角三角形的直角边长分别为a、b斜边长为c,四个三角形全等，图中三个正方形的边长分别为a、b、c，利用这个图形证明勾股定理。1、证明：，所以，a2+b2= c2设计意图：巩固用拼接图形的面积关系证明勾股定理。教学点2 用勾股定理解决实际问题例2、小明从家出发向正北方向走了150米，然后向正东方向走到离家250米的

15、地方，问小明向正东方走了多少米？解：如图，在RtABC中，ABC=90，AB=150m,AC=250m.根据勾股定理，得BC=200m.答：小明向正东方走了200米。例3 已知：在ABC中，AB=10，AC=17，BC边上的高AD=8，求BC的长。解：BC边上的高AD有两种可能情况，如图1、2所示，当高AD在ABC内部时，在RtABD和RtACD中根据勾股定理求得，BD=6，DC=15，所以，BC=15+9=21；当高AD在ABC外部时， BC=15-6=7。例4 、 如图14.1.14，ABC中，AB=AC=13，BC=10，BDAC于点D，求BD的长。解：过点A作BC边的高AE。又AB=A

16、C，BC=10，BE=5。在RtABE中,根据勾股定理得，AE=12，。教学结论：在解决实际问题时关键是画出符合题意的图形，画图时要全面考虑各种不同情况，以防漏解；求三角形的高时，常常结合面积公式进行计算。教学建议：让学生独立完成，并在小组及全班交流后，若学生有困难教师再作必要的引导。【学点训练】2、两人同时从A地出发，甲向正东方步行，每小时走3.5km，乙向正南方骑自行车，每小时行12km，两小时后两人相距多远？略解：如图，在RtABC中,AB=24km,BC=7km,根据勾股定理得，AC=25km.3、在ABC中，AB=15，BC=13，AC边上的高BD=12，求ABC的周长。略解：分两种

17、情况，高BD在ABC的内部时，如图（1），根据勾股定理，求得AD=9，CD=5，得AC=14，ABC的周长为13+14+15=42；高BD在ABC的外部时，如图（2），根据勾股定理，求得AD=9，CD=5，得AC=4，ABC的周长为13+4+15=32。4、等边ABC的边长为10，求SABC 略解：如图，作高AD,根据勾股定理求得AD= ，SABC =。设计意图：提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力，尤其是画出符合题意的图形的能力和分类考虑的能力。 一、选择题1、一个长方形公园如图，如果王伯伯要从A景点走到C景点，那么他至少要走（ A ）A、260m B、250m C、26m D、340m2

18、、如图，是一张探宝图，根据图中尺寸，起点A与宝藏B的直线距离是（ B ）A、9 B、10 C、11 D、12二、填空题3、RtABC中，AB=AC，BAC=90，BC=10，则AB= 。4、RtABC中，C=90，AB=12，A=30，则AC= 。三、解答题5、如图，小明将一张长AE为20cm,宽DE为15cm的长方形纸剪去了一个角，使得AB=3cm,CD=4cm。求BC的长。略解：延长AB、DC相交于点F,则F=90，BF=12cm，CF=16cm,根据勾股定理，得BC=20cm。6、如图，将长方形ABCD纸沿对角线BD折叠，点C落在点C位置，已知AB=12cm，BC=24cm，求重叠部分（

19、即BDE）的面积。略解：先说明BE=DE,设DE=xcm,则AE=（24-x）cm,在RtABE中,由勾股定理，求得x=15cm,在求得面积为90cm2教学建议：本部分设计是对核心内容的进一步巩固和反馈，时间10分钟左右完成，教学中药重视反馈信息，及时根据学生答题情况查漏补缺。课堂反思：谈收获：这节课学到的知识是_，14.1勾股定理(2) 课后作业方案一、选择题1、正方形的面积是，则它的对角线长的平方是（ A ）A、 B、 C、 D、2、如图所示，要测池塘两岸上A、B两点间的距离，现测得AC=20m，BC=21m，ACB=90，则AB两点之间的距离是（ C ）A、27m B、28m C、29m

20、 D、30m3、强台风“圣帕”过后，一棵大树在离地面3.6米处折断倒下，倒下部分与地面的接触点离树的底部为4.8米，则该树的原高度为（D ）A、6米 B、8.4米 C、6.8米 D、9.6米4、如图所示，以RtABC的三边为斜边向外作等腰直角形，设SABD=S1,SBCE=S2,SACF=S3,SABC=S，则它们之间的关系为（ B ）A、S=S1+S2+S3 B、S1=S2+S3 C、S=S1+S2 D、S=S1二、填空题5、直角三角形的三边为连续偶数，则它的周长为 24 。.6、ABC是等腰直角三角形，C=90，AB=2，则AC=，ABC的面积为 1 7、在ABC中，C=90，若AC：BC

21、=3：4，AB=40，则AC= 24 ，BC= 32 8、等边三角形的边长为a，则它的高为，面积为。三、解答题9、如图，已知ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，ADBC于D，求AD的长。解：设BD=x,则DC=21-x. 在RtABD和RtADC中,根据勾股定理得，x=6AD2=102-62=64AD=810、如图所示，在四边ABCD中，BAD=90，CBD=90，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积。解：在RtABD，根据勾股定理得，BD2=AD2+AB2=32+42=25,BD=5，在RtBCD，根据勾股定理得，CD2=BC2+BD2=52+122=169, 正

22、方形DCEF的面积为169.11、如图所示，在ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求ABC的面积。解：作高AD, 设BD=x,则DC=15-x. 在RtABD和RtADC中,根据勾股定理可得，X=9, 在RtABD,根据勾股定理得，AD2=152-92=144AD=12，SABC=12、如图所示，沿AE折叠长方形ABCE，使点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB=8cm, BC=10cm.（1）求EC的长，（2）求DE的长，（3）求AFE的面积解：（1）设CE=xcm, 则EF=DE=(8-x)cm,根据勾股定理得x=3,CE=3cm。（2）DE=8-3=5(cm). (3) SAF

23、E=25cm214.1 勾股定理（3）1、理解勾股定理的逆定理，并能区别勾股定理及其逆定理。2、能用勾股定理逆定理判定直角三角形。新课引入：方式一：我们学习了直角三角形的一个重要性质-勾股定理，那么它的条件和结论分别是什么？将条件和结论分别交换又会怎样呢？这就是这节课要继续学习的内容。板书课题14.1勾股定理(3)方式二：你有什么方法判断一个三角形是直角三角形呢？除了用定义外还有其它方法吗？这就是我们要继续学习的内容。板书课题14.1勾股定理(3)课前热身：请同学们预习P53 -P54的内容，独立完成下面三个问题：1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： abc，那么这个

24、三角形是直角三角形。 2、若ABC中，AB2+BC2=AC2，那么B=903、能成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数；写出三组常见的勾股数： 3、4、5；5、12、13；8、15、17。过渡语：请同学们小组交流你的答案和所作的思考。设计意图：让学生在自学的基础上了解证明勾股定理的逆定理的基本内容，知道勾股数。教学建议：这一环节让学生独立学习，然后小组交流，不要直接讲解。 教学点1 直角三角形的判定：例1、给出下列几组数：（1）6，7，8；（2）8，15，6；（3）2，3，；（4）n21，2n，n2+1，（n为大于1的整数），其中能作为直角三角形的三条边长的是（ D ）（A）（1）（3

25、） （B）（2）（4） （C）（1）（2） （D）（3）（4）例2、下列说法错误的是（ C ）（A）ABC中，C=AB，则ABC为直角三角形（B）ABC中，若A：B：C=5：2：3，则ABC为直角三角形（C）ABC中，若a：b：c=2：2：3，则ABC为直角三角形（D）ABC中，若a=,b=,则ABC为直角三角形教学结论：判断勾股数的前提是正整数，然后找出其中两个较小数的平方和看是否等于大数的平方；目前已学判定直角三角形的方法有两种，如果已知边长或边长之间的关系用勾股定理的逆定理；如果已知的是角或角之间的关系用定义判定。教学建议：学生独立思考后交流，然后引导学生总结方法。【学点训练】1、ABC

26、中，a=9,b=12，当C2= 225 时，C=90当C2= 63 时，B=90。2、ABC中，三边a、b、c满足（a+b）(a2+b2-c2)=0，则ABC的形状是直角三角形 。3、满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（ D ）（A）b2=c2-a2 （B）a：b：c=3：4：5 （C）B=AC （D）A：B：C=3：4：5设计意图：巩固直角三角形的两种判定方法。教学点2 综合运用勾股定理和它的逆定理解答计算问题例3、如图14.1.15，ABC中，D为BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC。解：在ABC中，ADB=90,ADC=90, RtADC中,根据勾

27、股定理得，教学结论：要能正确运用勾股定理和它的逆定理就必须分清楚各自的条件，已知三边得出直角用逆定理，已知两边求第三边用定理。教学建议：让学生思考并交流，在完成解答后要让学生搞清楚计算或推理的依据。例4、如图14.1.16，四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=13，AD=12，求四边形的ABCD的面积。解：连结AC, RtABC中,根据勾股定理得AC=5，在ACD中,由勾股定理的逆定理判断出DAC=90, S四边形ABCD=SABC+SADC, S四边形ABCD =.教学结论：求图形面积时常用割补法，将其转化为几个基本图形面积的和或差；本题在求ACD的面积时必须先证明这个三角

28、形是直角三角形。教学建议：让学生思考并交流，充分暴露其思维过程，不要由教师的讲代替学生的学。【学点训练】4、测得一块三角形耕地的三边长分别是5m，12m，13m，那么这块耕地的面积为 30m2 。5、一个三角形的三边长分别为15cm,20cm，25cm，那么这个三角形的最长边上的高为（ A）（A）12cm （B）10cm （C）12.5cm （D）10.5cm6、如图14.1.17，将三边分别为3，4，5的ABC，沿最长边AB翻折180成ABD，则CD的长为（ D ）（A） （B） （C） （D）7、如图14.1.18，在ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=，（1）求AD的

29、长；（2）ABC是直角三角形吗？为什么？解：（1）在RtBCD中,求得CD=，在RtACD中,求得AD=，（2）是直角三角形，由勾股定理逆定理判定得ABC=90。设计意图：让学生综合运用勾股定理和它的逆定理解答计算问题，巩固基础知识，提高思维能力。1、在ABC中，三边a、b、c满足（a-b）2+2=0，那么此三角形为（ C ）（A）等边三角形 （B） 等腰三角形 （C） 等腰直角形 （D直角三角形）2、将直角三角形三边的长度都扩大同样倍数后，得到的三角形（ A ）（A）仍是直角三角形 （B） 不能是锐角三角形 （C）可能是锐角三角形 （D）不可能是直角三角形3、在ABC中，AB=5cm，BC=

30、6cm，BC边上的中线长为4cm，则AC= 5cm 4、如图14.1.19，在四边形ABCD中，A=D=90，AB=CD=24cm，AD=BC=50cm,E是AD上一点，且AE：ED=9：16，判断BEC是否是直角？说明理由。略解：BEC是是直角。理由如下：在RtABE、 RtCDE中,根据勾股定理得，BE=30，CE=40，在CBE中，由勾股定理的逆定理得BED=90。5、如图14.1.20，在四边形ABCD中，AB=2cm,BC=cm,CD=5cm.DA=4cm, B=90.求四边形ABCD的面积。解：连结AC,在RtABC，根据勾股定理得AC=3，在ACDE中，由勾股定理的逆定理得CAD

31、=90, S四边形ABCD=。教学建议：本部分设计是对核心内容的进一步巩固和反馈，时间10分钟左右完成，教学中要重视反馈信息，及时根据学生答题情况查漏补缺。课堂反思：谈收获：这节课学到的知识是_，自己出色的表现是_，还存在的困惑是_我的风采我展示，我的课堂我参与，我的舞台我增彩！14.1勾股定理(3) 课后作业方案一、选择题1、ABC的三边长a、b、c满足等式（a+b）2c2=2ab,则此三角形是（ B ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形2、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ C ）A、5，6，7 B、1，4，9 C、5，12，13 D、5，11，12

32、3、满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是（ D ）A、c2=a2b2 B、a：b：c=7：24：25 C、A=B+C D、A：B：C=5：12：134、在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且A：B：C=1：2：1，则下列等式成立的个数是（ C ）a2=b2 a2=c2 b2=2a2 a2+b2=c2 a2+c2=b2 ，A、1 B、2 C、3 D、45、已知a、b、c为三个正整数，且a+b+c=12,那么以a、b、c为边能组成的三角形是：、等腰三角形 、等边三角形 、直角三角形 等腰直角三角形。符合以上条件的结论有：（ A ） A、 B、 C、 D、二、填空题:6、已知某三角形的

33、三边长分别为3n，4n，5n，（n为正整数），则该三角形为 直角 三角形（填“直角”或“非直角”）7、以ABC的三边向外作正方形所得正方形的面积分别为14，58，72，则这个三角形是 直角 三角形。8、若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm,则它的面积为 120cm 2 。三、解答题9、已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2b2 c2a4+b4=0，试判断ABC的形状。解：a2c2b2 c2a4+b4=0，,ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。10、如图1，是一块菜地，已知AD=4m, CD=3m，ADDC，AB=13m，BC=12m，求这块菜地的面积。略解

34、：连结AC, 在RtACD中,根据勾股定理求得AC=5， 由勾股定理的逆定理可得ACB=90,再由三角形面积公式求得这块菜地的面积为：11、如图2所示，是一束平行的光线从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1米，NC=米，BN=米，AC=4.5米，MC=6米，试说明ACMC，并求MA的长。解：ACMC，理由如下：在NBC中，C=90,ACMC,在RtACM中,根据勾股定理求得AM=7.5米。12、如图3，在正方形ABCD中，F为DC中点，E为BC上一点，且EC=BC，猜想AF与EF的位置关系。并说明理由。解：AF与EF互相垂直。理由如下：连结AE,设正方形的边长为a,在RtABE、

35、RtCEF 、RtADF中,根据勾股定理求得 AE= ，EF=， AF=,AFE=90,AFEF.14.2勾股定理的应用（1）1、利用勾股定理解决实际应用中的计算问题；2、利用轴对称变换和勾股定理解决求线段和的最小值问题；3、会求立体图形中的最短路线长度。新课引入：方式一：我们在上节学习了直角三角形的一个重要性质-勾股定理，也学习了勾股定理的一些应用，我们将继续学习勾股定理在解决某些实际问题中的应用。板书课题14.2勾股定理的应用(1)方式二：我们知道勾股定理是直角三角形的一个重要的性质，应用它可以求出未知的边长。那么如果问题中没有直角三角形又该咋办呢？这就是我们要继续学习的内容。板书课题14

36、.2勾股定理的应用(1)课前热身：请同学们预习P57-P58的内容，独立完成下面四个问题：1、如图14.2.1，有一高为4cm，底面直径为6cm的圆锥，现有一只蚂蚁在圆锥的底面圆上的B处，它想吃到圆锥顶点A处的食物，需要爬行的最短距离为（C ）A、2cm B、4cm C、5cm D、7cm2、做一张长方形桌面，现量得长为60cm，宽25cm，对角线65cm，则桌面 合格 (填“合格”或“不合格”)3、在棱长10cm的正方体中，如图14.2.2，从顶点A到顶点B的最短路线的长度为cm。过渡语：请同学们小组交流你的答案和所作的思考。设计意图：让学生通过预习，对勾股定理在实际问中的初步应用有所了解。

37、教学建议：这一环节让学生独立学习，然后小组交流，不要直接讲解。教学点1、结合轴对称变换求线段和最小值例1、如图14.2.3，一牧童在A处放羊，他家在B处，A、B两处相距河岸的距离AC、BD分别为500m和700m，且CD=500m，天黑前牧童从A处将羊牵到河边饮水后再赶回家，请通过计算说明牧童至少要走多少米？解：作点A关于CD对称的点E,连结BE,交CD于点P,连结AP，则沿着AP、PB回家的路程最短。过点E作EF垂直于BD交BD的延长线于点F.在RtBEF中，根据勾股定理EB=1300米。教学结论：求两条线段和的最小值常常利用对称将将其转化为“两点之间线段最短”问题，然后构造出直角三角形求解

38、。教学建议：先让学生充分讨论，找到饮水处的位置，再构造直角三角形，给学生思考的时间。【学点训练】1、如图14.2.4，正方形ABCD的边长为8cm，点M在AB上，BM=2cm，对角线AC有一个动点P，求PM+PB的最小值。答案： 10cm。提示，PM+PB的最小值就是MD的长度。设计意图：巩固用轴对称变换的方法求最小值。教学点2，求立体图形表面上的最短路线长度例2，如图14.2.5所示是圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长60cm，在外侧距底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。解：如图，将侧面

39、展开，在RtCDF中，FD=16，CD=30，根据勾股定理,CF=34cm.例3、如图14.2.6所示，一块长方体的长为6cm，宽4cm，高为3cm。求从顶点A沿表面到达顶点B的最短路线的长度。解：得到三个不同的展开图，根据勾股定理分别求出AB的值等于、，最短路线的长度cm.教学结论：围绕立体图形表面运动的最短路线需要展开在平面上，并且构造出直角三角形，再运用勾股定理求解；在展开时要全面考虑是否有多种不同的情况。教学建议：让学生独立完成并在全班交流，教师根据学生完成情况作引导与指导。【学点训练】2、如图14.2.7，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得

40、到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为15cm cm(取3)3、如图14.2.8，有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬行到C点（C在一条棱上距顶点B为3cm处），需爬行的最短路线是 15cm. cm。设计意图：巩固立体图形表面最短路线的长度的求法。1、一帆船由于风向，先向正西航行80km，然后向正南航行150km，这时它离出发点 170 km（直线距离）。2、如图14.2.9所示，在长方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且BE=16，BF=30，则由E到F的距离为 34 。3、等腰三角形中，若底边上的高为，这条高与一腰的夹角为60，则这个三角形的面积为（

41、 D ）A、2 B、 C、2 D、34、如图14.2.10，点A和点B分别是棱长为20cm正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子的表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是（C ）A、40cm B、20cm C、20cm D、10cm5、如图14.2.11，点C为线段BD上一动点，分别过点B、D，作ABBD，EDBD，连结AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，（1）设CD=x，用x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？并求出这个最小值。解：（1）在RtABC和RtCDE中，根据勾股定理,，AC+CE=。（2）当点C、A、E三点在同一直线上时，A

42、C+CE的值最小。过点E作EFAB，交AB的延长线于点F. 在中，RtAEF中，AF=5+1=6，EF=BD=8，根据勾股定理得，AE=,AC+CE的最小值为10.教学建议：让学生独立尝试构造直角三角形；在完成本题后，可提问：结合解题过程，你能总结总出求的最小值的方法吗？试试看，怎样求的最小值？ 6、如图14.2.12所示的圆柱体中，底面圆的半径是，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆椎体的侧面爬行一周到D处，求小虫爬行的最短路程（结果保留根号）。 解：画出如图所示的侧面展开图。RtADE中，AE=,DE=2,根据勾股定理,得AD=教学建议：本部分设计是对核心内容的进一步巩固和反馈，时间10分钟

43、左右完成，教学中要重视反馈信息，及时根据学生答题情况查漏补缺。课堂反思：谈收获：这节课学到的知识是_，自己出色的表现是_，还存在的困惑是_我的风采我展示，我的课堂我参与，我的舞台我增彩！14.2勾股定理(1) 课后作业方案一、选择题1、小明同学先向北行进4km，再向东行驶进8km，又向北行进2km，此时小明离出发点的距离是（ C ） A、6km B、8km C、10km D、12km2、如图1所示,一圆柱体的底面周长为14cm，高AB=24cm，BC为直径，一只小虫从点A出发沿圆柱表面爬到点C的最短路程是（ C ）（A）、31cm （B）、24cm （C）、25cm （D）、50cm3、已知直

44、角三角形的斜边为3，周长为3+，则这个三角形的面积为（ C ）A、2 B、3 C、1 D、4、如图2所示，有一根长24cm的吸管，放入内直径为5cm，高为12cm的圆柱形杯子里，设露在杯子外面的管长为Xcm，取X的取值范围是( C ) 。A、12x24 B、5x12 C、11x12 D、10x11二、填空题5、一只小虫从一个圆柱体的下底面圆上的点A绕侧面一圈到达上底面圆上点B处，已知圆柱高AB=6cm，底面圆周长为8cm，则小虫爬行的最短路程为 10cm 。6、有一个长为12cm，宽为4cm，高3cm的无盖铁盒，在其内部要放一根笔直的铁丝，则铁丝的长度最长可以是 13cm 。7、如图3，长方体

45、的高为3cm，底面是边长为2cm的正方形，现在一绳子从A点处出发，沿长方体表面到达C处，则绳子最短为 5cm 。8、如图4，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分为200cm、30cm、20cm，点A、B是这个台阶两个相对的端点，A点处有一只小蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是 250cm 。三、解答题9、如图5，等边ABC的边长为10，BDAC于点D，点M在AB上，AM=4，在BD上找一点P，使PM+PA最小，求这个最小值。答案：,提示：点A与点C关于DB对称，连结MC交BD于点P,连结AP, 则PM+PA=MC,作高CE,在RtEBC中，由勾股定理可得MC

46、=.10、一般轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一般轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，求它们离开港口多长时间后两船相距30海里？答案：1.5小时。提示：如图所示，CAB=90，设x小时两船相距30海里，则AB=16x海里，AC=12x海里，根据勾股定理求得。11、如图6所示，是一个边长为60cm的正方体ABCDEFGH。（1）求点A到点G的距离;（2）若在棱EF上的点P处有一只甲虫，PF=10cm，这只甲虫要沿表面爬到点D处，求最短距离。答案：（1）cm 。提示：连结EG、AG.(2)130cm,提示：展开两个面，如图，EP=50cm,DE=120cm,在RtD

47、EP中根据勾股定理求得。14.2勾股定理的应用（2）1、将实际问题转化为求直角三角形的边长问题。2、利用勾股定理解决有关画图、证明等问题。新课引入：方式一：我们在上节学习了勾股定理的一些应用，我们将继续学习勾股定理在解决某些实际问题的中应用。板书课题14.2勾股定理的应用(2)方式二：我们知道勾股定理是直角三角形的一个重要性质，应用它可以求出未知的边长。那么它还有哪些应用呢？这就是我们要继续学习的内容。板书课题14.2勾股定理的应用(2)课前热身：请同学们预习P59的内容。独立完成下面四个问题：1、勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形三边“形”的特点与三边的“ 数 ”的关系结合起

48、来了。2、运用勾股定理解决实际问题的关键是构造 直角三角形 。3、如图14.2.13，以数轴上的单位线段长为边作一个正方形，以数轴原点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是。过渡语：请同学们小组交流你的答案和所作的思考。设计意图：让学生通过预习，对勾股定理在实际问题中的应用有更进一步的了解。教学建议：这一环节让学生独立学习，然后小组交流，不要直接讲解。教学点1 利用勾股定理在网格中画图例1，如图14.2.14，在55的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，以点A为一个顶点画ABC，满足AB=，AC=，BC=。解：如图.教学结论:在网格中画线段时，把这些线段看作

49、是某些正方形或长方形的边或对角线。教学建议:学生先探索后交流，引导学生总结出一般的方法或规律。【学点训练】1、如图14.2.15，长方形网格中，每个小正方形的边长为1，以AB为边画ABC，使BC长为无理数，AC长为有理数。答案：如图，AC=5，BC=2、已知如图14.2.16，正方形的边长都是1，如（1）图所示，可以算出正方形的对角线长为，那么两个正方形并排所构成的矩形的对角线长为，n个正方形并排所得矩形的对角线为。 图14.2.16设计意图：巩固在网格中利用勾股定理画出符合条件的线段。教学点2 勾股定理在说明一些含有平方的等式中的应用例2、如图14.2.17，在ABC中，AB=AC，点D在C

50、B延长线上，试说明：AD2-AB2=BDCD。证明：作高AE,在RtADE和RtAEC中，根据勾股定理得到结论。教学结论：在证明的等式中含有线段的平方关系时，一般考虑构造直角三角形，使其成为直角三角形的边，然后运用等式的性质进行变形就可以完成。教学建议：先引导学生分析，让学生探索如何构造直角三角形才合理，学生独立尝试并交流后教师再作必要的指导。【学点训练】3、如图14.2.18，已知ABC为锐角三角形，ABAC，CDAB于点D，试说明BC2=AB2+AC2-2ABAD。提示：在RtADC和RtBDC中，根据勾股定理得到结论。4、如图14.2.19，在ABC中，C=90，AD是BC边上的中线，D

51、EAB于点E，求证：AC2=AE2-BE2提示：在RtADC、RtBDE和RtADE中，根据勾股定理得到结论。设计意图：巩固用勾股定理证明含有线段平方的等式。教学点3 勾股定理在实践操作中的应用例3、如,14.2.20，有一个边长为5的正方形纸张ABCD，要将其剪拼成边长分别为a、b的两个小正方形，使得a2+b2=52，请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪方法，与拼接方法，同时说明裁剪方法具有一般性。解：如图所示，在AB边上取一点E,连结CE，分别过点B、D作CE的垂线段BF、DG,将三角形1、2剪下移到图中阴影部分的三角形1、2的位置。图中BF=a,FC=b,两个小正方形的面积之

52、和为a2+b2=52教学结论：先剪出以a、b为直角边的直角三角形，然后拼接。教学建议：本题有一定的挑战性，可让学生充分讨论。【学点训练】5、（1）四年一度的国际数学家大会于2020年8月20日在北京召开,大会会标如图14.2.21所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方拼成一个大正方形。若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中间的小正方形的面积；解：设直角三角形的直角边为a、b(ab)，斜边为c.则a+b=5,c2=13,根据勾股定理得，又 2ab=12 中间的小正方形的面积为（a+b）2=a2+b2-2ab=13_12=1（2）现有一张长6.5cm，宽2cm的长方

53、形纸片，如图14.2.22，请将它分割成6块，再拼合成一个正方形，要求在图中画出分割线，再画出拼成后的正方形，请标明相应数据。解：如图所示，将长方形按图中数据分割为四个直角三角形和两个小长方形，可以拼接成一个正方形。设计意图：本题的两个小题之间在数与形方面都有内在联系，希望学生能在完成第（1）小题后受到启发的情况下完成第（2）小题，提高学生的操作能力。1、在数轴上刻画与相对应的点A，正确的表示是（ B ）2、如图14.2.24，在44的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，连结若干顶点得到五条线段AB、AC、AD、AE、AF，其中长度是有理数的有（ B ） A、1条 B、2条 C、3条 D、

54、4条3、如图14.2.25，在ABC中，C=90，D、E分别在BC、AC上，那么AD2+BE2与DE2+AB2的大小有什么关系？请说明理由。略解：AD2+BE2=DE2+AB24、如图14.2.26，正方形纸张ABCD的边长为1，M，N分别是AD、BC上的点，将纸张的一角沿过点B的直线折叠，使点A落在MN上，落点为A，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边的中点，则AN= ；若M、N分别是AD、BC边上距DC最近的n等分点（n2，且n为整数），则AN=（用含有n的式子表示）。教学建议：本部分设计是对核心内容的进一步巩固和反馈，时间10分钟左右完成，教学中要重视反馈信息，及时根据学生答题情

55、况查漏补缺。课堂反思：谈收获：这节课学到的知识是_，还存在的困惑是_14.2勾股定理(2) 课后作业方案一、选择题1、如图1，在55的正方形网格中，找出格点C，使ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数有（ B ）A、5 B、4 C、3 D、22、如图2，正方形网格中，每个小正方形边长为1，则ABC是（ B ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定二、填空3、如图3，ABC中，AD是高，且AD=DC，AC=3，BC=7，则BD= 4 。4、直角三角形中，斜边长5cm，周长12cm，则它的面积为 6cm 。5、如图4某市在“旧城改造”中，计划在市内一块三角形空地上种某种草皮以美化环境。已知AB=20米，AC=30米，BAC=135草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要元。三、解答题6、如图5所示是一个无盖的正方体盒子，现将其剪开展成平面图，如图6所示，已知展开图的每个正方形的边长为1。（1）求在该展开图中最长线段的长度，这样的线段可以几条？（2）试比较立体图形中BAC与平面展开图中BAC的大小关系。略解：（1） ，4条；（2）连结BC，由勾股定理可求出， AB= BC=，AC=，由勾股定理得逆定理判断AB