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1、直线和圆习题课探究圆中的动态问题【预备知识】1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）线的垂直平分弦比经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.2、建立函数模型当然一般步骤：（1）分析问题的变量总数，从条件与变量的特点选择模型的类型；（2）分析目标的计算特征，确定自变量，自变量的选取要易于确定自身的范围，同时又能有效描述变量间的关系；（3）建立函数模型，确定自变量的取值范围.【课前热身】1、点到直线的距离的取值
2、范围是 2、圆与圆的位置关系式 3、若实数满足关系式，则的最小值是 【典型例题】例题1、在平面直角坐标系中中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上。若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。解：设点为，圆的圆心为则满足方程（此处如果是从存在翻译为方程有解的话。接下来的步骤是联立这两个方程，消去其中的一个变量,比如，整理为关于的一元二次方程有解，利用判别式可以求出的取值范围）即两圆有交点，则 （将方程组有解的问题转化为了圆与圆的位置关系，重点在于代数表达式的几何意义。突出数形结合的思想。同时要让学生深刻体会计算量，学习通过算理分析，预计运算的难以程度）则。例题2、已知的三个顶点 ,其外接圆为圆对
3、于线段上的任意一点,若在以为圆心的圆上都存在不同的两点,使得点是线段的中点,求圆的半径的取值范围（通过学生的解答情况，让学生体会计算的难度）（如果学生没有成功的解答，可以展示一下解答过程，同时教师要帮助学生分析其中的翻译过程，体会解析几何的重要思想方法）解：有题，设有，可知2则直线的方程为，设，因为点是点的中点，所以，又都在半径为的圆上，所以即有方程的结构可以看成，以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，已知，又，所以对于任意的成立令，当，其值域为有线段与圆无公共点，在对任意的成立，则有从而的取值范围为：例题2分析过程对于给定的任意一点,过的直线交圆于两点，由动态变化可知，的长度无
4、限趋近于0，当直线过圆心的时候，的长度取到最大值即显然，当直线过圆心时，就可以保证在变化过程中存在不同的两点,使得点是线段的中点。即考虑到时线段上的任意一点，即关系式要恒成立，所以，又当圆的扩大到与线段相切后，不满足题设要求，（借助几何画板展示问题的动态分析过程，同时需要将上述分析过程印发学生，让学生体会如何通过静态的图像理解动态的过程。中点突出运动的观点，多“变元”问题的处理方法）针对训练：1、已知圆内一点的动直线与圆交于两点，求弦的中点的轨迹方程.解法一 令，由圆的几何性质可知，在直线的旋转过程中，直线和始终保持垂直关系，所以，整理可得，检验特殊情况，符合方程解法二 在中，易知点，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，其轨迹方程为解法三、引入斜率为参数，采取消参法解答【课堂小结】本节课主要有哪些收获： 与圆相关的动态问题，在利用方程、函数等代数计算比较困难（运算量比较大，或者代数运算无法进行时）的时候，可以借助图形，利用对象的几何性质。通过分析动态过程中的各种几何关系或者数量关系，找到比较简便的解法； 对于含有两个及其以上“变元”的问题，如果是相关的，要找到它们 的关系，如果是不相关的，可以“逐个处理” 【课后作业】：思考问题：5
人教A版高中数学必修2四章圆与方程4.2直线圆的位置关系习题4.2教案14
