二分法求解单变量非线性方程及其应用和实现

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1、二分法求解单变量非线性方程及其应用和实现 论文关键词：二分法单变量非线性方程收敛性误差论文摘要：本文关键经过一个实例来研究单变量非线性方程f（x）=0的二分法求解及此方法的收敛性，依据误差估量确定二分次数并进行求解。同时实现matlab和C语言程序编写。从而掌握过程的基础形式和二分法的基础思想，在以后的学习过程中得以应用。1.引言在科学研究和工程技术中常会碰到求解非线性方程f(x)=0的问题。而方程f(x)是多项式或超越函数又分为代数方程或超越方程。对于不高于四次的代数方程已经有求根公式，而高于四次的代数方程则无准确的求根公式，至于超越方程就更无法求其准确解了。所以，怎样求得满足一定精度要求的

2、方程的近似根也就成为了我们迫切需要处理的问题。多年来，伴随数学科学研究的不停进展，又更新了很多方程求解的方法。我们知道，对于单变量非线性方程f（x）=0，通常全部可采取迭代法求根，由此产生了二分法。2.二分法通常地，对于函数f(x),假如存在实数c,当x=c时f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。解方程即要求f(x)的全部零点。先找到a、b，使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f(a+b)/2,现在假设f(a)0,aa，从开始继续使用中点函数值判定。假如f(a+b)/20，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=b，从开始继续使用中点函

3、数值判定。这么就能够不停靠近零点。经过每次把f(x)的零点所在小区间收缩二分之一的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。给定准确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤以下:1.确定区间a,b,验证f(a)f(b)0。a,b的中点x0=1.25，将区间二等分。因为f（x0）0disp(a,b)不是有根区间);returnendmax1=1+round(log(ba)log(delta)/log(2);fork=1:max1c=(a+b)/2;yc=fevel(f,c);ifyc=0a=c;b=c;break,elseifyb*yc0b=c;yb=y

4、c;elsea=c;ya=c;endif(ba)includeincludeincludedoublef(doublex)return1+xx*x*x;intmaindoublea=0,b=0,e=1e5;printf(inputabe:);scanf(%lf%lf%lf,a,b,e);e=fabs(e);if(fabs(f(a)0)printf(f(%lg)*f(%lg)0!neede)doublec=(a+b)/2.0;if(f(a)*f(c)0)b=c;elsea=c;printf(solution:%lg/n,(a+b)/2.0);return0;7.方法总结7.1二分法解题的基础步骤

5、：1）计算f（x）的有根区间a,b端点处的值f（a），f（b）。2）计算f(x)的区间中点的值f（a+b）/2）。3）进行函数值的符号比较。4）依据误差估量二分到一定次数达成精度，从而求得近似值。7.2二分法的优缺点：优点：算法简单，轻易了解，且总是收敛的缺点：收敛速度太慢，浪费时间因此，在以后的学习过程中，我们将依据方程的形式和二分法的优缺点不单独将其用于求根，只用其为根求得一个很好的近似值，方便其它方法的运算。8.结论(1)针对现实中的很多剖面设计、轨道设计等关键参数方程中三角函数多、计算工作量较大、迭代收敛条件强等问题，采取数学改变的方法将该方程转化成一个只包含对数函数和多项式函数的新方

6、程，并提出了寻求求解区间的步长搜索算法和自适应步长搜索算法，进而使用二分法求新方程的数值解。(2)数学分析和数值实践表明，该算法不但能够正确判定设计方程是否有解，而且在有解的情况下能够正确求出该解，计算量小，计算过程稳定。参考文件1曾毅;改善的遗传算法在非线性方程组求解中的应用J;华东交通大学学报;2021年04期;1361382许小勇,宋昔芳;一个求解非线性方程全部实根的算法和实现J;科技广场;2021年01期;15173王兴华,郭学萍;二分法及其多种变形收敛性的统一判定法则J;高等学校计算数学学报;1999年04期4苗慧;解非线性方程的若干算法的收敛性分析D;浙江大学;2021年5李晓霞;有关若干迭代算法的收敛性分析D;浙江大学;2021年6李庆扬,王能超,易大义;数值分析第4版TUP清华大学;2021年5月