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1、精选高三年级第一学期期末试题数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知 是虚数单位，若 ，则实数 的值为A. B. C. D. （2）已知 ，若 ，则A. B. C. D. （3）执行如图所示的程序框图，输出的 值为A.4 B.5 C.6 D.7（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）： 已知两组数据的平均数相等，则 的值分别为A. B. C. D. （5）已知直线 与圆 相交于 两点，且 为正三角形，则实数 的值为A.
2、B. C. 或 D. 或 （6）设，则“ ”是“直线 与直线 平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,（7）在 中， 是 的中点，则 的取值范围是A. B. C. D. （8）已知正方体的 棱长为2，点 分别是棱 的中点，点 在平面 内，点 在线段 上，若 ，则 长度的最小值为A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则实数 的值为 .（10）若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是 .（11） 中， 且 的面积为 ，则 .（12）某三棱锥的三视图如图
3、所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 . （13）函数 的最大值为 ；若函数 的图像与直线 有且只有一个公共点，则实数 的取值范围是 .（14）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 1 2 3 4 5 得分甲 C C A B B 4乙 C C B B C 3丙 B C C B B 2则甲同学答错的题目的题号是 ，其正确的选项是 .三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）已知等差数列 的前 项和 ，且 .（）数列 的通项公式；（）若 ，
4、求数列 前 项和. （16）（本小题13分）已知函数 .（）求函数 的定义域；（）求函数 的值域. （17）（本小题14分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS） 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 测试6 测试7 测试8 测试9 测试10 测试11 测试12品牌A 3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6
5、 14品牌B 2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21设 分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果，记 （）求数据 的众数；（）从满足 的测试中随机抽取两次，求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率；（）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价. （18）（本小题13分）如图，三棱柱 侧面 底面 ， ， 分别为棱 的中点. （）求证： ；（）求三棱柱 的体积；（）在直线 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的长；若不存在，说明理
6、由. （19）（本小题14分）已知椭圆 ，直线 与椭圆 相交于两点 ，与 轴交于点 ，点 与点 不重合.（）求椭圆 的离心率；（）当 时，求椭圆 的方程；（）过原点 作直线 的垂线，垂足为 .若 ，求 的值. （20）（本小题13分）已知函数 .（）求曲线 在点 处的切线方程；（）求证：“ ”是“函数 有且只有一个零点” 的充分必要条件. 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项 A D B B D C A C二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)9. 10
7、. 11. 或 12. 13.1 14.5 A三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15（本题共13分）解：（）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，解得 ， -3分由 ，则 -5分因此，通项公式为 .（）由（）可知： ，则 -7分因为 ，-8分所以 是首项为8，公比为 的等比数列.-9分记 的前 项和为 ，则 -10分 -12分 -13分16（本题共13分）解：（） ， -2分解得： ， -3分所以，函数的定义域为 -4分（） -6分 -8分 -9分因为 ，所以 ，所以 ，-11分所以，函数 的值域为 .-13分17.（本题共13分）解：（） 1 2 4 6 2 4 4 2 1 6 4 7所以
8、 等于1有2次， =2有3次， =4有4次， =6有2次， =7有1次，则数据 的众数为4-5分（）设事件D=“品牌 的测试结果恰有一次大于品牌 的测试结果”.满足 的测试共有4次，其中品牌 的测试结果大于品牌 的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M，N表示.品牌 的测试结果小于品牌 的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P，Q表示.从中随机抽取两次，共有MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ六种情况，其中事件D发生，指的是MP,MQ,NP,NQ四种情况.故 . -10分（）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，
9、结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1: 分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述标准2：会用测试结果的平均数进行阐述-13分可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：结论一：，品牌 处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌 处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些。理由如下：从前6次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌 的测试有两次打开速度比品牌 快(数值小），品牌 有四次比品牌 快，从后6次测试（打开含有文字与图片的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌 有四次打开速度比品牌 快（数值
10、小）.结论二：从测试结果看，这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论：品牌 打开文件速度快一些理由如下：品牌 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为 ，品牌 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为 ，所以品牌 打开文件速度快一些.（且品牌 方差较小）其他答案情况，比照以上情况酌情给分.18.（本题共14分）（）证明：三棱柱 中，侧面 底面 ， ，又因为侧面 底面 ， 底面 ，所以 平面 ，-3分又因为 平面 ，所以 ；-4分（）解：连接 ,因为三棱柱 中，所以 .因为 ，所以 .又因为 ，且 .所以 是边长为2的正三角形.因为 是棱 的中点，所以 ，又因为 ， ，所以 .因为 ， 底面 ，
11、所以 底面 .-6分所以三棱柱 的体积为 ； 8分（）在直线 上存在点 ，使得 平面 .-9分证明如下：连接 并延长，与 的延长线相交，设交点为 .连接 .因为 ，所以 ，故 -10分由于 为棱 的中点，所以 ，故有 -11分又 为棱 的中点，故 为 的中位线，所以 .-12分又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . -13分故在直线 上存在点 ，使得 平面 .此时 ， . -14分 19.（本题共14分）解：（） ， ， ，-2分 ，故 .-4分（）设 ， ，得到 ，依题意，由 得 .且有 ，-6分 ，-7分原点到直线 的距离 -8分所以 -9分解得 1，故椭圆方程为 .-10分（）直线 的垂线
12、为 ，-11分由 解得交点 ，-12分因为 ，又 所以 = ，故 的值为1.-14分 20.（本题共13分）解：（）依题意， -1分所以切线的斜率 又因为 ，-2分所以切线方程为.-3分（）先证不必要性.当 时， ，令 ，解得 .-4分此时， 有且只有一个零点，故“ 有且只有一个零点则 ”不成立.-5分再证充分性.方法一：当 时， .令 ，解得 .-6分（i）当 ，即 时， ，所以 在 上单调增.又 ，所以 有且只有一个零点.-7分（ii）当 ，即 时， ， 随 的变化情况如下: 极大值 极小值 -8分当 时， ， ，所以 -9分又 所以 有且只有一个零点.-10分（说明：如果学生直接写出 时
13、 ，要扣1分）（iii）当 ，即 时， ， 随 的变化情况如下: 极大值 极小值 -11分因为 ，所以 时， -12分令 ，则 . 下面证明当 时， .设 ，则 .当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减所以当 时， 取得极大值 .所以当 时， , 即 .所以 .由零点存在定理， 有且只有一个零点.综上， 是函数 有且只有一个零点的充分不必要条件.-13分（说明：如果学生写出下面过程， ， 时 ， 有且只有一个零点.要扣1分）方法二：当 时，注意到 时， ， ， ，因此只需要考察 上的函数零点.-7分（i）当 ，即 时， 时， ， 单调递增.-8分又 有且只有一个零点.-10分（ii）当 ，即 时，以下同方法一.
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