七不可压缩流的数值方法

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1、1(七七)不可压缩流的数值方法不可压缩流的数值方法 7.1 MAC方法 7.2 投影法 7.3 人工压缩性方法 7.4 SIMPLE方法 7.5 其他方法：谱方法、谱元法、有限元法2不可压N-S方程 不可压N-S方程 MAC法(1965),和投影法Chorin(1968),Temam(1969)投影法(分数步法)，解不可压非定常流使用最多的方法乘子。使散度为零得到满足的的结果。压力只是是连续方程对全域应用（LangrangedVVVVVpVVtV1d)(1d)0dS nsatisfy tocondition boundary for and1c)0:satisfy tocondition in

2、itialfor important isIt(1b)0(1a)Re1023不可压方程的求解困难 不是时间发展型方程，而是每个时间步带散度为零约束条件。半交错网格或者一般同位网格上，中心差分使得压力没有唯一解，或振荡，或奇偶失联。47.1 MAC法(Marker and Cell)Harlow and Welch(1965),属于后来的投影法(1968,1969)右边的称为MAC网格优点：符合有限体积法概念和守恒特性，边界条件可以得到正确实施。5MAC法：方程模拟湍流很重要。证动能的守恒。这对于采用守恒形式，可以保对其中方程压力相容的得到代入离散的零散度方程将离散的动量方程nnjijijinj

3、ihnjinjiynjihnjinjixnjihnjinjinjinjinjihnjiynjinjinjinjihnjixnjinjinjibafffvbtvyuatuxpvuyvxuvypbuvtuxpauut,:(11)Re11Re11Poisson)(),10(,(10)0(9b)Re11(9a)Re11,21,21,1x,2,1,2,11,2121,1,211,1y1,1x21,2121,121,21,121,2121,211,21,211,216MAC法：离散点其他值的定义21,21,21,21,22,211,21,211,2121,2221,21,21,121,1,2141:,:)

4、(41)(41,:jijijijijijijijijijijijijijijivvuuuvyxOuuuuuyxOvvvvv其他值如差分为半点守恒型系数如差分为中心非守恒型puv7MAC法的计算步骤可以构造隐式投影法。就是后面的显式投影法最终步：压力求解步：预算步)7)(6)(3()14(),13(),12(14b)t -(14a)t -(13)1(12b)Re1(12a)Re1121,1*21,121,1,211*,211,21*,1*,11,221,221,21,*21,212,21,21*,21ypuuxpuuyvxutpvbvvuauunjiyjinjinjixjinjijiyjixnj

5、ihnjihnjinjijinjihnjinjiji8MAC法:稳定性要求 (14a),(14b)显式格式，基于简化分析：yxunder ,4Re and Re42200 xtvut9边界条件 速度(16b)2(16a)2:,1,1,1,1bciibcjjuuuvvvuuvv以外的动量方程需要上下边界以外的动量方程需要左右边界puv10边界条件 压力可以消去和即方程求出：可用在写边界上的动量边界上条件。方程不需要压力的边界，压力一旦边界上的速度已知uapuatuxpnVVAtVnpnpvbvbyuauaxvvyuuxtpppyppppxPossionnnjnjnnnjhnjnjhnjnjhnj

6、njhnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj210,2121,2121121,1221,121,1221,1,212,21,232,2321,121,1,21,2311,11,111,121,01,11,11,22Re1Re1 ,Re1)(15)Re1Re11Re1Re11111211puv117.2 投影法(1)：基础Theorem of orthogonal decomposition(an instance of the general Hodge orthogonal decomposition)思想：先计算一个不满足散度为零的中间速度场u*（通常不计压力的效应），然后将它分

7、解为满足散度为零的速度un+1和正比于压力的标量场的梯度之和。boundary on thecomponent normal zero with field solenoidal is whereiondecomposit uniquean admits domain in the field any vectorvvw v12 投影法(2):算法 显式投影法由三个步骤组成(7)4(,:.(6)1Poisson5(5)step)projectionfor (essential 0 with 0(4)2.(3)(reasonble 0 with,Re1)(.11*111*21111*1*2*11

8、nnnnnnnnn*nnnptVVVpVpVtpVnVVptVVV V VVAtVVnn式计算用和由所得的最终步下可以求出压力在方程）取散度得压力对（的散度为零。修正后的速度进行修正的通过下式对预算步所得压力修正步预算步适当的边界条件13投影法(3)：分析 分析:（3）+（4)推荐做法）方程是相容的方程压力散度为零的方程所得到由离散动量方程和离散是有关联的。之间和梯度离散压力的二阶导数离散。不好的性质长问题的解依赖于时间步注释：投影法计算定常空间二阶精度分使用交错网格和中心差法如同类型的投影法。不同的离散形式对应不空间导数的离散精度。空间离散精度取决于时间离散为一阶精度。满足散度为零以及下式.

9、(Poisson)4()6()(.,:MAC(8)Re1)(2111nnnnnnVpVAtVVV14其他类型的投影法 CN(Kim and Moin)0002123layer)boundary numerical causemay (0Re211121*1121*21*nVVptVVVVVVVVwhereVVVVVtVVnnnnnnnnnn投影步：预算步：15其他类型的投影法 CNPC(pressure correction,Van Kan 1986)discretly.derived be shouldEquation Poisson Correction Pressure 0 where0

10、,with,02123)0havemust:Notice(NS)with consistent is Eq above sinceOK seems(This Re21:)(1112121*112111*2121*21nVnVVppntVVVVVVVVwheredSnVVVVVpVVtVVpnBnnnnnnnnnBnBnnnnn投影步：法先算出开始时必须用其他投影预算步16其他类型的投影法 Backward 3-point second order PC(Shen et al):assume its stability is better than CN nVnVVVVVppntVVVVVVVVwhereVVVpVVtVVVBnnnnnnnnnnBnnnn111*1*1111*11*0PC)lincrementa rotational called,*(deu to 10,Re10 with,02)(32Re1243投影步：预算步：17精度 速度 L2-norm:second order 压力 L2-norm:阶 或 阶(rotational)数值边界层23tt造成数值边界层非物理BCnnnn0n1nn1nppp,0)pp(:step projection theFrom