32算符的运算规则

《32算符的运算规则》由会员分享，可在线阅读，更多相关《32算符的运算规则（18页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、3.2 算符的运算规则算符的运算规则3.2.1 算符的定义 所谓算符，是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。若某种运算把函数 变为 ，记作F则表示这种运算的符号 就称为算符。F 如果算符 作用于一个函数 ，结果等于乘上一个常数 ，记为FF则 为 的本征值本征值，为 的本征函数本征函数，上述方程称为 的本征方程本征方程。FFF（3.2.1）3.2 算符的运算规则算符的运算规则其中 、为任意函数，、为常数，则 称为线性算符线性算符。若算符满足：11221122()F ccc Fc F（3.2.2）121c2cF（3.2.3）若算符满足：I为任意函数，则称 为单位算符单位算符。I3.2 算符

2、的运算规则算符的运算规则3.2.2 算符的运算规则 为任意波函数。显然，算符之和满足交换率和结合律 算符之和ABABABBA（3.2.4）ABCABC显然，线性算符之和仍为线性算符。算符之积()()ABA B注：注：一般情形ABBA（3.2.5）（3.2.6）;xAx Bpix 比方，取 则3.2 算符的运算规则算符的运算规则xxpi xx()xp xixii xxx 但()xxxpp xi 因此（3.2.7）从（3.2.8）可见，xxxpp xxxxpp xi 由于 是任意函数，从(3.2.7)式得（3.2.8）3.2 算符的运算规则算符的运算规则记 和 之差为,A BABBAABBA（3.

3、2.9）称为算符 ，的对易关系或对易子。AB式（3.2.8）可记为,xx pi若算符 和 的对易子为零，则称算符 和 对易。ABAB,A BB A ,0A A ,0(is constant)A CC利用对易子的定义（3.2.9）式，易证下列恒等式3.2 算符的运算规则算符的运算规则 ,A BCA BA C ,A BCA B CB A C ,BC AB A CB C A ,0A B CB C ACA B最后一式称为雅可比恒等式。（3.2.10）作为例子，我们讨论角动量算符Lrp xzyLypzpiyzzy yxzLzpxpizxxz zyxLxpypixyyx（3.2.11）上式中 ，=1,2,

4、3表示相应的分量，成为列维-斯维塔记号，满足 1231 任意两个下脚标相同，则 为零。（3.2.14）3.2 算符的运算规则算符的运算规则（3.2.12）它们和坐标算符的对易子是,0,xxxLxLyi zLzi y,0,yyyLxi zLyLzi x,0zzzLxi yLyi xLz,Lxi x（3.2.12）式可表示为（3.2.13）3.2 算符的运算规则算符的运算规则同理可得,Lpi p,LLi L（3.2.16）（3.2.15）LLi L 式中不为零的等式也可写成（3.2.17）,xpi 坐标和动量的对易子可写为（3.2.18）其中 10（3.2.19）3.2 算符的运算规则算符的运算规

5、则（3.2.20）角动量算符的平方是：2222xyzLLLL（3.2.21）则222,0 xyzLLLLLL（3.2.22）在球坐标系下sincossinsincosxryrzr（3.2.23）则222cosrxyzzrytgx3.2 算符的运算规则算符的运算规则（3.2.24）sincosrxxr将r 两边对x 求偏导，得（3.2.25）211coscossinzrxxrr将 两边对x求偏导，得：coszr（3.2.26）221sinsinsecyxrx 再将 两边对x求偏导，得：ytgx利用这些关系式可求得：11 sinsincoscoscossinrxx rxxrrr（3.2.27）3.

6、2 算符的运算规则算符的运算规则（3.2.28）=11 cossinsincos sinsinryy ryyrrr 同理可得：=1cossinrzzrzzrr（3.2.29）（3.2.30）(sincos)xLictg(cossin)yLictgzLi（3.2.31）（3.2.32）则角动量算符可表示为：3.2 算符的运算规则算符的运算规则（3.2.34）+2222222222222cos2sincossinsin(csc)sincosyLctgctgctgctg （3.2.35）2222zL（3.2.33）+2222222222222sin2sincoscoscos(csc)sincosxL

7、ctgctgctgctg 由此可得：（3.2.36）2 =-222222211(sin)sinsinxyzLLLL所以3.2 算符的运算规则算符的运算规则则 的本征方程可写为：（3.2.37）2L22211(sin)(,)(,)sinsinYY （3.2.39）（3.2.38）在数理方法中已讨论过，必须有：(1)l l可解得：(,)(1)(cos),1,mmimlmlmlYN Peml ll 为归一化系数，为连带勒让得多项式。lmN(cos)mlP22(,)(1)(,)lmlmL Yl lY 所以（3.2.40）因为 表示角动量太小，所以称为角动量量子数，称为磁量子数。lm3.2 算符的运算规

8、则算符的运算规则 对应于一个 的值，可以取 个值，因而对于 的一个本征值 ，有 个不同的本征函数 。我们把对应于一个本征只有一个以上的本征函数的情况叫简并，把对应于同一本征值的本征函数的数目称为简并度。的本征值是 度简并的。l(21)l 2L2(1)l l(21)l lmY2L(21)l（3.2.41）同理：(,)(,)zlmlmL Ym Y 即在 态中，体系的角动量在 轴方向投影为lmYzzLm一般称 的态为 态，的态依次为 态。0l s1,2,3l,p d fxy3.2 算符的运算规则算符的运算规则 现在考虑角动量算符的物理意义。设体系绕 轴滚动 角并以 算符变换表示：，z()zR()()

9、RzrRr yx()zR（3.2.42）当 ，即在无穷小转动下，对 做泰勒展开，准确到一级项有1()Rr()1()RzirLr3.2 算符的运算规则算符的运算规则因此，状态 在空间转动后变为另一状态 ，它 等于某个变换算符作用于原来态上的结果，而该变换算符 ，特别在无穷小转动下，角动量算符 纯粹反映空间转动的特征，又称角动量算符为空间转动无穷小算符，从而角动量反映着空间转动变化的特性。()r()Rr()ziaLzRe()1zziRL 3.2 算符的运算规则算符的运算规则 算符的乘幂算符 的 次乘幂定义为AnnAA AA（3.2.20）算符的函数()0(0)()!nnnFF AAn（3.2.21）且能从上式唯一的解出 来，则定义算符 的逆算符 为 算符的逆A1A1A若算符 满足AA（3.2.22）3.2 算符的运算规则算符的运算规则 并非所有的算符都有逆算符存在。但若 存在，则必有1A11A AAAI 1,0A A（3.2.23）