高中数学第一章数列1.3等比数列巧设不能弄巧成拙素材北师大版必修5

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1、巧设不能弄巧成拙在学习等比数列时，引入公比如果设的巧妙，可以简化运算，开拓解题思路，但应注意题设公比的合理性因为有时引入公比后，会不自觉地扩大或缩小原问题中变量的变化范围，不但巧设得不到巧解，反而弄巧成拙下面分析一例例 已知一个各项均为实数的等比数列，其前四项之积为16，第二项与第三项之和为5，求这个数列的公比错解：设这个数列的前四项依次为aq， aq， aq，aq，显然q为其公比由题意，得 把a = 2代入，得2q5q + 2 = 0，解得q =或q = 2 ，把a =2代入，得2q+ 5q + 2 = 0，解得q =或q =2所以，有q= 或q= 4由题意知，所求公比为：或4分析：按照上述

2、设法，这四个数的公比是q，由此可推出这四个数一定是同号，这显然违背题意的因为满足已知条件的四个数不一定同号，所以题设是错误的正确解法一：当所求等比数列的各项同号时，由上述解法知，所求等比数列的公比为或4当所求等比数列的各项异号时，设这个数列的前四项依次为aq， aq， aq，aq，则有 把a = 2代入，得2q+ 5q2 = 0，解得q =，把a =2代入，得2q5q2 = 0，解得q =此时，所求等比数列的公比为：q=()=(2510+ 41) =综上可知，所求等比数列的公比为：4或或正确解法二：设这四个数为a，aq，aq，aq，则由题意知： 把aq= 代入，得：4q17q + 4 = 0，解此方程得：q =或q = 4把aq= 代入，得：q+33q + 1 = 0，解此方程得q =所求公比为：4或或显然，下面两种设法是正确的对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设，aq， aq， a，aq，aq，；对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设，aq， aq， aq，aq，