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1、2013年南昌市高中数学竞赛试卷6月29日上午8:30 11:00【说明】：凡是题号下标志有“高一”的，为高一考生试题；题号下标志有“高二”的，为高二考生试题；凡未作这种标志的，则为全体考生试题一、填空题（每小题分，共分）、将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，则从左至右的第个数字是 、（高一）设等比数列的前项和，则其公比 （高二）若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形，则该椭圆的离心率是 、（高一）等差数列与的相同的项之和为 （高二）正四棱锥中，是的重心，则四面体的体积是 、（高一）满足的实数的集合是 （高二）函数的最大值是 、若为正数，表示的整数部
2、分，而，如果顺次组成等比数列，则 、（高一）是不同的正整数，若集合，为正整数，则的最小值是 、函数的最小值是 、若，则 二、解答题（共分）、（分）如图，过的三个顶点各作其外接圆的切线，分别与相应顶点的对边所在直线相交，证明：三个交点共线、（分）数列满足：，、写出数列前个项的值； 、对任意正整数，求的表达式、（分）盒中装有红色和蓝色纸牌各张，每色纸牌都含标数为的牌各一张，两色纸牌的标数总和记为；对于给定的正整数，若能从盒中取出若干张牌，使其标数之和恰为，便称为一种取牌方案，不同的方案种数记为；试求之值2013年南昌市高中数学竞赛试题解答【说明】：凡是题号下标志有“高一”的，为高一考生试题；题号下
3、标志有“高二”的，为高二考生试题；凡未作这种标志的，则为全体考生试题一、填空题（每小题分，共分）、将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，则从左至右的第个数字是 答案：解：全体一位数共占据个数位，全体两位数共占据个数位，接下来是顺次排列的三位数，由于，而，因，所以第个数字是三位数的末位数字，即为、（高一）设等比数列的前项和，则其公比 答案：解：，当时，（高二）若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形，则该椭圆的离心率是 答案：解：由，得，又据，得，所以，则，所以、（高一）等差数列与的相同的项之和为 答案：解：等差数列，的第一个相同项是，最后一个相同项是，而
4、以为公差，以为公差，所以，构成以为首项， 为末项，且公差为的等差数列，公共项个数为，所以公共项的和为（高二）正四棱锥中，是的重心，则四面体的体积是 答案：解：设交于，则，所以；若是四棱锥的高，则，正方形面积为，所以，的面积为，故四面体体积为，又由，所以四面体体积为，于是四面体的体积为：、（高一）满足的实数的集合是 答案：解：数形结合，将其视为求与交点的横坐标，如图；由于，仅当时，此时方有交点，当，由得，当，得（高二）函数的最大值是 答案：解：将函数式看作定点与动点连线的斜率；而动点的轨迹是一个单位圆，设过点的直线方程为，即，当斜率取最大值时，该直线应是单位圆的一条切线，于是原点到该直线距离为，
5、即有，所以，因此最大值为、若为正数，表示的整数部分，而，如果顺次组成等比数列，则 答案：解：改记，由等比，而，所以，由于，则为正整数，且只有，从而，所以、（高一）是不同的正整数，若集合，为正整数，则的最小值是 答案：解：由偶数，所以两奇一偶；即为奇数，显然，不妨设，如果，则由得，此时导致，矛盾！所以，当时，由，解得，这时，、函数的最小值是 解：由于的中间一数为，当时，函数取得最小值、若，则 答案：解：将条件式平方得，两式相加得；两式相减得：；因此，二、解答题（共分）、（分）如图，过的三个顶点各作其外接圆的切线，分别与相应顶点的对边所在直线相交，证明：三个交点共线证：据梅尼劳斯逆定理，只要证；由
6、弦切角关系，由，得；同理，由，得，由，得所以，因此共线、（分）数列满足：，、写出数列前个项的值； 、对任意正整数，求的表达式解：、顺次算出：；、因为，所以 所以， ， ， ， ， ，相加得，、（分）盒中装有红色和蓝色纸牌各张，每色纸牌都含标数为的牌各一张，两色纸牌的标数总和记为；对于给定的正整数，若能从盒中取出若干张牌，使其标数之和恰为，便称为一种取牌方案，不同的方案种数记为；试求之值解一、将盒中的纸牌按标数自小到大的顺序排成一列：，值相等的两个项不同色，对于每个，数列前项之和小于，故形如的项必须从两个中选出，（任何其它项的和不等于），于是选出一个有两种方法，同时选出两个只有一种方法对于集合中
7、的每个数，可将其表为含有一百个数位的三进制形式：，即 ，其中；若在中恰有个为（其余个数为或），则（这是由于，每个有红蓝两种选取方案）现将集分解为，其中中的每个数在表成上述三进制形式后，其系数恰有个为（其余个数为或），因此集中，共有个数，（这是由于，从中选取个为，有种选法，其余个数，每个可取作或，有种方法）；这样，中各数的值之和为，由于集合两两不相交，从而，注意到，即数列中的每个数都不选，其方案数，所以解二、采用数学归纳法，为此，将问题一般化，将具体数改为非负整数，考虑数列，其和为，今计算的值对归纳，时数列有两项：，则；由于，所以；时数列有四项：，则，而，于是；据此猜想，对于数列（其和为），有 此式在时已验证，今假定对于成立，考虑情况，数列的和为，将集合中的每个数表成三进制形式： 其中，若，这时，利用归纳假设，有种选法；若时， 从两个中取其一，有两种取法，对前段表达式用归纳假设，有种选法；当时， 两个全取，有一种取法，对前段表达式用归纳假设，有种选法；所以，即，即式对于任何非负整数成立；取，得
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