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1、数学运算之牛吃草问题专题牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。 由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。这类问题常用到四个基本公式，分别是：（1）草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）；（2）原有草量牛
2、头数吃的天数草的生长速度吃的天数；（3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）；（4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为1，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。核心公式： 草场草量（牛数每天长草量）天数基本不变量：单位面积牧场上原有草量不变， 一般用来列方程每头牛每天吃草量不变， 一般设为“1”单位面积牧场上每天新增草量不变，一般设为“x”【例1】一片牧草，可供16头牛吃20天，也可以供20头牛吃12天，那么25头牛几天可以吃完？解法1：原的生长速
3、度=（1620-2012）（20-12）=10牛/天 原有草量=1620-1020=120牛 吃的天数=120（25-10）=8天解法2：设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃n天。根据核心公式：(16-x)20（20x）12（25x）n（16x）20（20x）12，得x10，代入得n8【例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？A.20 B.25 C.30 D.35【答案】C【解析】设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天，这片草场可供n头牛吃4天根据核心公式：（10x）20（15x）10（nx）4（10x）20（15x）10，得x5
4、，代入得n30【例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？A.50 B.46 C.38 D.35【答案】D【解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供x头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为y，24天内吃尽40公亩牧场的草，需要n头牛 根据核心公式：33y（2233x）54， 得y（23x）183654x28y（1728x）84，得y（1728x）35184x 解方程，得x1/2，y9， 因此，409（n20）24，得n35，选择D【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量
5、。【例4】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？【解析】设该牧场每天减草量恰可供X头牛吃一天，这片牧场可攻N头牛吃10天。根据核心公式：（20+X）*5=（15+X）*6=（N+X）*10得X=10，N=5.【例5】一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？【解析】假设晚开N分钟，则(2-X)*8=(3-X)*5
6、=X*N求得X=1/3 N=40分钟【例6】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排除了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】 A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时【答案】D【解析】设共需n小时就无人排队了，（8060）4（80260）x，解得x0.8【例7】某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？【解析】等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。(4X)*30=(5-X)*20=（7-X）*n n=12【例7】有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？【解析】假设每公顷草地恰可供X头牛吃1天，每公顷草地原有的草量为Y,8公顷草地可供19头牛吃N天5Y=（11-5X）*106Y=（12-6X）*14得：X=1.5 Y=78Y=（19-8*1.5）*N N=8天
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