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1、长春市普通高中2018届高三质量监测（二） 数学文科一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故选A.2. 已知复数为纯虚数，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得选B3. 命题“若，则”的逆否命题是A. 若，则或 B. 若，则C. 若或，则 D. 若或，则【答案】D【解析】原命题“若则”的逆否命题为“若则”,所以命题“若，则”的逆否命题是若或，则故选4. 已知椭圆的左右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则的周长为A. B. C. D. 【答案】C
2、【解析】由题意知点A在椭圆上，同理.的周长为选C5. 已知平面向量，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为平面向量，所以，所以，故选A.6. 已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 得，解得，从而，故选C.7. 定义在上的奇函数，满足在上单调递增，且，则的解集为A. B. C. D. 【答案】D结合图象及可得或，解得或所以不等式的解集为选D8. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥，故其体积为选B9. 若点
3、满足线性条件，则的最大值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由可得平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z也取得最大值由解得故点A的坐标为（1,3） 选D10. 已知函数，且，则下列结论中正确的是A. B. 是图象的一个对称中心C. D. 是图象的一条对称轴【答案】A【解析】由题意可知，又，故故可排除选项C；对于选项A，成立，故A正确B不正确；对于D，由于，故D不正确所以选A11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由
4、双曲线定义可知，结合 可得，从而，又因为双曲线的离心率大于 ，所以双曲线离心率的取值范围为，故选B. 12. 若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】原方程可化为，令，则设，则得，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减故当时，函数有极大值，也为最大值，且可得函数的图象如下：关于的方程存在三个不等实根，方程有两个根，且一正一负，且正根在区间内令，则有，解得实数的取值范围是选C点睛：解答本题时，根据所给函数的特征并利用换元的方法将问题化为方程根的问题处理，然后结合二次方程根的分布情况再转化成不等式的问题解决对于本题中的根的情况，还要根据数形结合根据
5、两函数图象交点的个数来判断二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】，又，故所求切线的方程为，即答案： 14. 若向区域内投点，则该点到原点的距离小于的概率为_.【答案】【解析】由题意知，所有基本事件构成的平面区域为，其面积为1设“该点到原点的距离小于”为事件A，则事件A包含的基本事件构成的平面区域为，其面积为由几何概型概率公式可得答案：15. 更相减损术是出自九章算术的一种算法.如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入，则输出的值为_.【答案】13【解析】输入，执行程序框图，第一次；第二次；
6、第三次；第四次，满足输出条件，输出的的值为，故答案为.16. 在中，内角的对边分别为，若其面积，角的平分线交于，则_.【答案】1【解析】由题意得，所以，即由三角形角分线的性质可知，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，解得答案：1 点睛：根据三角形的面积公式和可得三角形角平分线的性质，即三角形的角平分线分对边所成的两条线段，和加这个角的两边对应成比例，利用这一性质可进行三角形边的有关计算三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知数列的通项公式为. (
7、1)求证：数列是等差数列； (2) 令，求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）50.【解析】试题分析：（1）根据数列的通项公式，通过作差并结合等差数列的定义证明（2）根据数列的通项公式，去掉绝对值后求和即可试题解析：（1），（），数列为等差数列（2）由（1），当时，；当时，18. 如图，在直三棱柱中， .（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】试题分析：（1）由题意可得，根据余弦定理可证得，从而可得平面，于是可得，然后根据线面垂直的判定可得（2）利用等积法，根据求解试题解析：（1）由题意得，又，在中，由余弦定理得，故，又，又，（2）由题意得 19.
8、 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.(1) 经计算估计这组数据的中位数；(2)现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取个，再从这个中随机抽取个，求这个芒果中恰有个在内的概率.（3）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有个，经销商提出如下两种收购方案：A：所以芒果以元/千克收购；B：对质量低于克的芒果以元/个收购，高于或等于克的以元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？【答案】（1）268.75；（2）；（3）见解析.【解析】试
9、题分析：（1）根据频率分布直方图和中位数的定义求解（2）有分层抽样可得，应从内抽取4个芒果，从内抽取2个芒果，列举出从6个中任取3个的所有可能情况，然后判断出这个芒果中恰有个在的所有情况，根据古典概型概率公式求解（3）分别求出两种收购方案中的获利情况，然后做出选择试题解析：（1）由频率分布直方图可得，前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以中位数在内，设中位数为，则有，解得故中位数为268.75.（2）设质量在内的4个芒果分别为，质量在内的2个芒果分别为. 从这6个芒果中选出3个的情况共有，共计20种，其中恰有一个在内的情况有，共计12种，因此概率（3）方案A： 方案B：由题意得低于250克：
10、元；高于或等于250克元故的总计元由于，故B方案获利更多，应选B方案点睛：利用频率分布直方图估计样本数字特征的方法(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值；(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和；(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标20. 已知直线过抛物线：的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为.(1)求抛物线的方程;(2)若点，过点的直线与抛物线相交于,两点，设直线与的斜率分别为和.求证：为定值，并求出此定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由直线过抛物线：的焦点，且
11、垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为可得抛物线的通径为，可得抛物线的方程为；（2）设直线的方程为：，与抛物线可得，根据韦达定理以及斜率公式，消去参数，可得.试题解析：（1）由题意可知，抛物线的方程为. （2）已知点，设直线的方程为：，则，联立抛物线与直线的方程消去得可得，代入可得.因此可以为定值，且该定值为.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求抛物线及直线与抛物线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.
12、函数.（1）若函数恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，设在时取到极小值，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：.试题解析：（1）由题意得恒成立，恒成立设，则，故当时，单调递减，当时，单调递增.所以，.实数的取值范围为（2）当时，令，则，故当时，单调递增；当时，单调递减而，且，存在，使得，因此，令，则在区间上单调递增，又，所以，即成立点睛：（1）解决恒成立问题时，可选择分离参数的方法求解，转化为求具体函数的最值的问题，然后利用导数解决若参数不可分离，则可根据函数的单调性并结合图象求解，此时往往要对参数进行分类讨论（2）当导数的零点存在但不可求时，可根据零点存在定理判断出导函数
13、的零点所在的区间，然后利用整体代换的方法去解决问题（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修44：坐标系与参数方程选讲.已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于,两点，与交于两点，求的取值范围.【答案】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ；（2）.【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用 即可得的直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，利用韦达
14、定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ； （2）设直线的参数方程为（为参数）又直线与曲线：存在两个交点，因此. 联立直线与曲线：可得则联立直线与曲线：可得，则即23. 选修45：不等式选讲.已知函数.(1)求的解集；(2) 若的最小值为,正数满足，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）将函数写成分段函数形式，画出函数图象，利用数形结合思想可得的解集；（2）由（1）中的图象可得的最小值为，利用均值不等式可知，进而可得结果.试题解析：（1）由图像可知：的解集为. （2）图像可知的最小值为1， 由均值不等式可知，当且仅当时，“”成立，即.
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