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1、1(2011东阳模拟)如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，BAC30，BMAC交AC于点M，EA平面ABC，FCEA，AC4，EA3，FC1.(1)证明：EMBF；(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值解：(1)证明：因为AC是圆O的直径，所以ABC90，又BAC30，AC4，所以AB2，而BMAC，易得AM3，BM.如图，以A为坐标原点，垂直于AC的直线、AC、AE所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系由已知条件得A(0,0,0)，M(0,3,0)，E(0,0,3)，B(，3,0)，F(0,4,1)，(0，3,3)，(，1,1)由(0，3,3)(，1,1)0，得，EMBF
2、.(2)由(1)知(，3,3)，(，1,1)设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得令y1，得z2，x，n(，1,2)，由已知EA平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为(0,0,3)，设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为，则cos|cosn，|，故平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.2(2011广州模拟)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，BMPD于点M.(1)求证：AMPD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值解：(1)证明：PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.ABAD，ADPAA，AD
3、平面PAD，PA平面PAD，AB平面PAD.PD平面PAD，ABPD，BMPD，ABBMB，AB平面ABM，BM平面ABM，PD平面ABM.AM平面ABM，AMPD.(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，M(0，1,1)(1,2,0)，(0,1,1)，(1,0,0)设平面ACM的一个法向量为n(x，y，z)，由n，n可得令z1，得x2，y1.n(2，1,1)设直线CD与平面ACM所成的角为，则sin.cos.直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为.3(2011海淀模拟)在如图的多
4、面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点(1)求证：AB平面DEG；(2)求证：BDEG；(3)求二面角CDFE的余弦值解：(1)证明：ADEF，EFBC，ADBC.又BC2AD，G是BC的中点，AD綊BG，四边形ADGB是平行四边形ABDG.AB平面DEG，DG平面DEG，AB平面DEG.(2)证明：EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE，又AEEB，EB，EF，EA两两垂直以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(
5、2,4,0)，F(0,3,0)，D(0，2,2)，G(2,2,0)(2,2,0)，(2,2,2)22220.BD.(3)由已知得(2,0,0)是平面EFDA的一个法向量设平面DCF的法向量为n(x，y，z)，(0，1,2)，(2,1,0)，即令z1，得n(1,2,1)设二面角CDFE的大小为，则coscosn，二面角CDFE的余弦值为.4(2011新课标全国卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值解：(1)证明：因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD.从而BD2A
6、D2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0)设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面PBC的法向量为m，则可取m(0，1，)则cosm，n.故二面角APBC的余弦值为.5(2011嘉兴模拟)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE与平面ABCD所成角为60.(1)求证：AC平面BDE；(
7、2)求二面角FBED的余弦值；(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论解：(1)证明：因为DE平面ABCD，所以DEAC.因为ABCD是正方形，所以ACBD，从而AC平面BDE.(2)因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系Dxyz如图所示因为BE与平面ABCD所成角为60，即DBE60，所以.因为正方形ABCD的边长为3，所以BD3，所以DE3，AF.则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0，3,0)，所以(0，3，)，(3,0，2)，设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，则即令z，则n(4,2，)因为AC平面BDE，所以为平面BDE的一个法向量，(3，3,0)，所以cosn，.因为二面角为锐角，所以二面角FBED的余弦值为.(3)点M是线段BD上一个动点，设M(t，t,0)则(t3，t,0)，因为AM平面BEF，所以n0，即4(t3)2t0，解得t2.此时，点M坐标为(2,2,0)，BMBD，符合题意
专题四第3讲空间向量与立体几何理科独具
