台湾数学能力竞赛决赛
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1、 中小学教育资源站(),百万资源免费下载,无须注册!2007年台湾数学能力竞赛决赛笔试一1、试求使为整数的正整数解2、为一整系数多项式,a、b为两相异整数,若、,且,试证:当时,3、锐角,上有一点D,上有一点E,上有一点F,试证:存在唯一一组解,使,笔试二1、给定与其外接圆,令P为劣弧上之一点,异于B、C,连交于Q,试求的最小值()2、有一正整数列1,2,3,2n1、2n,现从中挑出n个数,从大到小排列依次为a1,a2,an,另n个数从小到大排列依次为b1,b2,bn求之所有可能的值3、a、b、c为正实数,试证明:2007年台湾数学能力竞赛决赛笔试一详解1、解:引理:,只要不为有理数即可,设为
2、一有理数,但皆不为有理数因则唯一有理数,矛盾故,令,为正整数,则或2或3,故共有8组解2、解:设,亦为整系数多项式; 故 或 (1)又 故 或 (2)欲使(1)(2)同时成立,唯有,故3、解:作三高之垂足,显然成立设三垂足分别为D0,E0,F0,若有一D异于D0合条件,欲使,则,于是,同理于是,若D在D 0左侧,则E,F也在左侧,与相交,故不平行;,不符合要求若在右侧亦然,故D0,E0,F0为唯一笔试一详解1、解:设,A、B、P、C四点共圆由正弦定理得:得:2、解:令n+1、n+2、n+3、2n为大数,1、2、3、n为小数设中必也有nk个小数,则中必有nk个大数,k个小数,其中令:a1,a2,ak,bk+1,b k+2,bn 为大数,b1,b2,bk,ak+1,a k+2,an 为小数3、解:令当 时,不等式恒成立,故,同理:,;则中小学教育资源站
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