高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式素材4新人教A版选修45通用

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1、三 排序不等式知识梳理1.基本概念设a1a2a3an,b1b2b30,由不等式的单调性,知abacbc,.由排序原理,知ab+ac+bcab+ac+bc,即所证不等式成立.绿色通道:要利用排序原理解答相关问题,必须构造出相应的数组,并且要排列出大小顺序,因此比较出数组中的数间的大小关系是解答题的关键和基础.【变式训练】 设a,b都是正数,求证:()2+()2+.思路分析:观察不等式找出数组,并比较大小,用排序原理证明.证明:由题意不妨设ab0.由不等式的单调性,知a2b2,.所以.根据排序原理,知.即()2+()2+.【例2】 设a1,a2,an是1,2,n的一个排列,求证:+.思路分析:构造

2、出数组,利用排序原理证明.证明:设b1,b2, ,bn-1是a1,a2, ,an-1的一个排列,且b1b2bn-1;c1,c2, ,cn-1是a2,a3, ,an的一个排列,且c1c20,可知a12a22an2,an-1an-1-1a1-1.由排序原理,得a12b1-1+a22b2-1+an2bn-1a12a1-1+a22a2-1+an2an-1即a12b1-1+a22b2-1+an2bn-1a1+a2+an.问题探究问题:有十人各拿一只水桶去打水,如果水龙头灌满第i个人的水桶需要ti分钟,且这些ti(i=1,2, ,10)各不相等,试问:若有两个相同的水龙头供水时,应如何安排这十个人的次序,

3、使他们花费的总时间最少?这个最少的总时间是多少?导思:考虑两个水龙头,要注意数组的搭配与数组中的大小顺序,可以联系教材上一个水龙头供水时的设定方法去求解.探究:如果有两个水龙头,设总时间最少时有m个人在第一个水龙头打水,设依次所需时间为p1,p2, ,pm;有10-m个人在第二个水龙头打水,依次所需时间设为q1,q2, ,q10-m.显然必有一个水龙头的打水人数不少于5人,不妨设为第一个水龙头,也不可能有一个水龙头没人去打水,则5m10.设p1p2pm,q1q2q10-m.总花费的时间为:T=mp1+(m-1)p2+pm+(10-m)q1+(9-m)q2+q10-m.其中p1,p2, ,pm,

4、q1,q2, ,q10-m=t1,t2, ,t10,t1t20.即当m5时,我们让第一水龙头的第一人到第二水龙头去后,总时间减少.故在m=5时,总时间可能取得最小值.由于m=5,故两个水龙头人一样多,总用时:T=(5p1+4p2+3p3+2p4+p5)+(5q1+4q2+3q3+2q4+q5).由于p1p2p5,q1q2q5.不妨设p1=t1.下证q10.即经交换后总时间变少.故q1p2.也即q1=t2.类似地我们可以证明:piqipi+1(i=1,2,3,4),p5q5.从而最省时的打水顺序为:水龙头一:t1,t3,t5,t7,t9;水龙头二:t2,t4,t6,t8,t10.其中:t1t2t10.

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