高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式素材4新人教A版选修45通用

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1、三 排序不等式知识梳理1.基本概念设a1a2a3an,b1b2b30,由不等式的单调性，知abacbc,.由排序原理，知ab+ac+bcab+ac+bc，即所证不等式成立.绿色通道：要利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应的数组，并且要排列出大小顺序，因此比较出数组中的数间的大小关系是解答题的关键和基础.【变式训练】 设a,b都是正数，求证：()2+()2+.思路分析：观察不等式找出数组，并比较大小，用排序原理证明.证明：由题意不妨设ab0.由不等式的单调性，知a2b2,.所以.根据排序原理，知.即()2+()2+.【例2】 设a1,a2,an是1，2，n的一个排列，求证：+.思路分析：构造

2、出数组，利用排序原理证明.证明：设b1,b2, ,bn-1是a1,a2, ,an-1的一个排列，且b1b2bn-1；c1,c2, ,cn-1是a2,a3, ,an的一个排列，且c1c20,可知a12a22an2,an-1an-1-1a1-1.由排序原理，得a12b1-1+a22b2-1+an2bn-1a12a1-1+a22a2-1+an2an-1即a12b1-1+a22b2-1+an2bn-1a1+a2+an.问题探究问题：有十人各拿一只水桶去打水，如果水龙头灌满第i个人的水桶需要ti分钟，且这些ti（i=1,2, ,10)各不相等，试问：若有两个相同的水龙头供水时，应如何安排这十个人的次序，

3、使他们花费的总时间最少？这个最少的总时间是多少？导思：考虑两个水龙头，要注意数组的搭配与数组中的大小顺序，可以联系教材上一个水龙头供水时的设定方法去求解.探究：如果有两个水龙头，设总时间最少时有m个人在第一个水龙头打水，设依次所需时间为p1,p2, ,pm;有10-m个人在第二个水龙头打水，依次所需时间设为q1,q2, ,q10-m.显然必有一个水龙头的打水人数不少于5人，不妨设为第一个水龙头，也不可能有一个水龙头没人去打水，则5m10.设p1p2pm，q1q2q10-m.总花费的时间为：T=mp1+(m-1)p2+pm+(10-m)q1+(9-m)q2+q10-m.其中p1,p2, ,pm,

4、q1,q2, ,q10-m=t1,t2, ,t10,t1t20.即当m5时，我们让第一水龙头的第一人到第二水龙头去后，总时间减少.故在m=5时，总时间可能取得最小值.由于m=5，故两个水龙头人一样多，总用时:T=(5p1+4p2+3p3+2p4+p5)+(5q1+4q2+3q3+2q4+q5).由于p1p2p5,q1q2q5.不妨设p1=t1.下证q10.即经交换后总时间变少.故q1p2.也即q1=t2.类似地我们可以证明：piqipi+1(i=1,2,3,4),p5q5.从而最省时的打水顺序为：水龙头一：t1,t3,t5,t7,t9;水龙头二:t2,t4,t6,t8,t10.其中：t1t2t10.