黑龙江省齐齐哈尔市高三数学第一次模拟考试3月试题文含解析

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1、齐齐哈尔市2020届高三第一次模拟考试数学试卷（文科）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由一元一次不等式的解法求得集合B，由交集的运算求出，得到结果.【详解】由题意得，又因为，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2. （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】故选B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3.若函数是奇函数，则（ ）A. -1B. C. D. 1【答案】B【解析】【

2、分析】首先根据奇函数的定义，求得参数，从而得到，求得结果.【详解】由得，故选B.【点睛】该题考查函数的奇偶性及函数求值等基础知识，属于基础题目，考查考生的运算求解能力.4.若满足不等式组则的最小值为（ ）A. -2B. -3C. -4D. -5【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值【详解】画出x，y满足不等式组表示的平面区域，如图所示：平移目标函数z2x3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）当目标函数过点A时，z取得最小值，z的最小值为22335故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查5.已知双曲线的离心率

3、为，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据条件，可得，整理得，结合双曲线中之间的关系，整理求得，进而得到双曲线的渐近线的方程.【详解】，所以该双曲线的渐近线方程为，即，故选C.【点睛】该题考查的是有关双曲线的渐近线的方程，在解题的过程中，涉及到的知识点有双曲线的离心率，双曲线中之间的关系，属于简单题目.6.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地.在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽

4、为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论【详解】图标第一部分的面积为83124，图标第二部分的面积和第三部分的面积为329，图标第三部分的面积为224，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B【点睛】本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题7.在公比为整数的等比数列中，则的前4项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，可先用首项及公比

5、表示可得，联立方程可求得，然后代入等比数列的前项和公式可求答案.【详解】设等比数列的首项为，公比为，因为，所以，两式相除可得，由公比为整数可得，故选A.【点睛】该题考查的是有关等比数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，等比数列的前项和公式，属于简单题目.8.运行如图程序，则输出的的值为（ ）A. 0B. 1C. 2020D. 2020【答案】D【解析】依次运行程序框图给出的程序可得第一次：，不满足条件；第二次：，不满足条件；第三次：，不满足条件；第四次：，不满足条件；第五次：，不满足条件；第六次：，满足条件，退出循环。输出2020。选D。9.若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）

6、A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的值域为，所以转化为有3个零点，对求导，分类讨论，得到的单调性，从而求得函数的零点个数，得到结果.【详解】令，若有3个零点，即有3个零点，.当时，是增函数，至多有一个零点；当时，.由题意知，故选D.【点睛】该题考查的是有关根据函数零点的个数求参数的取值范围的问题，注意应用导数研究函数的单调性，从而确定出函数的零点的个数，属于简单题目.10.在长方体中，则直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由异面直线所成的角的定义，先作出这个异面直线所成的角的平面角，即连接DC1，再证明BC1D就是异面直线A

7、B1与所成的角，最后在BC1D中计算此角的余弦值即可【详解】如图连接C1D，则C1DAB1，BC1D就是异面直线AB1与BC1所成的角又，=，AB=，=BD，在BC1D中，cosBC1D异面直线AB1与所成的角的余弦值为：故选：D【点睛】本题考查了异面直线所成的角的定义和求法，关键是先作再证后计算，将空间角转化为平面角的思想，属于基础题11.已知函数在上是单调函数，且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得 cos（），则 （，由此可得的取值范围【详解】函数f（x）cosxsinx

8、2cos（x） 在（0，）上是单调函数，0又f（）1，即 cos（），则 （，（0，故选：C【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题12.已知半圆：，、分别为半圆与轴的左、右交点，直线过点且与轴垂直，点在直线上，纵坐标为，若在半圆上存在点使，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在RtPBT中，|BT|PB|t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案【详解】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|t|，由于BP与x轴垂直，且

9、BPQ，则在RtPBT中，|BT|PB|t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t取得最小值，t0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为，0）；故选：A【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于中档题二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知，则_【答案】【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式求得cos2a的值【详解】22，故答案为【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题14.设等差数列的前项和为，且，则的公差为_【答案

10、】2【解析】【分析】设等差数列的公差为，运用等差数列的求和公式以及通项公式，得到对应的等量关系式，求得结果.【详解】由，得，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式和求和公式，属于简单题目.15.甲、乙、丙三个同学同时做标号为、的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是_（填所有正确说法的编号）三个题都有人做对；至少有一个题三个人都做对；至少有两个题有两个人都做对.【答案】【解析】【分析】运用题目所给的条件，进行合情推理，即可得出结论.【详解】若甲做对、，乙做对、，丙做对、，则题无人做对，所以错误；若甲做对、，

11、乙做对、，丙做对、，则没有一个题被三个人都做对，所以错误.做对的情况可分为这三种：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足的说法.故答案是：.【点睛】该题考查的是有关推理的问题，属于简单题目.16.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，则球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据题中所给的条件，取中点，可以得到，从而确定出球半径为1，利用球的表面积公式求得结果.【详解】取中点，由，知，球半径为1，表面积为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的问题，涉及到的知识点有球的表面积公式，确定出球心位置是解题的关键.三、解

12、答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知中，角所对的边分别是，的面积为，且，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知利用三角形面积公式可得tanA2，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，cosA，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosB的值（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理可得b的值，即可得S的值【详解】（1）SbcsinAbccosA，sinA2cosA，可得：tanA2，ABC中，A为锐角，又sin2A+cos2A1，可得：sinA，cosA，又C，cosBcos（A+C）cosAcosC+

13、sinAsinC，（2）在ABC中，sinB，由正弦定理，可得：b3，SbccosA3【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18.如图，四棱锥中，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见证明（2）【解析】【分析】（1）根据题中所给的条件，利用勾股定理，得到，利用已知条件，结合线面垂直的判定定理得到平面，进而证得平面平面；（2）利用三棱锥体积转换，求得点到平面的距离.【详解】（1），平面，平面，平面平面.（2）取中点，连接，则，且，由平面平面知平面，由平面得，

14、又,的面积为，又的面积为，设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，点到平面的距离，属于简单题目.19.某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间/分钟总人数203644504010将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（

15、2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出5人，进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，求作重点发言的2人中，至少1人是女生的概率.参考公式：，其中.临界值表0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）根据题意，得出抽取男女生人数，列出所有的基本事件，找出满足条件的基本事件，利用古典概型概率公式求得结果.【详解】（1）锻炼不达标锻炼达标合计男603090女9020110合计15050200由列联表中数据，计算得到的观测值为 .所以在犯

16、错误的概率不超过0.025的前提下能判断“锻炼达标”与性别有关.（2）“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为，故用分层抽样方法从中抽取5人，有3人是男生，记为，有2人是女生，记为，则从这5人中选出2人，选法有共10种，设事件表示“作重点发言的2人中，至少有1人是女生”，则事件发生的情况为，共7种.所以所求概率为.【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有独立性检验，分层抽样，古典概型，属于简单题目.20.已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为.过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，直线与椭圆相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线与椭圆相交于两点，使得？若存

17、在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意列出关于a,b的关系式，解得a，b即可.（2）将直线与椭圆联立，将向量数量积的运算用坐标形式表示，利用根与系数之间的关系确定k的取值范围【详解】（1）在中，令，得，解得.由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长）为3，得，所以.因为直线：与椭圆相切，则.将代入，得.故椭圆的标准方程为.（2）设点，.由（1）知，则直线的方程为.联立得，则恒成立.所以， .因为，所以.即.即 ，得，得，即，解得；直线存在，且的取值范围是.【点睛】本题综合考查椭圆的性质及其应用、直线与椭圆的位置关系，考查了

18、向量数量积的坐标运算，同时考查了基本运算能力、逻辑推理能力，难度较大21.已知函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）设存在两个极值点，（），且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求当时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）函数在上有两个极值点，可得，不等式恒成立即为，求得，令，求出导数，判断单调性，即可得到的范围，从而求得结果.【详解】（1）因为，所以，又因为，所以切线过点，切线方程为.（2），令，可得，因为存在两个极值点，所以，所以，所以，由恒成立可得， ， ，令.，因为，所以，所以，所以在单调递减，所以.所以，

19、即实数的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，函数图象在某点处的切线方程的求解，应用导数研究函数的极值，利用导数研究恒成立问题，属于较难题目.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），是曲线上的任一点，过作轴的垂线，垂足为，线段的中点的轨迹为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若直线：交曲线于，两点，求.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数求出曲线C的普通方程，再设P，Q中点坐标，表示出P坐标代入曲线方程，得到的直角坐标方程（2）联立直线与曲线的方程，

20、求得交点横坐标，利用弦长公式求出弦长|MN|【详解】（1）消去参数得曲线的普通方程为，设的中点坐标为，则点坐标为，则中点的轨迹方程为.（2）直线的直角坐标方程为；联立，得.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查了轨迹问题及弦长公式，考查运算求解能力，是中档题23.已知函数.（）解不等式：；（）已知且对于，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用绝对值的定义分类求解；(2)借助题设条件运用绝对值的几何意义与基本不等式求解.试题解析：（1），当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得所以不等式的解集为（2），对于，恒成立等价于：对，即，考点：绝对值不等式的几何意义和解法等有关知识的综合运用