初中数学竞赛辅导第十三讲用枚举法解题(含答案)
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1、第十三讲 用枚举法解题一、内容提要有一类问题的解答,可依题意一一列举,并从中找出规律。列举解答要注意: 按一定的顺序,有系统地进行; 分类列举时,要做到既不重复又不违漏; 遇到较大数字或抽象的字母,可从较小数字入手,由列举中找到规律。二、例题1例1如图由西向东走,从A处到B处有几种走法? 1 解:我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目,例如从A到C有三种走法,在C处标上3,从A到M(N)有314种,从A到P有34411种,这样逐步累计到B,可得111113(种)走法例2 写出由字母X,Y,Z中的一个或几个组成的非同类项(系数为1)的所有四次单项式。解法一:按X4,X3,X2,X,以及不含X的
2、项的顺序列出(如左)解法二:按XYZX的顺序轮换写出(如右)X4 , X 4 , Y4 , Z4X3Y,X3Z, X3Y , Y3Z , Z3XX2Y2, X2Z2, X2YZ, X3Z , Y3X, Z3Y XY3, XZ3, XY2Z, XYZ2, X2Y2, Y2Z2 , Z2X2Y4, Z 4 Y3Z, Y2Z 2, YZ3。 X2YZ, Y2ZX, Z2XY解法三:还可按3个字母,2个字母,1个字母的顺序轮换写出(略)例3 讨论不等式axb的解集。解:把a、b、c都以正、负、零三种不同取值,组合成九种情况列表ax0时,解集是x, 当a, 当a=0,b0时,解集是所有学过的数, 当a=
3、0,b0时,解集是空集(即无解)例4如图把等边三角形各边4等分,分别连结对应点,试计算图中所有的三角形个数解:设原等边三角形边长为4个单位,则最小的等边三角形边长是1个单位,再按顶点在上和顶点在下两种情况,逐一统计: 边长1单位,顶点在上的有:1+2+3+4=10边长1单位,顶点在下的有:1+2+3=6边长2单位,顶点在上的有:1+2+3=6边长2单位,顶点在下的有:1边长3单位,顶点在上的有:1+2=3边长4单位,顶点在上的有:1合计共27个练习十三1、已知x,y都是整数,且xy=6,那么适合等式解共_个,它们是_2、a+b=37,适合等式的非负整数解共_组,它们是_3、xyz=6,写出所有
4、的正整数解有:_4、如图线段AF上有B,C,D,E四点,试分别写出以A,B,C,D,E为一端且不重复的所有线段,并统计总条数。 5、写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项(系数为1)的所有三次单项式 。6、除以4余1 两位数共有几个?7、从1到10这十个自然数中每次取两个,其和要大于10,共有几种不同取法?8、把边长等于4的正方形各边4等分,連结各对应点成16个小正方形,试用枚举法,计算共有几个正方形?如果改为 5等分呢?10等分呢?9.右图是街道的一部分,纵横各有5条路,如果从A到B(只能从北向南,从西向东),有几种走法? 10.列表讨论不等式axb的解集. 11.一个正整数加上3是5的倍数,减去3是6的倍数,则这个正整数的最小值是_ 练习十三答案:1.8组2.18组3.9组4.15条5.10个6.22个(从13,17,97)7.25种8.122324230个,55个,385个9.70种10. 当a0时,x; 当a;当a=0,b0时,无解;当a=0,b0时,有无数多个解。11. 27- 5 -
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