江苏省盐城市学富镇时杨中学高三上摸底数学试卷文科解析版

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1、2016-2017学年江苏省盐城市学富镇时杨中学高三（上）摸底数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1已知集合A=1，2，3，B=0，2，3，则AB=2若（x+i）2是实数（i是虚数单位），则实数x的值为3一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在2000，3500）范围内的人数为4根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为5已知a，b1，2，3，4，5，6，直线l1：x2y1=0，l2：ax+by1=0，则直线l1l2的概率为6若变量x，y满足约束条件则w=log3（2x+y）的最大值为7已知

2、抛物线y2=2px的准线与双曲线x2y2=2的左准线重合，则p的值为8在等比数列an中，若a1+a2=，a3+a4=1，则a7+a8+a9+a10=9在ABC中，已知BC=1，B=，ABC的面积为，则AC的长为10已知p：x24x50，q：x22x+1m20（m0），若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为11函数f（x）=acos（ax+）（a0）图象上两相邻的最低点与最高点之间的距离的最小值是12已知椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于13已知ABC中，B=45，AC=4，则ABC面积的最大值

3、为14设点（a，b）在平面区域D=（a，b）|a|1，|b|1中均匀分布出现，则双曲线的离心率e满足1e的概率为二、解答题：本大题共6小题，共90分15已知向量=（4，5cos），=（3，4tan），（0，），求：（1）|+|；（2）cos（+）的值16如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点（1）求证：DE平面ABC；（2）求三棱锥EBCD的体积17现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮，作为铁

4、皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x （cm），高为y（cm），体积为V（cm3）（1）求出x与y的关系式；（2）求该铁皮盒体积V的最大值18平面直角坐标系xoy中，直线xy+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由19已知函数f（x）=（ax2+x）ex，其中e是自然数的底数，aR（1）当

5、a0时，解不等式f（x）0；（2）若f（x）在1，1上是单调增函数，求a的取值范围；（3）当a=0时，求整数k的所有值，使方程f（x）=x+2在k，k+1上有解20设数列an的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（p，q为常数，nN*），如果：a1=2，a2=1，a3=q3p（1）求p，q的值；（2）求数列an的通项公式；（3）是否存在正整数m，n，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由2016-2017学年江苏省盐城市学富镇时杨中学高三（上）摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1已知集合A=1，2，3

6、，B=0，2，3，则AB=2，3【考点】交集及其运算【分析】直接运用交集的定义求解即可【解答】解：A=1，2，3，B=0，2，3，又AB=x|xA且xB，AB=2，3，故答案为：2，32若（x+i）2是实数（i是虚数单位），则实数x的值为0【考点】复数的基本概念【分析】由（x+i）2=x2+2xi+i2=x21+2xiR可得虚部为0可求x【解答】解：（x+i）2=x2+2xi+i2=x21+2xiR2x=0即x=0故答案为：03一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在2000，3500）范围内的人数为700【考点】用

7、样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图【分析】先有频率分布直方图求出在2000，3500）收入段的频率，用此频率乘以样本容量计算出应抽人数【解答】解：由图2000，3500）收入段的频率是（0.0005+0.0005+0.0004）500=0.7；则在2000，3500）收入段应抽出人数为0.71000=700故答案为：7004根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为21【考点】伪代码【分析】第一次循环，i=3，S=23+3=9；第二次循环，i=5，S=25+3=13；第三次循环，i=7，S=27+3=17；第四次循环，i=9，S=29+3=21，退出循环，故可得结论【解答】解：由题意，第一

8、次循环，i=3，S=23+3=9；第二次循环，i=5，S=25+3=13；第三次循环，i=7，S=27+3=17；第四次循环，i=9，S=29+3=21，退出循环故答案为：215已知a，b1，2，3，4，5，6，直线l1：x2y1=0，l2：ax+by1=0，则直线l1l2的概率为【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；等可能事件的概率【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是36，满足条件的事件是直线l1l2，得到关于a，b的关系式，写出满足条件的事件数，即可得到结果【解答】解：设事件A为“直线l1l2”，a，b1，2，3，4，5，6的总事件数为（1，1），（1，2），（1

9、，6），（2，1），（2，2），（2，6），（5，6），（6，6）共36种，而l1：x2y1=0，l2：ax+by1=0，l1l21a2b=0，a=2时，b=1；a=4时，b=2；a=6时，b=3；共3种情形P（A）=直线l1l2的概率为：故答案为：6若变量x，y满足约束条件则w=log3（2x+y）的最大值为2【考点】简单线性规划【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=2x+y的最大值【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（3，3），（1，1），（1，6）将三个代入得z的值分别为3，1，log3

10、8，直线z=2x+y过点 A（3，3）时，z取得最大值为9；w=log3（2x+y）的最大值为2故答案为：27已知抛物线y2=2px的准线与双曲线x2y2=2的左准线重合，则p的值为2【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，建立关系，即可求出p的值【解答】解：抛物线y2=2px的准线为：x=，双曲线x2y2=2的左准线为：x=，由题意可知，p=2故答案为：28在等比数列an中，若a1+a2=，a3+a4=1，则a7+a8+a9+a10=12【考点】等比数列的通项公式【分析】由于等比数列an中，从第一项开始，每相邻两项的和也构成等比数列，根据，

11、可得a7+a8 =2，a9+a10 =4，从而求得结果【解答】解：等比数列an中，由于从第一项开始，每相邻两项的和也构成等比数列，又已知，a5+a6=2，a7+a8 =4，a9+a10 =8，a7+a8+a9+a10=4+8=12，故答案为129在ABC中，已知BC=1，B=，ABC的面积为，则AC的长为【考点】正弦定理【分析】有三角形的面积公式先求|AB|，再由余弦定理求AC的长【解答】解：因为SABC=，|AB|=4，由余弦定理得：|AC|=故答案为：10已知p：x24x50，q：x22x+1m20（m0），若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判

12、断【分析】求出p中x的范围，利用p是q的充分不必要条件，列出不等式组，求出m的范围，得到最大值【解答】解：由p：x24x50，解得x1或x5，q：x22x+1m20（m0），解得xm+1或x1m，p是q的充分不必要条件，所以，解得m2，所以m的最大值为：2故答案为：211函数f（x）=acos（ax+）（a0）图象上两相邻的最低点与最高点之间的距离的最小值是2【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】求出函数的最大值，函数的周期，通过直角三角形，利用基本不等式即可求出同一周期内的最高点与最低点之间距离的最小值【解答】解：因为函数y=acos（ax+）的最大值为：|a|，周期为 T=，所以同一周期

13、内的最高点与最低点之间距离为： =（当且仅当a=时等号成立）故答案为：12已知椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于【考点】椭圆的简单性质【分析】先求出FQ 的长，直角三角形FMQ中，由边角关系得 tan30=，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值【解答】解：由已知得 FQ=，MF=，因为椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若PQM为正三角形，所以tan30=e 所以e=，故答案为：13已知ABC中，B=45，AC=4，则ABC面积的

14、最大值为4+4【考点】余弦定理；正弦定理【分析】利用余弦定理表示出cosB，将B的度数，以及AC，即b的值代入，整理后再利用基本不等式求出ac的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值【解答】解：B=45，AC=b=4，由余弦定理cosB=得： =，ac=a2+c2162ac16，即（2）ac16（当且仅当a=c时取等号），ac=8（2+）=16+8，ABC面积S=acsinB（16+8）=4+4，则ABC面积的最大值为4+4故答案为：4+414设点（a，b）在平面区域D=（a，b）|a|1，|b|1中均匀分布

15、出现，则双曲线的离心率e满足1e的概率为【考点】双曲线的简单性质；几何概型【分析】根据双曲线的离心率e满足1e，可得利用平面区域D=（a，b）|a|1，|b|1的面积为4，ab0围成区域的面积为，即可求得结论【解答】解：双曲线的离心率e满足1e平面区域D=（a，b）|a|1，|b|1的面积为4，ab0围成区域的面积为双曲线的离心率e满足1e的概率为故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共90分15已知向量=（4，5cos），=（3，4tan），（0，），求：（1）|+|；（2）cos（+）的值【考点】三角函数的化简求值；向量的模；平面向量数量积的运算【分析】由两向量的坐标，以及两向量垂直时数量

16、积为0，列出关系式，利用同角三角函数间的基本关系化简后，求出sin的值，由的范围，再利用同角三角函数间的基本关系求出cos的值，（1）由两向量的坐标求出+的坐标表示，把cos和tan的值代入即可求出|+|的值；（2）把所求的式子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将sin和cos的值代入即可求出值【解答】解：，1220costan=1220sin=0，sin=，又（0，），cos=，tan=，（1），+=（7，1），则=5；（2）sin=，cos=，则cos（+）=coscossinsin=（）=16如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D

17、，E分别是AA1和B1C的中点（1）求证：DE平面ABC；（2）求三棱锥EBCD的体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）取BC中点G，连接AG，EG，通过证明四边形EGAD是平行四边形，推出EDAG，然后证明DE平面ABC（2）证明AD平面BCE，利用VEBCD=VDBCE=VABCE=VEABC，然后求解几何体的体积【解答】解：（1）证明：取BC中点G，连接AG，EG，因为E是B1C的中点，所以EGBB1，且由直棱柱知，AA1BB1，AA1=BB1，而D是AA1的中点，所以EGAD，EG=AD所以四边形EGAD是平行四边形，所以EDAG，又DE平面ABC，AG

18、平面ABC所以DE平面ABC （2）解：因为ADBB1，所以AD平面BCE，所以VEBCD=VDBCE=VABCE=VEABC，由（1）知，DE平面ABC，所以17现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x （cm），高为y（cm），体积为V（cm3）（1）求出x与y的关系式；（2）求该铁皮盒体积V的最大值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用【分析】（1）根据一张

19、长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，可得x2+4xy=4800，进而可确定x与y的关系式；（2）铁皮盒体积，求导函数，确定函数的极值，极大值，也是最大值【解答】解：（1）由题意得x2+4xy=4800，即，0x60 （2）铁皮盒体积，令V（x）=0，得x=40，因为x（0，40），V（x）0，V（x）是增函数；x（40，60），V（x）0，V（x）是减函数，所以，在x=40时取得极大值，也是最大值，其值为32000cm3答：该铁皮盒体积V的最大值是32000cm3 18平面直角坐标系xoy中，直线xy+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切

20、于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质【分析】（1）求出O点到直线xy+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，y1），求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值【解答】解：（1）因为

21、O点到直线xy+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2 （2）设直线l的方程为，即bx+ayab=0，由直线l与圆O相切，得，即，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y2=0（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，y1），直线MP与x轴交点，直线NP与x轴交点，=2，故mn为定值2 19已知函数f（x）=（ax2+x）ex，其中e是自然数的底数，aR（1）当a0时，解不等式f（x）0；（2）若f（x）在1，1上是单调增函数，求a的取值范围；（3）当a=0时，求整数k的所有值，使方程f（x）=x+2在k，k+1上有解【考点】利用导数研究函数的

22、极值；函数的单调性与导数的关系【分析】（1）根据ex0，a0，不等式可化为，由此可求不等式f（x）0的解集；（2）求导函数，再分类讨论：当a=0时，f（x）=（x+1）ex，f（x）0在1，1上恒成立；当a0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，因为=（2a+1）24a=4a2+10，f（x）有极大值又有极小值若a0，可得f（x）在1，1上不单调；若a0，要使f（x）在1，1上单调，因为g（0）=10，必须满足，从而可确定a的取值范围；（3）当a=0时，原方程等价于，构建函数，求导函数，可确定h（x）在（，0）和（0，+）内是单调增函数，从而可确定方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，

23、且分别在区间1，2和3，2上，故可得k的值【解答】解：（1）因为ex0，所以不等式f（x）0，即为ax2+x0，又因为a0，所以不等式可化为，所以不等式f（x）0的解集为（2）f（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x）ex=ax2+（2a+1）x+1ex，当a=0时，f（x）=（x+1）ex，f（x）0在1，1上恒成立，当且仅当x=1时取等号，故a=0符合要求；当a0时，令g（x）=ax2+（2a+1）x+1，因为=（2a+1）24a=4a2+10，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1x2，因此f（x）有极大值又有极小值若a0，因为g（1）g（0）=a0，所以f（x）在

24、（1，1）内有极值点，故f（x）在1，1上不单调若a0，可知x10x2，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在1，1上单调，因为g（0）=10，必须满足，即，所以综上可知，a的取值范围是（3）当a=0时，方程即为xex=x+2，由于ex0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于x（，0）（0，+）恒成立，所以h（x）在（，0）和（0，+）内是单调增函数，又h（1）=e30，h（2）=e220，h（2）=e20，所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间1，2和3，2上，所以整数k的所有值为3，120设数列an的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（p，q为

25、常数，nN*），如果：a1=2，a2=1，a3=q3p（1）求p，q的值；（2）求数列an的通项公式；（3）是否存在正整数m，n，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由【考点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式【分析】（1）利用Sn+1=pSn+q，n取1，2，可得方程组，即可求p，q的值；（2）利用和式，再写一式，两式相减，利用等比数列的通项公式，即可求数列an的通项公式；（3）先求和，再化简不等式，确定m的取值，即可求得所有符合条件的有序实数对（m，n）【解答】解：（1）由题意，知，解之得（2）由（1）知，Sn+1=Sn+2，当n2时，Sn=Sn1+2，得，an+1=an（n2），又a2=a1，所以数列an是首项为2，公比为的等比数列，所以an=（3）由（2）得， =，由，得，即，即，因为2m+10，所以2n（4m）2，所以m4，且22n（4m）2m+1+4，因为mN*，所以m=1或2或3当m=1时，由得，22n38，所以n=1；当m=2时，由得，22n212，所以n=1或2；当m=3时，由得，22n20，所以n=2或3或4，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）2016年12月7日