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1、2012各省数学竞赛汇集2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当时，函数的最大值为_18_.2、在中，已知则_4_.3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_.4、已知是实数，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为_.5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为_.6、已知是正实数，的取值范围是_.7、在四面体中，,该四面体的体积为_.8、已知等差数列和等比数列满足：则_.（）9、将这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有_144_种.10、三角形的周长为
2、，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为_24_.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在中，角对应的边分别为，证明：（1）（2）12、已知为实数，函数.若.（1）求实数；（2）求函数的单调区间；（3）若实数满足，求证：13、如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.14、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
3、参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1已知集合N，且N，则 1 2已知正项等比数列的公比，且成等差数列，则3函数的值域为4已知，则5已知数列满足：为正整数，如果，则 5 6在中，角的对边长满足，且，则7在中，设是的内心，若，则的值为8设是方程的三个根，则的值为 5 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9已知正项数列满足且，求的通项公式解 在已知等式两边同时除以，得，所以 -4分令,则，即数列是以4为首项,4为公比的等比数列，所以. -8分所以,即 . -12分于是，当时, ，因此, -16分1
4、0已知正实数满足，且，求的最小值解 令，则-5分令 ，则 ，且-10分于是 -15分因为函数在上单调递减，所以因此，的最小值为 -20分11设，其中且若在区间上恒成立，求的取值范围解 由得，由题意知，故，从而，故函数在区间上单调递增. -5分（1）若，则在区间上单调递减，所以在区间上的最大值为在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，解得或结合得 -10分（2）若，则在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为.在区间上不等式恒成立，等价于不等式成立，从而，即，解得易知，所以不符合 -15分综上可知：的取值范围为 -20分2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时
5、，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1函数的值域为_2已知，则_3已知数列满足：为正整数，如果，则 4设集合，是的子集，且满足，那么满足条件的子集的个数为 5过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为_6在中，设是的内心，若，则的值为_7在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为_8设表示不超过的最大整数，则 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9已知正项数列
6、满足且，求的通项公式10已知正实数满足，且，求的取值范围11已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点（1）当且时，求的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1函数的值域为2已知，则3已知数列满足：为正整数，如果，则 5 4设集合，是的子集，且满足，那么满足条件的子集的个数为 1
7、85 5过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为6在中，设是的内心，若，则的值为7在长方体中，已知，则长方体的体积最大时，为8设表示不超过的最大整数，则 2012 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9已知正项数列满足且，求的通项公式解 在已知等式两边同时除以，得，所以 -4分令,则，即数列是以4为首项,4为公比的等比数列，所以. -8分所以,即 . -12分于是，当时, ，因此, -16分10已知正实数满足，且，求的取值范围解 令，则-5分令 ，则 ，且-10分于是 -15分因为函数在上单调递减，所以又，所
8、以 -20分11已知点为抛物线内一定点，过作斜率分别为的两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点（1）当且时，求的面积的最小值；（2）若（为常数），证明：直线过定点解 所在直线的方程为，其中，代入中，得，设，则有，从而则所在直线的方程为，其中，同理可得-5分（1）当时，又，故，于是的面积，当且仅当时等号成立所以，的面积的最小值为. -10分（2），所在直线的方程为，即 -15分又，即，代入上式，得，即 当时，有，即为方程的一组解，所以直线恒过定点 -20分2012年上海市高中数学竞赛一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1.如图,正六边形的边长为1,它的6条对角线又
9、围成一个正六边形,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 . 2.已知正整数满足: ,则的最小可能值是 .3.若，,，则 .4已知关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值范围是 .5如图，是边长为的正方形的内接三角形，已知，则 .6方程的非负整数解 .7一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8数列定义如下：.若，则正整数的最小值为 .二、解答题9（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD的夹角，记直线AB与CD的距离为求的表达式，并写出x的取值范围10（本题满
10、分14分）给定实数，求函数的最小值11（本题满分16分）正实数满足，求证：（1）；（2）12（本题满分16分）给定整数，记为集合的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：（a） ；（b） A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和（1）求的值；（2）求证：2012年上海市高中数学竞赛答案1、 2、923、11 4、5、 6、7、 8、40259解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得 （2分）在OBC中，由余弦定理，所以 ， 由，得 （5分）所以 ，故 ，所以 （10分）由可得，故因为，结合，可得 ，解得（结合） 综上所述， （14分）10解 当时，此时，且当时不等式
11、等号成立，故 （6分） 当时，此时“耐克”函数在内是递减，故此时 综上所述， （14分）11证 （1）记，由平均不等式 （4分）于是 ，所以 ，而，所以，即，从而 （10分） （2）又因为，所以 ，故 （16分）12解 （1）设集合，且A满足（a），（b）则由于不满足（b），故又 都不满足 （b），故而集合满足（a），（b），所以 （6分） （2）首先证明 事实上，若，满足（a），（b），且A的元素个数为令，由于，故又，所以，集合，且B满足（a），（b）从而 （10分）其次证明： 事实上，设满足（a），（b），且A的元素个数为令，由于 ，所以，且而，从而B满足（a），（b），于是 （14分）由
12、，得 反复利用，可得 （16分）2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、设集合，则=（ ） A、 B、 C、 D 、 2、正方体中与截面所成的角是（ ） A、 B、 C、 D、 3、已知，则“”是“在上恒成立”的（ ）A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形的面积为，作的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为，面积为，如此下去作一系列的正三角形，其面积相应为，设,，则=（ ）A 、 B 、 C、 D 、25、设抛物线的焦点为，顶点为，是抛物线上的动点，则的最大值为（ ）A 、
13、 B 、 C、 D 、 6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ）A、 B、 C、 D、二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、如图，正方形的边长为3，为的中点，与相交于，则的值是 8、的展开式中的常数项是 （用具体数字作答）9、设等比数列的前项和为，满足，则的值为 10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 11、已知锐角满足，则的最大值是 12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数，满足条件“”的概率是 三、解答题（本大题共4个小题，每小题
14、20分，共80分）13、设函数，（I）求函数在上的最大值与最小值；（II）若实数使得对任意恒成立，求的值14、已知，满足，（I）求的最小值；（II）当取最小值时，求的最大值15、直线与双曲线的左支交于、两点，直线经过点和的中点，求直线在轴的截距的取值范围16、设函数在上的最大值为（）（I）求数列的通项公式；（II）求证：对任何正整数，都有成立；（III）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立 2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共3
15、0分） 7、 8、 9、0 10、14 11、 12、 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、解：（I）由条件知， （5分）由知，于是所以时，有最小值；当时，有最大值 （10分）（II）由条件可知对任意的恒成立， , （15分）由知或。若时，则由知，这与矛盾！若，则（舍去），解得，所以， （20分）14、解：（I）因为 （5分） ，等号成立的条件是，当时，可取最小值2 （10分）（II）当取最小值时，从而，即，令，则 （15分）从而或者（舍去）故在单减，所以在时，有最大值 （20分）15、解：将直线与双曲线方程联立得化简得（5分）由题设知方程有两负根，因此，解得（10分）设，则有，故的中点为，所以直线方程为，其在轴的截距，（15分）当时，其取值范围是所以的取值范围是 （20分）16、解：（I），当时，由知或者， （5分）当时，又，故；当时，又，故；当时，时，；时，；在处取得最大值，即综上所述， （10分） （II）当时，欲证 ，只需证明 所以，当时，都有成立 （15分）（III）当时，结论显然成立；当时，由（II）知 所以，对任意正整数，都有成立 （20分）
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