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1、“一道高考题的向量解法初探”教学案例胡 松 1、教学设计：爱因斯坦说：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要。”所以在数学教学中，通过数学情境引导学生积极发现问题、提出问题、思考问题、探究问题和解决问题，从中陶冶学生的情操，同时能极大地调动学生的学习积极性，让学生从惧怕数学到亲近数学，从亲近数学到喜欢数学。本节市级公开课，我按照数学“情境问题”的教学模式，作了以下设计。1.1背景资料本节课的教学内容以2003年高考（北京卷）（理）第19题为背景，设计了问题情境，并让学生提出相应的数学问题，在此基础上重点解决了这道高考题的第1问以及它的推广情形。1.2提出问题根据情境资料，让学生分组讨论，并提
2、出尽可能多的问题。（可能会提出以下问题）（1）若希望点到三镇距离之和最小，则P应位于何处？（这是数学家费尔马曾经向他的朋友物理学家托里拆里提出的一个著名的问题，因此，所求点在数学上也称为费尔马点。它在供电线路和工程设计中有着较多的应用。）（2）若希望点P到三镇距离一样远，则P应位于何处？（3）假设医院只有一辆交通车，每天要接送A、B、C三镇的职工上下班，若希望交通车所行使的路程最短，则P点应位于何处？ 1.3组织形式本节课以合作探究的形式组织教学，教师引导学生通过分组讨论，共同探索，从而提出问题。1.4学习方式动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学有效的重要方式，因此本节课力求改变学生被动
3、的接受式学习方式，让他们积极主动地参与到学习中去，成为学习的主体。1.5评价方式在课堂教学中关注学生在学习活动中的积极性和参与程度，注重过程性评价。通过教学活动给学生充分展示自己的机会，并且教师给予即时的鼓励与评价，帮助学生认识自我，增强自信，激发学生学习数学的兴趣。2、教学过程2.1 师：同学们，在纷繁的社会生活与经济生活中，数学越来越多地扮演着重要的角色，不是吗。请看下面的问题：PACB（投影展示）有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=a，BC=2b，今计划合建一个中心医院，其位置定为P点，为同时方便三镇，请你来确定P点的位置。2003年高等学校招生全国统一考试（北京卷）（
4、理）第19题的题设2.2提出数学问题师：就此数学情境，你能提出哪些相关问题？ 学生分组讨论5分钟后，提出了以下问题：问题 1. 若A、B两个新镇各有一人受伤，而医院只有一辆救护车，问：救护车怎样走才能用最短时间将病人送到医院？问题 2. 当P点在何处时，到A、B、C三点的距离之和最短？（4组次）问题 3. 若点P到A、B、C三点距离相等，求点P的位置。（3组次）问题 4. 怎样用a、b表示PA、PB、PC？问题 5. 若ABC旁有一条高速公路，为了方便运输药物以及兼顾到A、B、C三镇的距离之和最短，P点应建在何处？问题 6. 若P点是ABC的重心，试用向量、表示出P点的位置。问题 7. 假设P
5、点是ABC的重心，若在P地点的某个医生要去A、B、C三地出诊，如何走最节省时间？问题 8. 若A镇出建设医院总费用的，B镇出，C镇出，且P到A、B、C三镇的距离与它们所出的费用成反比，则P点应设在何处？问题 9. 若公路AP上的最高车速为50km/h，公路BP上的最高车速为70km/h，公路CP上的最高车速为90km/h，若要A、B、C三地病人到医院时间都相等，P点应建在何处？（2组次）问题 10. P点建在何处时，使得PA、PB、PC的长成等差数列或成等比数列，并求出公差d、或公比q为多少？师：同学们的讨论很热烈，考虑的问题全面周到，提出的设想也比较符合实际，尤其是大部分同学都考虑到了一个如
6、何提高医院的利用效率问题，以及最大限度在总体上节约人力和物力成本，而同学们所考虑的问题既有新意也有现实意义，那么同学们想不想看看命题专家提出的到底是什么样的问题呢？yxOBCAP(-b,0)(b,0)众生：想！2.3高考题（投影展示）有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=a，BC=2b，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处（建立坐标系如图）（）若希望点P到三镇距离的平方和最小，则P应位于何处？（）若希望点P到三镇的最远距离为最小，则P应位于何处？师：由于时间关系，我们只解决其中的一个问题。2.4问题解决问题（）解：由题设可知，ab0.记h=
7、,设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为f(y)=2(b2+y2)+(hy)2=3(y)2+h2+2b2.所以，当y=时，函数f(y)取得最小值. 故 点P的坐标是（0，）.即当P点为三角形的重心时，y取得最小值。师：显然这道高考题的问题1利用函数的思想很容易就被解出来了，但同学们可能会想，在现实生活中不一定有这么特殊的情况（恰好有三个新兴城镇分别位于等腰三角形的三顶点处），因此，我们有必要把问题1的情况给予推广。 即问题（）的推广：对任意ABC，BC=a，AC=b，AB=c，若使点P到三顶点距离的平方和最小，则P应位于何处？解：bca 取BC的中点O，则AO即是BC边上的中线， 由
8、于1cos1，并且、均为非负数，所以y式当cos=1时取到，即=180，此时和共线且方向相反，即P点应在中线AO上；式右=3(|)2 +c2+b2 c2+b2 式当= 时取到；此时P点必定是ABC的重心师：通过对问题1的推广以及解答，我们证明了“到三顶点距离的平方和最小的点是三角形的重心”这一结论不仅是对等腰三角形成立，对任意三角形也是成立的。同学们，本问题的解决对你们的启发一定不小，看得出不少同学兴趣很浓，意犹未尽，请各小组课后继续讨论，提出并思考你们感兴趣的数学问题。2.5实践活动及课外作业贵州师大后门架设的人行天桥（如图所示），也类似于本堂课的情境问题，请各小组课后进行实地考察，得出相应
9、的数据和资料，结合所学过的数学知识，论证天桥架设的合理性，是否有更优方案？要求详细写出各小组研究学习的结果，把心得体会形成一篇不少于1000字的数学小论文，并在两周后的星期一上交。天 桥金筑酒店延安东路宝山北路宝 山 北 路邮电宾馆贵州师大师大附中3、教学反思：3.1 尝试新模式 体验学习的快乐 本节课充分展示了数学“情境问题”教学这一基本教学模式，使学生在主动参与的数学学习活动中体验到了自主学习的乐趣。学生提出的问题不但印证了我初始设计的想法，还提出了其他更有创意和现实意义的问题，使我在今后的教学中使用数学“情境问题”教学模式更有信心。3.2 点评学生提出的问题应慎重在学生经过分组讨论后提出
10、问题的环节，只要是学生经过了充分的思考和讨论提出的问题都应该积极面对，认真探索，不要主观的下结论，更不能随意否定。3.3 合理安排数学“情境问题”课的时间 由于在前半节课花了大量的时间给学生提出问题，以及对学生提出的问题进行点评，导致后半节课在讲解问题“若希望点P到三镇距离的平方和最小，则P应位于何处”时缺少时间和学生进行交流与互动。再者，对学生掌握本节课备用知识的了解程度不够，从而在讲解问题时，对一些细节问题再三解释说明，浪费了时间。3.4 意料之外 情理之中 刚下课，就有一位学生（戴志坚）跑到讲台上，对高考题第1问推广后的解法提出了异议，戴说：“当证明了要使y取到最小值，点P必须在BC边的
11、中线上时，其实就有了结果，因为可以同理认为点P还应该在AB和AC边的中线上，故点P只能是三条中线的交点，即重心。”对此，我立刻加以了赞赏和肯定。3.5 集思广益 不断完善 老师甲：“能否就高考题第1问本身采用向量解答，这样在推广到一般时过渡就更自然些。”老师乙：“能不能在上课伊始就把师大后门天桥的背景给出，制造悬念，激发学生的兴趣等。”老师丙：“高考题第1问的推广也可采用用坐标法，即在建立平面直角坐标系后，证明P点坐标为(，)，其中三个顶点的坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)”老师丁：“当解答过程推出时，其实可以考虑进行以下变形： 从而要使y取到最小值，只需使=，即，所
12、以P点是ABC的重心。”3.6 一个值得商榷的问题有位教师还提出了一个值得争议的问题：既然有学生提出了“当P点在何处时，到A、B、C三点的距离之和最短”这样有价值的费马问题，且有着很好的几何与现实意义，学生们又对其非常感兴趣，在实际课堂上为何不讲解呢？其实这一问题我在教学设计时就思考过，但考虑到时间和学生目前的知识储备都不够等因素，便决定留给学生课后与老师一起去探索和研究。我想这样的矛盾在数学“情境问题”的教学中是不可避免的，我们也只能在有限的时间里解决力所能及的问题。参考文献：1 吕传汉,汪秉彝,康纪权,夏小刚.数学情境与数学问题重庆大学出版社 2001年2 吕传汉,汪秉彝.中小学数学情境与
13、提出问题教学探究 贵州人民出版社 2002年3 石小康.高中“数学情境与提出问题”的教学实践“函数的应用”教学案例 贵州师范大学学报（教育科学版） 2004年2月（贵州师范大学附属中学 550001）点 评：（1）从学生实际出发创设数学情境教师以一道高考题的题设为情境，引导高三学生进行“高考命题”，激发了学生的学习兴趣，促进学生主动投入到学习活动中，收到良好的效果，这种作法在数学教学活动具有新意。（2）应用多种方法解决问题教师既引导学生用代数的方法（函数、不等式）解决问题，又激发学生用向量的方法求解，从而加深对所学知识内在联系的认识，实现培养学生灵活运用所学知识解决实际问题的目的，这对学生的考前复习大有裨益。（3）布置课后的实践活动，让学生带着问题回到生活中去，应用数学的知识解决实际问题，取得了实际效益。从课后一位学生与教师交流解法的学习活动中，看到了教师的亲和力和启发性点拨，促进了学生的探究式学习和深层思考。（点评人 林运来 汪秉彝）7
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