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1、 函数的奇偶性和周期性知识梳理1奇偶函数图象的对称性（1） 若是偶函数，则的图象关于直线对称；（2） 若是偶函数，则的图象关于点中心对称；热点考点题型探析7 例1 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）；（3）；（4）思路点拨判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。解析 （1）函数的定义域x（，+），对称于原点.f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f（x），f（x）=|x+1|x1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由0，得1x1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉
2、绝对值符号，根据定义判断.由得故f（x）的定义域为1，0）（0，1，关于原点对称，且有x+20.从而有f（x）= =，f（x）=f（x）故f（x）为奇函数.（4）函数f（x）的定义域是（，0）（0，+），并且当x0时，x0，f（x）=（x）1（x）=x（1+x）=f（x）（x0）.当x0时，x0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函数f（x）为奇函数.【名师指引】函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则时) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件分段函数的奇偶性一般要分段证明.判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.题型2：证明
3、抽象函数的奇偶性例2定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有. 求证f (x)为奇函数；思路点拨欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充分利用条件“对任意的，都有”中的进行合理“赋值”解析令x = y = 0，则f (0) + f (0) = f (0) = 0令x(1, 1) x(1, 1) f (x) + f (x) = f () = f (0) = 0 f (x) =f (x) f (x) 在(1，1)上为奇函数1设函数为奇函数，则_。2已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（ ）A0；B；C1；D3定义两种运算：，则是_函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）
4、4已知函数（a、b、cZ）是奇函数,又，求a、b、c的值. 例3已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。思路点拨欲求的取值范围，就要建立关于的不等式，可见，只有从出发，所以应该利用的奇偶性和单调性将外衣“”脱去。解析 是定义在上奇函数对任意有由条件得=是定义在上减函数，解得实数的取值范围是 例4设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.思路点拨欲由f(2a2+a+1)f(3a22a+1)求a的取值范围，就要设法利用函数f(x)的单调性。而函数y=()是一个复合函
5、数，应该利用复合函数单调性的判定方法解决解析设0x1x2,则x2x10，f(x)在区间(,0)内单调递增，f(x2)f(x1),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0，+)内单调递减.由f(2a2+a+1)3a22a+1.解之，得0a3.又a23a+1=(a)2.函数y=()的单调减区间是结合0a3,得函数y=()的单调递减区间为，3). 新题导练5若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A.；B.C.； D.6在上定义的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函
6、数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数7定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，。求在上的解析式考点3 函数奇偶性、周期性的综合应用 例5已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则 _ 思路点拨欲求，应该寻找的一个起点值，发现的周期性解析由得到，从而得，可见是以4为周期的函数，从而，又由已知等式得又由是上的偶函数得又在已知等式中令得，即所以基础巩固训练：2若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A；B； C；D3设函数 (xR)为奇函数，则（ ）A0；B1； C；D55偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，则不等式的解集为（ ）A；BC；D6已知是定义域为R的奇函数，若当时，则满足的的取值范围是
单调性与奇偶性学生
