一阶倒立摆课程设计报告 自控

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1、哈尔滨工业大学控制科学与工程系控制系统设计课程设计报告姓名:班级:邵子刚10906152学号：1090610316姓 名：邵子刚1090610316院（系）电气学院专业：自动化班号：10906152任务起至日期 6月20日课程设计题目直线一级倒立僵制器设计已知技术参I和设计要求本课程设计的被控对象采用固高公司的直线一级倒立摆系统GIP-100-L系统内咅各相关参1为：M小车质量）.5kg;m摆杆质量0.2kg;b小车摩擦徹0.1N/m/sec; l摆杆转动轴心到质心的长度0.3m; I摆杆惯量0.006kg*m*m;采 样时间0.005秒。设计要求：1. 推导出系绷传递函1和状态空间方程。用M

2、a tlab进行阶跃输 入仿真，验源统的稳定性。2. 设计PID控制器，使得当在小车上施力加）.1N的脉冲信号t闭 环系统的响/指标为:（1）稳定时间小于秒；（2）稳态时摆杆垂直方向怏角变化J、于0.1弧度。3. 设计状态空间极点配置控制器,使得当在小车J施加0.2m的阶 跃信号时，闭环系统的口应指标为（1）摆杆角度和小车位後的稳定时间、于3秒（2）x的上升时间小于1秒（3）的超调量小追0度（0.35弧度）（4）稳态误差小于%。工作量：1. 建立直线徴倒立摆的I性化娄学模型；2. 倒立摆系统妁ID控制器设计、a tlab仿真及实物调试3. 倒立摆系|的极点配置控制器设f、Matlab仿真及实棚

3、试。工作计划安排第3周： 建立直线-级倒立摆勺线性化娄学模型；(2)倒立摆系统的ID控制器设计、Matlab仿真；倒立摆系统勺极点酉置控制器设K Matlab仿真。 第4周：实物试；撰写课程谢论文。同组设计者粉工:各项工作独就成指导教师签年 月 日 教研室主任意见教研室主任签？咗：此任务书由课程设计指导教师填写。直线一阶倒立摆数学模型的推导首先建立一阶倒立摆的物理模型。在忽略空气阻力和各种摩擦之后, 可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。系统内部各相关参数定义如下：M 小车质量m 摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x 小车位置

4、屮摆杆与垂直向上方向的夹角0摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）1. 一阶倒立摆的微分方程模型对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和P为小 车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。pN图1-2小车及摆杆受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程:MxF-bx- N由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:N - m (x 十 I sinh) dt(1-2)即：(13)N - mx 十 ml0 cos 6 - ml6 sin 6把这个等式代入式（1-1）中，就得到系统的第一个运动方程:(M 十 m)x + bx 十 mid cosO ml02 s

5、mO - F(1-4)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行 分析，可以得到下面方程：P - mg - m (/cos)(1-5)即: 屮 2P mg - -ml3 sm 0 - ml 0 cos力矩平衡方程如下：(17)-Pl sm 6 - Nl cos 0 - 10由于二二一A 二一0.、口 f/ 二-0，所以 等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N,得到第二个运动方程：（/ 十 ml）3 十 mglsin（9 二-mixcos0（18）设 八二,（屮是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设屮 1弧度，则可以进行近似处理：二三二=-】，引匸三=-二，（亍）=二。 用

6、u代表被控对象的输入力F,利用上述近似进行线性化得直线一阶倒立 摆的微分方程为：（/ + mF 书-mgl= mix（19）* （M + m ）x + 反ml - u2. 一阶倒立摆的传递函数模型对式（1-9）进行拉普拉斯变换，得：（/ -b ml2一 挣回（&） - nilXs）s （M 十 m）X（s）s2 十 bX（s）s - ml（ss 二（7注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度屮，求解方程组的第一个方程，可得:(2-3)(2-4)百十d) g(s)s2 +bl + mlr ),T17mlsml对把上式代入方程组(2-1)的第二个方程，得:(A/ 十 m)何恳整理后得到

7、传递函数：二厂(2-5)、.(/ -F ml2) g . Z)习 -two mi s或(町_mis2X(s)17 ml2)s2 - mgl如果令则有:_mlV(s) (/ + ml2)s2 -mglml 2(2-6) G) qU(s) 4 方(7+加弐)却(A/ + m)mgl 2 bmgls dssqqq其中q(M + m)I十祖？)_(加门。3. 一阶倒立摆的状态空间模型设系统状态空间方程为：(3-1)X. AX.十 BnyCX Du方程组（2-9）对门=解代数方程，得到解如下:X = X.-(/ + ml)bnr gl2,(/ + ml2)X =孑 X Hy (b H亍 U(3-1)I(

8、M 十 m)十 Mml2 I(M 十 m)十 Mm I1 I(M 十册)十 MmPml-mlbmgl(M 十丁 X HH丁 UI(M 十 m)十 MmP 1(M 十 m) + MmP I(M + m) + Mml7 _010olr -0 X0-(7 + mP)bm gl 0X1 + ml1XI(M + m) + Mnil1I(M + m) + Mm 12XI(M + m) + Mm I1d0001000-mlbmgl(M + m)0ml0I(M + m) + Mm 12I(M + m) + Mm 12_pI(M + m) + Mml整理后得到系统状态空间方程:X(3-2)(3-3)摆杆的惯量为

9、，代入（1-9）的第一个方程为:+ ml2-mix得:= mix化简得:3 “ HX4/(3-4)设工二二-二二：，二二二则有:X_0 1 0 0_X0_X0 0 0 0X10 0 0 1+00 00X30 一_4/_1_卩_4/_U(3-5)4. 实际系统的传递函数与状态方程实际系统的模型参数如下：M小车质量0.5 Kgm摆杆质量0.2 Kgb小车摩擦系数0 .lN/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3mI 摆杆惯量0.006 kg*m*m代入上述参数可得系统的实际模型。 摆杆角度和小车位移的传递函数：(4-1)0(s) _0.06s2X(s) O.O24s2-O.508摆杆角度和小

10、车加速度之间的传递函数为:0(s) _0.06V(s 0.024sz-0.588摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：(4-3)U(s s3+0.181818s2-31.181818s-4.454545(4-4)10 00 0 1.(p.以小车加速度为输入的系统状态方程:1000 1X IX e=000000024.50010单10X X 甲 .0.+ 0 10.2.5.0x X,(0g el.4 咅tilt图3-7 MATLAB实时控制界面2）双击“PID Controller模块打开PID参数设置界面，将Kp、KI、 KD分别设为50，20，10。3）点击“”编译程序，在MATLAB命令

11、窗口中有编译提示信息，在 编译成功后进行以下实验。4）打开电控箱电源，确认运行安全后进行下面的操作。5）点击“”连接程序，在连接成功后点击“”运行程序，在系统 保持稳定的情况下给系统施加干扰。得到以下实控结果:图3-8 PID控制实验结果由图3-8可以看出，倒立摆可以实现较好的稳定性,摆杆的角度在3.14 弧度左右。PID控制器并不能对小车的位置进行控制，小车会沿滑杆移动。当给予一定的干扰时，小车位置和角度的变化曲线如下图所示：25IIIIIIIII00.511.522533.544.5图3-9施加干扰时的PID实验结果由上图可以看出，系统可以较好的抵换外界干扰，在干扰停止后，系 统能够很快的

12、回到平衡位置。三一阶倒立摆状态空间极点配置控制器设计设计要求：用极点配置法设计控制器，使得当在小车上施加0.1N的阶跃信号时, 闭环系统的响应指标为：(1) 要求系统调整时间小于3秒；(2) 稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度。1. 状态空间分析状态反馈闭环控制系统原理图如图4-1所示。图4-1状态反馈闭环控制原理图状态方程为：X = AX + Bu式中：X为状态向量(n维)，u为控制向量(纯量)，A为n x n维 常数矩阵，B为n x 1维常数矩阵。选择控制信号：u = -KX求解上式，得到x(t) = (A - BK)x(t)方程解为：x(t) = eu-BKtx(O)可以看出，

13、如果系统状态完全可控，K选择适当，对于任意的初始状 态，当t趋于无穷时，都可以使x(t)趋于0。极点配置的设计步骤：(1) 检验系统的可控性条件。(2) 从矩阵A的特征多项式|s - A| = sn + SjS11-1 + 卜 an_xs + an来确定,匸的值。（3）确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵T:T= MW其中M为可控性矩阵,M =B i ABan-lan-2311an-2an-3100W =IIIIIIIII1 00L 10 00（4）利用所期望的特征值，写出期望的多项式（S Hi）（s -出）（8 - Hl） =Sn + ttiS111 + + %_述 + %、 耳 如%并确

14、定 ， 的值。（5）需要的状态反馈增益矩阵K由以下方程确定：K 二血兀 an-i - an-i -如屯 耳航 i-aiT_12. 极点配置及MATLAB仿真Matlab程序如下：设第一组极点为：-1, -1, T+0.6i, -l-0.6i A=0 1 0 0; 0 -0.1818 -2.6727 0;0 0 0 1; 0 -0.4545 31.1818 0; B二0;1.8182;0;-4.5455;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0;M=B A*B A2*B A“3*B;J=-1 0 0 0;0 -1 0 0; 0 0 -1-0.6 *i 0; 0 0 0 -1+0.6*i;

15、phi二polyvalm(poly(J),A);K=0 0 0 1* inv(M) *phiK =-0.03050.0353-7.9710-0.8259Ac=(A-B *K);Bc=B;Cc=C;Dc=D;T=0:0.005:5;x0=0 0 0 0.1;U = 0.001 *ones(size(T); Y,X=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T,x0);plo t(T,Y);grid得到仿真结果为：设第二组极点为：-10, -10, -l+0.6i, -1-0.6iA=0 1 0 0; 0 -0.1818 -2.6727 0;0 0 0 1; 0 -0.4545 31.1818 0;

16、B二0;1.8182;0;-4.5455;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0;M=B A*B A“2*B A“3*B;J=-10 0 0 0;0 -10 0 0; 0 0 -1-0.6 *i 0; 0 0 0 -1+0.6*i; phi二polyvalm(poly(J),A);K=0 0 0 1* inv(M) *phiK =-3.0530-3.8869 -36.8694-6.3547Ac=(A-B *K);Bc=B;Cc=C;Dc=D;T=0:0.005:5;x0=0 0 0 0.1;U = 0.001 *ones(size(T); Y,X=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,

17、T,xO); plo t(T,Y);grid得到仿真结果为：设第三组极点为：-100, TOO, -2-J3 i，-2+J3 iA=0 1 0 0; 0 -0.1818 -2.6727 0;0 0 0 1; 0 -0.4545 31.1818 0;B二0;1.8182;0;-4.5455;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0;M=B A*B A“2*B A“3*B;J二-100 0 0 0;0 -100 0 0; 0 0 -2-2*sqrt(3)*i 0; 0 0 0 -2+2*sqrt(3)*i; phi二polyvalm(poly(J),A);K=0 0 0 1* inv(M)

18、*phiK =1.0e+003 *-3.5918-0.8332-3.6856-0.3781Ac=(A-B *K);Bc=B;Cc=C;Dc=D;T=0:0.005:5;x0=0 0 0 0.1;U = 0.001 *ones(size(T);Y,X=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T,x0); plo t(T,Y);grid得到仿真结果为：第三组极点使得系统基本上能在2.5秒以后达到稳定，第一、二组极 点设计并未达到理想的状态。所以，极点配置虽然能实现2.5秒稳定的基 本要求，但对极点的正确选取要求很高。此方法对于控制精度要求较高的 场合还要进一步完善设计。说明此设计满足小于3秒要求3.

19、 极点配置控制实验实验步骤如下：(1) 进入 MATLAB Simulink 实时控制工具箱 “Googol Education Products ” 打开 “Inverted PendulumLinear InvertedPendulumLinear 1-Stage Pendulum Experiment LQR Control Experimen ts中的“ LQR Con trol Demo)Googol Linear 1Stage Pendulum LQR Control DemoInHializeOT400-SVGT400-SV InitializationSin Wave0.0S

20、cop+pipiLQR ControllerReal ControlAngle Ref.Pos Ref广上图4-4状态空间极点配置实时控制程序(2) 点击Controller模块将Kx, Kx,Ka,Ka的值分别设为67.31,-32.56,128.43, 20.47，然后点击“OK”完成设置。(3) 编译程序，建立连接，然后点击运行得到“ Scope”的试验结果如 下图所示：图4-5极点配置实时控制结果可以看出，系统可以在很小的震动范围内保持平衡，小车振幅约为m, 摆杆振动的幅值约为0.05弧度。在给定倒立摆干扰时，系统响应如下所示：图10施加干扰时的极点配置实时控制结果从上图可以看出，系统

21、的稳定时间约为2.8秒，达到设计要求四课程设计心得与体会通过自此课程设计，我对极点配置有了更深入的了解。使闭环系统的极点配置在所希望的位置上，从而达到期望的性能指标 要求。对于完全能控和完全能观的系统，设其状态方程为：乂 = AX + Bu， Y = CX。X为n维状态向量，u为控制向量，A为n*n维常数矩阵，B为n*1维 常数矩阵。控制规律选择为线性状态反馈：U二u-KX； K=k，k，k -k123 n将U带入原方程，可得闭环 系统状态方程为：X = (A - BK )X + BU ，Y = cx，显然，闭环系统特征多项式为：det (SI-A+BK) =0。因此通过改变K阵使闭环系统有所

22、需要的极点配置，达到期望的性能 指标要求。(1) 系统匹配法是计算反馈阵的一个最直接的方法，它主要通过比较系 统特征方程的系数来求解，即上两式的对应系数相等。此方法较为简单，但只 适合于低阶系统。(2) Ackermann配置算法是先把系统的描述转化为某种可控规范型，然 后利用规范型的性质求解。这里只给出具体结果：所求反馈增益矩阵 K = eTp(A )，其中：eT = o,0,.,iIb, AB An1 b】1, p(%)= G 入 b -入)(X -入),A，B 阵就12n是系统状态方程描述的参数矩阵，X是期望的极点向量。(3) 较为常用的方法是Gura-Bass算法，其具体步骤为：1) 判断系统的可控性。确定能否完成预定的闭环极点配置综合目标；2) 计算A的特征多项式，即开环系统的特征多项式n个系数a ；i4)5)a a a12n-1a a；.inJ 3a 1 . 00n -11 0. 0 03) 由给定的动态指标或闭环极点要求确定闭环特征多项式的n个系数 计算矩阵K = p - a ,卩-a ,卩-0011 n-1计算变换阵 T： T -1 = B, AB ,. An-1B6)计算所求的增益阵K = KT -最后，感谢对我帮助的郭老师和同学们。