双曲线常见题型与典型方法归纳修改版附详解答案

《双曲线常见题型与典型方法归纳修改版附详解答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《双曲线常见题型与典型方法归纳修改版附详解答案（20页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、双曲线常见题型与典型方法归纳考点一双曲线标准方程及性质1. 双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F1 , F2 距离的差的绝对值等于 2a(2a| F1 F2 |) 的点的轨迹。（ 1）距离之差的绝对值 .（ 2）当 |MF 1| |MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2 所对应的一支；当 |MF 1| |MF 2|= 2a 时，曲线仅表示焦点F1 所对应的一支；当 2a=|F 1F2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2 为端点向外的两条射线；当2a|F 1F 2|时，动点轨迹不存在 .【典例】 到两定点 F3,0、 F3,0 的距离之差的绝对值等于6 的点M的轨迹（）12A 椭圆B线

2、段C双曲线D两条射线第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数(e1) 的动点的轨迹。2 双曲线的标准方程及几何性质标准方程x 2y21(a 0, b 0)y2x21(a 0,b 0)a 2b 2a2b 2图形焦点F1（ - c,0) ， F2（ c,0)F1（ 0,c) ， F2（ o,c)焦距1 2a2b2c2| F F |=2c范围| x | a, y R| y | a, x R性关于 x 轴， y 轴和原点对称对称顶点（ -a ， 0）。（ a， 0）（ 0， -a ）（ 0， a）轴实轴长 2a，虚轴长 2bc(e1) （离心率越大，开口越大）离心率ea质准线xa

3、 2ya 2cc通径d2b2d2b2aa渐近线yb xya xab1P在左支 |PF1|aex0|PF2|aex0焦半径|PF1 |aex0P 在右支|PF2 |aex0注意： 等轴双曲线P 在下支|PF1|aey0|PF2 |aey0P在上支 |PF1|aey0|PF2 |aey0（ 1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线（ 2）方程： x2y2a2 或 y2x2a2（ 3）离心率 e2渐近线 yx（ 4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为x2y2(0)【典例】已知等轴双曲线经过点(5,1) ，求此双曲线方程3 双曲线中常用结论（ 1）两准线间的距离 : 2a2（ 2）焦点到渐近线

4、的距离为b （ 3）通径的长是 2b2ca考点二双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法（ 1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c 即可求得方程；（ 2）待定系数法，其步骤是定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根据题目条件确定相关的系数。注： 若双曲线过两点，可设双曲线方程为：mx2ny 21(mn 0) 。如 已知双曲线过点 A(2,3 5)与B(47 , 4) ，求双曲线的标准方程23方法一 ： 运用定义【典例 1】已知动圆 M与圆 C1 : (x 4)2y22外切，与圆 C2 : (x 4) 2y22 内切，求动圆圆

5、心M的轨迹方程。【典例 2】已知 F1 （ -4， 0）， F2 （ 4， 0），动点 P 分别满足下列条件，求点P 的轨迹方程：（1） |PF1 | |PF2 |2，（2） | PF1 | | PF2 | 2【典例 3】动点 M 到定点 F（ 4， 0）的距离和直线 x9的距离的比为4 ，则 M 的轨迹方程432【典例 4】已知ABC 中， C（ -2， 0）， B（ 2， 0）， sin B sin C1 sin A ，求顶点 A 的轨迹方程 .2练习 1已知双曲线的实轴长为8，直线 MN 过焦点 F1 交双曲线的同一分支与M，N且 MN7 , 则MNF2的周长（ F2 为另一个焦点）为（

6、） A.28B. 30 C. 24D. 20x2y21 的焦距是（） A4B 22 C 8 D 与 m 有关2 双曲线12 4 m2m2方法二 ： 运用待定系数法步骤定位 设方程 定值【典例1】求下列双曲线的标准方程；（ 1）焦点是 F1 (3，0) ，渐近线的方程是 5x2y 0 （2）渐进线是yx ，经过点（ 3， 2）（ 2）实轴长为 4，虚轴长为 2（ 3）准线方程为 x=4 ，离心率为 2（ 4） 焦点为（ 4， 0），（ -4，0），经过 (2,0)（ 5）双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程为y2x ，焦距为 4，则双曲线的标准方程为。考点三双曲线的几何性质题型一 几何性质简单应用【

7、典例 1】双曲线 x2y21，求（ 0）画草图（ 1）焦点，焦距（2）实轴的长，虚轴的长， （ 3）离心率，412左右准线方程， （ 4）渐进线的方程 (5) 焦点到渐近线的距离（ 6）焦点到准线的距离； （7） P在右支上，则 P到左焦点的距离的最小值是.练习 （1）双曲线 y2x21，离心率是，渐近线方程是。66(2)双曲线 x2y2 1 (a,b 0)的左右顶点为A1 ， A2 ，虚轴 下上端点为 B1 ， B2 ，左右焦点为 F1，F2. 若以 A1A2a2b 2为直径的圆内切于菱形F1 B1 F2 B2 ，切点分别为A, B, C , D （从第一象限按逆时针顺序）则（）双曲线的离心

8、率e；（）菱形 F1 B1F2 B2 的面积 S1S1.与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值S2题型二求与离心率及渐近线有关问题【典例 1】离心率（ 1）双曲线 x2y2x2y21（ b 0）的焦点，则b=（） A.3 B.5 C. 3 D. 2的准线经过椭圆214b 223（2）设 F 和 F 为双曲线x2y21 (a 0, b 0)的两个焦点 , 若 F ，F，P(0,2 b)是正三角形的三个顶12a2b212点 ,则双曲线的离心率为（）A 3B 2C5D 322（ 3）已知 ab0， e12x2 y2 1 和 x2 y2 1 的离心率，则 lge12)， e 分别为圆锥曲线 a2b2a

9、2b2 lge (A大于 0 且小于 1B大于 1C小于 0D等于 1练习（ 1）已知 F1、 F2 分别是双曲线x2y21 a0, b0的左、右焦点，过F1 作垂直于 x 轴的直线交a2b2双曲线于 A 、B 两点，若ABF2 为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是（）A 1,12B 12,C 12,12D 2,21（ 2）在正三角形 ABC 中， DAB, EAC，向量 DE1 BC ，则以 B、C 为焦点，且过 D 、E 的双曲线2的离心率为（）A53 1C21D3 +1B 3（ 3）若椭圆 x2y21, (ab0) 的离心率为3,则双曲线 x 2y 21的离心率为 _ 。a2b 22a

10、 2b 2【典例 2】渐近线（ 1）设双曲线 x2y21(a0, b0) 的虚轴长为2，焦距为 23 ，则双曲线的渐近线方程为 _。a 2b2（ 2）双曲线的渐进线方程y3 x ,则双曲线的离心率为_。4（ 3）焦点为 0,6，且与双曲线x2y21有相同的渐近线的双曲线方程是（）2A x2y21B y2x21C y2x21D x2y 2112241224241224122y 2（ 4） F1,F2是双曲线 C：x1（ a,b 0）的左、右焦点，B 是虚轴的上端点，直线F1B 与 C 的两条渐22ab近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点 M ，若 |MF 2|=|F1

11、F2|,则 C 的离心率是（）23B.6C.2D.3A.23练习 与双曲线 y 2x21 有共同渐近线，且经过点A( 3,2 3) 的双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距169离是 _ 。4方法归纳：1 渐进线方程为yn x 的双曲线方程可设为x2y2(0) 。mm2n22 与双曲线 x2y21共渐近线的双曲线方程可设为x2y2(0)a2b2a2b2【典例 3】（渐近线夹角问题）（ 1）若双曲线的两条渐近线夹角是2a ，求它的离心率 e ；（ 2）若双曲线的离心率是 e ，求它的两条渐近线夹角余弦值。题型三焦点三角形方法：解决焦点三角形时， 要利用正弦定理、 余弦定理、双曲线的第一定义， 关键

12、是配凑出| PF1 | PF2 |的形式，注意点P 在双曲线的哪一支上 .例 已知双曲线方程为x2y21( a 0, b 0), 左右两焦点分别为F1, F2 , 在焦点 PF1F2 中，a2b2设P(x0 , yo )为椭圆上一点，PF1 r1，PF2r2， FPF12则结论 (1)定义： r1r2 2a(2)余弦定理：(2 c)2r12 r222r1r2cos(r1 r2 ) 22r1 r22r1r2cos(3)面积 S pF F1 r1r2 sinc y0b21122tan2【典例1 】椭圆 x2y 21和双曲线x2y 21 的公共焦点为F1、 F2， P 是两曲线的一个焦点，则623c

13、osF1 PF2 的值为（） A.1B.1C.2D.14333【典例2】 设 F1、F2为双曲线 x2y21 的两个焦点， 点 P 在双曲线上满足F1PF2 60 ，则F1 PF2 的4面积是 （） A.1B.2C.3D.2练习 中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1 , F2 ，且 | F1F2 | 2 13 ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为 3： 7。（1）求这两曲线方程； （ 2）若 P 为这两曲线的一个交点，求 cos F PF的值。125题型四求最值22【典例 1】辽宁）已知 F 是双曲线 xy| PA|1的左焦点，定点 A（ 1，4），P 是

14、双曲线右支上的动点， 则 | PF |412的最小值为 _。【典例 2】P 为双曲线 x2y 21 的右支上一点，M、 N 分别是圆（ x 5)2y 24 和（ x 5) 2y21916上的点，则 | PM | PN |的最大值为练习 已知 F 是双曲线 x2y 21 的右焦点，点 M是双曲线右支上的动点，点A 的坐标为（11,3）9272求|MA|1 | MF |的最小值为及对应的点M的坐标。2考点四直线与双曲线的位置关系一 位置关系 判断1判断直线与 双曲线 相交0 ; 直线与 双曲线 相切0 ; 直线与 双曲线 相离0注意：直线与双曲线有一个公共点时，它们不一定相切，也可能相交（即直线与

15、双曲线的渐近线平行）【典例】已知双曲线方程为x 2 y 2 1 ，过 P（ 1，0）的直线 L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有4（） A4条B3条C2条D1条练习：已知不论m 取何实数，直线y=k x+m 与双曲线 x 22 y 21 总有公共点，试求实数k 的取值范围 .2弦长问题步骤：由双曲线方程x2y20 联立建立方程组，a1(a 0,b 0) 与直线 l 方程 Ax By C2b2消元后得到的一元二次方程的根是直线和双曲线交点的横坐标或纵坐标，利用韦达定理写成两根之和与两根之积3弦长公式直线 y kx b(k 0) 与圆锥曲线相交于A( x1 ， y1 ) ， B( x2 ，

16、 y2 ) 两点，则（1）当直线的斜率存在时，弦长公式：AB1k2 x1x2 = (1k2 ) g ( x1 x2 )24x1x2当斜率 k 存在且不为零时AB112 y1y2112 g ( y1y2 )24 y1 y2 。kk（2）当直线斜率不存在时，则ABy1y26【典例 1】 （ 1）求直线 yx 1被双曲线 x2y21截得的弦长；4（ 2）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与直线 x4 交于 A, B 两点，若 AB4 3；则C的实轴长为（） (A)2(B)2 2(C )( D )练习 过双曲线 x2y21 的左焦点作直线l 交双曲线于 A ， B 两点，若 |AB

17、|=22 ，则满足条件的直线2有几条（ ）A.1 条B.2条C.3条D .4二 常用方法1 设而不求法韦达定理【典例】 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7 ,0), 直线 yx1 与其相交于 M、N 两点， MN 中点的横坐标为2 , 求此双曲线的方程32 点差法适用条件：与弦的中点及斜率有关【典例】 已知双曲线 x2y21 (a0,b0) ，被方向向量为k (6,6)的直线截得的弦的中点为（4 1， ），a2b 2求该双曲线的离心率2练习 求过定点 (0,1) 的直线被双曲线x2y1截得的弦中点轨迹方程4三 综合应用【典例1】不论k取值何值，直线 yk (x 2)b 与曲线22by 1

18、()x的取值范围是总有公共点， 则实数(A)( 3,3)(B) 3, 3(C) ( 2,2)(D) 2,2【典例2】直线 l 过双曲线 x2y 21的右焦点，斜率k=2.若 l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则a2b2双曲线的离心率 e 的范围是（）A .e2B.1e3C.1e53】已知 N (1,2) ，过 N 的直线交双曲线x2y2uuur1uuuruuur【典例21于A、B两点，且 ON2(OAOB)，则 AB的方程7【典例 4】过点 M (3, 1) 且被点 M 平分的双曲线x2y21的弦所在直线方程为4【典例 5】已知动点 P 与双曲线 x2 y2 1 的两个焦点 F 1， F

19、 2 的距离之和为定值，且1cos F1PF23（ 1）求动点 P 的轨迹方程；（2）设 M(0， 1)，若斜率为 k(k0) 的直线 l 与 P 点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使 |MA| |MB |，试求 k 的取值范围练习 1 设双曲线 C1 的方程为 x2y21(a 0,b 0) ， A 、 B 为其左、右两个顶点， P 是双曲线 C1 上的任a2b 2意一点，引 QB PB， QA PA， AQ 与 BQ 交于点 Q.（ 1）求 Q 点的轨迹方程 ;（2）设（ 1）中所求轨迹为C2，若 C1、C2 的离心率分别为e1、 e2，当 e2 时， e2 的取值范围1练习 2直线l:y1

20、: 2x2y21的右支交于不同的两点A、 B.kx 与双曲线 C（）求实数k的取值范围； （）是否存在实数k，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点 F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由 .考点五易错点一 忽视焦点位置产生的混淆例 若双曲线的渐近线方程是y1x ，焦距为 10，求双曲线标准方程2二 忽视判别式产生的混淆例 若双曲线的方程为 2x2y22 与点 P（ 1,1），则以 P 为中点的弦是否存在三 忽视双曲线两支距离的最小值x2y2P 到焦点 F1 的距离为9，求它到 F2 距离例 设 F1, F2 是双曲线1 的左右焦点。 P 在双曲线上。若点1620四 忽视等价条件

21、例 已知双曲线 x2y 24 与直线 l : yk ( x 1) 试讨论 k 的取值范围使 l 与双曲线有唯一公共点8附 详解答案双曲线典型题型与方法归纳答案考点一双曲线标准方程及性质1. 双曲线的定义第一定义：【典例】 答案 D注意： 等轴双曲线【典例】答案 x2y 2144考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法如答案 y2x21916方法一 ： 运用定义【典例 1】解答：设动圆 M的半径为 r 则由已知 | MC1 |r2,| MC2 | r2, | MC1 | | MC2 | 2 2 。又 C1 （-4 ， 0）， C2 （ 4，0）， | C1C2 |=8 ， 22| C1C

22、2|。根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1 （ -4 ， 0）、 C2 （4， 0）为焦点的双曲线的右支。Q a2, c 4, b2c2a214点 M 的轨迹方程是x2y21(x2)214【典例2】答案（ 1） x2y21 （ 2） x2y21(x1)【典例 3】答案x2y21151597【典例4】解析：由正弦定理及sin Bsin C1|AC|AB|1|BC| |BC|sin A 得，22由双曲线的第一定义知顶点A 的轨迹是以 C、B 为焦点，长轴长为2 的双曲线的右支，2222y2x1bca =3x1c2a1（顶点 A 的轨迹方程为3） .练习答案1. B2 C方法二 ： 运用待定系数法【

23、典例1】答案（1） x2y21 （2） x2y25 （ 3） x2y 21或 y2x214544（4） x2y21（ 5） x2y21 （ 6） x2y216419241241655考点三双曲线的几何性质题型一几何性质简单应用【典例1 7）答案a c1）2，yx】（练习 （9(2) （）答案e51; （）答案S12 52S22【解析】（）由于以A1 A2 为直径的圆内切于菱形F1B1 F2 B2 ，因此点 O 到直线 F2 B2 的距离为 a ，又由于虚轴两端点为 B1， B2， 因 此 OB2 的 长 为 b ， 那 么 在 F2OB2 中 ， 由 三 角 形 的 面 积 公 式 知 ，1

24、bc1 a | B2 F2 |1 a(b c) 2，又由双曲线中存在关系c2a 2b2 联立可得出 (e21) 2e2 ，根据222e (1,) 解出 e51 ;2（）设 F2OB2,很显然知道F2 A2OAOB2, 因此S22a 2 sin( 2 ) .在F2 OB2 中求得bc2sin, cos,故 S24a2 sincos4a bc；b2b2c2c2b2c 2菱形 F1B1 F2 B2 的面积 S12bc ，再根据第一问中求得的e 值可以解出S12 5S2.2题型二求与离心率及渐近线有关问题【典例 1】离心率（ 1）C （2） B （3） C222244212a b lga b lgab

25、lga lg1 0， lge120. 解析 lge lge lgaa2a2 lgea练习（ 1） A（ 2）D（3）答案52【典例 2】渐近线（ 1） 答案 y2 x（2） 答案 5或 5（3） B234b xyb xb,ac , bc ) ，（ 4）【解析】由题意知直线F1B 的方程为： yb ，联立方程组xc得点 Q(cy0ca c aabyb xb,acbc22联立方程组c得点 P(,)，所以 PQ 的中点坐标为( a 2c , c) ，所以 PQ 的垂直平分线xy0cacabbab222a2方 程 为 ： ycc( xa 2c )， 令 y0， 得 x c(1a2 )， 所 以 c(1

26、 2 )3c ， 所 以bbbbb10a22b22c22a 2 ，即 3a22c2 ，所以 e6。故选 B2练习答案 8【典例3】（渐近线夹角问题）（ 1）若双曲线的两条渐近线夹角是2a ，求它的离心率e ；【解】：由题设知 asin，或 acos离心率 e1或1。ccsincos（ 2）若双曲线的离心率是e ，求它的两条渐近线夹角余弦值。解设两条渐近线夹角是2 ,(0) ,c4seca若 1e2 ，则夹角 22 arccos 1,e2 ，则夹角 22 arccos 1ee题型三 焦点三角形【典例1】答案 B【典例2】答案C练习 解答：（ 1）由已知： c13，设椭圆长、短半轴长分别为a、 b

27、，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、am4x2y21, 双曲线方程为 x2y 2n，则7g 133g 13，解得 a=7,m=3. b=6,n=2. 椭圆方程为1 。493694am（2）不妨设F1,F2分别为左右焦点，P是第一象限的一个交点，则所以又| F1F2 | 2 13， cosF1PF2 =题型四求最值【典例1】解设双曲线的右焦点为E，则|PF | |PE| 4，|PF | PA|4 | PE | |PA |，当 A、P、E共线时， (| PE | PA |)min|AE|5，|PF| PA | 的最小值为 9。【典例2】解( PM )maxPF1R1PF12( PN )min PF2

28、 R2PF11( PM PN )max2a3 9练习解 |MA|1|MF |=|MA|1 ed | MA | d1134, 此时 M (2 3,3)2222考点四直线与双曲线的位置关系一 位置关系 判断1 判断【典例】 B练习：已知不论b 取何实数，直线y=k x+ b 与双曲线 x 22y 21 总有公共点，试求实数k 的取值范围 .11ykxb解析 ：联立方程组x22 y21消去 y得222(2k 1)x+4kb x+（ 2b +1 ） =0,当12k20,即k2若 b=0，则 k；若b0x2b 21，不合题意 .2时，22b当12k20,即 k2依题意有 =(4kb) 2 4(2k 2

29、1)(2b20 ，2k22b21 对 所有实 数 b 恒成 立，2时，+1)2k 2(2b 21) min 2k2 1，得22k.223弦长公式x2y214得 4 x21)2【典例 1】 （ 1）解析： 由yx 1( x40 得 3x22x50 （ * ）设方程（ *）的解为 x1, x2 ，则有x1 x22 , x1x25d2 | x1 x2|2 ( x1x2 )24x1x224 208233得，933（ 2）【解析】设等轴双曲线方程为x2y 2m(m0) ，抛物线的准线为x4，由 AB43 ,则yA2 3 ,3)代入双曲线方程得m x2y216124，所以双曲线方程为把坐标 ( 4,2x2

30、y 24 ，即 x2y 21，所以 a24, a2 ，所以实轴长2a4，选 C.44练习答案 C二 常用方法1 设而不求法韦达定理【典例】答案 x 2y21252 点差法【典例】答案 方向向量 k(6,6)斜率 k1由点差法可得 e52练习 解方法一（设而不求法） ：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为ykx1，ykx12y 21AB 对应的中点为P(x, y) ， 由x4(4k2) x22kx50（*）设方程它被双曲线截得的弦为得（ * ）的解为 x1, x2 ，则4k220(4 k 2 )0 ， 16k 280,| k |5 ，且 x1x22k, x1 x254k24 k

31、2，12xk4k 21k114y4 x2 ( x1x2 )4 k 2 , y2 ( y1y2 )2 (x1x2 ) 14 k24 k 2，得 4x2y2y 0( y4 或 y 0)4x12y124方法二（点差法） ：设弦的两个端点坐标为A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，弦中点为 P( x, y) ，则4x22y224 得：y1y24( x1x2 )y4x4(x1x2 )( x1x2 )( y1y2 )( y1y2 ) ， x1x2y1y2，即 xy1 ，即 4x2y2y0（图象的一部分）即4x2y2y0( y4 或 y0)三 综合应用【典例1】答案 B【典例 2】答案 D【典例3】答案xy1 0【典例4】答案3x4y50【典例5】2