高中导数应用

《高中导数应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中导数应用（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、函数、导数及其应用导 数【考纲知识梳理】一、变化率与导数、导数的计算1、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率：函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为，若，则平均变化率可表示为。2、函数y=f(x)在x=x0处导数：（1）定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率为y=f(x)在x=x0处导数，记作（2）几何意义：函数f(x)在点x处的导数的几何意义是在曲线y=f(x)上点（，）处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-y0=(x=x0).3、函数f(x)的导数：称函数为函数f(x)的导函数，导函数有时也记作。注：求函数f(x)在x=x0处的导数的方法：方法一：直接使用定义；;方法二：先

2、求导函数，再令x=x0求4、基本初等函数的导数公式函数导数5、导数运算法导数运算法则1236、复合函数的导数：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题1、函数的单调性与导数：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。如果，那么函数在这个区间上是常数函数。注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件。2、函数的极值与导数：（1）曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线

3、的斜率为负，右侧为正一般地，当函数 f(x) 在点 x0 处连续时，判断 f(x0) 是极大（小）值的方法是：（1）如果在 x0附近的左侧 f(x)0 ，右侧f(x) 0 ，那么 f(x0) 是极大值（2）如果在x0附近的左侧 f(x) 0 ，那么 f(x0) 是极小值注：导数为0的点不一定是极值点3、函数的最值与导数：函数f(x)在a,b上有最值的条件：如果在区间a,b上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。4、生活中的优化问题：解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决函数问题优化问题答案【热点、难点精析】一、变化率与导数、导数的运算（一）利用导数

4、的定义求函数的导数1、相关链接（1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法：求函数的增量；求平均变化率；得导数，简记作：一差、二比、三极限。（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。2、例题解析例1求函数y=的导数。解析： ，=-。例2一质点运动的方程为。（1） 求质点在1，1+t这段时间内的平均速度；（2） 求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）分析（1）平均速度为；（2）t=1时的瞬时速度即在t=1处的导数值。解答：（1）s=8-3(1+t)2-(8-312)=-6t-3(t)2,.（2）定义法：质点在t=1时

5、的瞬时速度求导法：质点在t时刻的瞬时速度，当t=1时，v=-61=-6.注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。（二）导数的运算1、相关链接（1）运用可导函数求导法则和导数公式，求函数在开区间（a,b）内的导数的基本步骤：分析函数的结构和特征；选择恰当的求导法则和导数公式求导；整理得结果。（2）对较复杂的函数求导数时，诮先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。（3）复合函数的求导

6、方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决。分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。2、例题解析例（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导数；（4）求y=的导数；（5）求y的导数分析：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每

7、一步对谁求导，不能混淆。解：（1）,（2）先化简,（3）先使用三角公式进行化简.（4）y=；（5）yxy*（x）x）*（）（三）导数的几何意义【例】已知曲线，（1） 求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2） 求曲线过点P(2,4)的切线方程；（3） 求斜率为4的曲线的切线方程。分析：切点坐标切线斜率点斜式求切线方程解答：（1）上，且在点P(2,4)处的切线的斜率k=4;曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线与过点P(2,4)的切线相切于点A（x0，），则切线的斜率，切线方程为（）=（-），即点P(2,4)在切线上，4=2，即，（x0+1）(x

8、0-2)2=0解得x0=-1或x0=2故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.（3）设切点为（x0,y0）则切线的斜率为k=x02=4, x0=2.切点为（2，4），（-2，-4/3）切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)即4x-y-4=0和12x-3y+20=0注：（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决。二、导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例（一）函数的单调性与导数1、相关链接（1）求可导函数单调区间的一般步骤和方法确定函数f(x)的定义域;求f(x) ，令f(x)=0，

9、求出它们在定义域内的一切实根；把函数f(x)的间断点（即f(x)无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间。确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。注：当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f(x)0（或f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数。（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是f(x)0（或f(x)0），x（a,b）恒成立，且f(x) 在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)

10、在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x) =0，甚至可以在无穷多个点处f(x0) =0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。 2、例题解析例（安徽合肥168中高三段考（理）( 本小题满分13分)已知函数，（）求的单调区间和值域；（）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围解：对函数求导，得 令解得 或当变化时，、的变化情况如下表：010+43所以，当时，是减函数；当时，是增函数； 当时，的值域为（）对函数求导，得 因此，当时， 因此当时，为减函数，从而当时有 又，即当时有任给，存在使得，则即解式得 或解式得 又，故：的取值范围为（二）函数的极值与导数1、相关链接

11、（1）求函数f(x)极值的步骤确定函数f(x)的定义域；求导数f(x);求方程f(x)=0的根。检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点（最好通过列表法）。如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果f(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数极值。（2）可导函数极值存在的条件可导函数的极值点x0一定满足f(x0)=0,但当f(x0)=0时，x0不一定是极值点。如f(x)=x3,f(0)=0,但x=0不是极值点。可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x)=0，且在x0左侧与右侧f(x0)的符号不同。2、例题解

12、析例设x=1与x=2是函数的两个极值点。（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断x=1,x=2是函数的极大值点还是极小值点，并求相应极值。解析：（1）由已知得：（2）变化时。，的变化情况如表：（0，1）1（1，2）20+0极小值极大值故在x=1处，函数取极小值；在x=2处，函数取得极大值（三）函数的最值与导数1、相关链接（1）设函数f(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤求函数y=f(x)在（a,b）内的极值；将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。（2）根据最值的定义，求在闭区

13、间a,b上连续，开区间（a,b）,内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大（小）值。定义在开区间（a,b）上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点。2、例题解析例（黑龙江省双鸭山一中2010届高三期中考试（理）（本题12分）已知函数 （1）当时，求证函数上是增函数； （2）当a=3时，求函数在区间0，b上的最大值。解：(1)时，故在R上是增函数。(4分)(2)时，若时，得：()若时，在0，b上单增，故()若时，因故.若时，由知在上的最大值为2，下求在上的最大值，因，故又综合、 知：

14、(12分)（四）生活中的优化问题例（安徽合肥168中高三段考（理）（本小题满分12分）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处AB20km，BC10km为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO记铺设管道的总长度为（1）按下列要求建立函数关系式：（）设（rad），将表示成的函数；（）设（km），将表示成的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。20、解:（）由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则, 故

15、，又OP，所以， 所求函数关系式为若OP=(km) ，则OQ10，所以OA =OB=所求函数关系式为（）选择函数模型，令0 得sin ，因为，所以=，当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。注：生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧。在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合。用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点。