§5.3 平面向量的数量积

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1、5.3平面向量的数量积2014高考会这样考1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直复习备考要这样做1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质；3.利用数量积解决向量的几何问题1两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a，b(2)范围：向量夹角a，b的范围是0，且a，bb，a(3)向量垂直：如果a，b，则a与b垂直，记作ab.2向量在轴上的正射影已知向量a和轴l，作a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量

2、a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos .3向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：|a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)向量数量积的性质：如果e是单位向量，则aeea|a|cosa，e；abab0；aa|a|2，|a|；cosa，b (|a|b|0)；|ab|_|a|b|.(3)数量积的运算律：交换律：abba.分配律：(ab)cacbc.对R，(ab)(a)ba

3、(b)(4)数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b2；aba1b1a2b20；|a|；cos a，b.难点正本疑点清源1对两向量夹角的理解(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角(2)两向量夹角的范围为0，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，当共线且反向时，其夹角为.2向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围3数量积与实数积的区别(1)若a、b为实数，且ab0,

4、 则有a0或b0，但ab0却不能得出a0或b0.(2)若a、b、cR，且a0，则由abac可得bc，但由abac及a0却不能推出bc.(3)若a、b、cR，则a(bc)(ab)c(结合律)成立，但对于向量a、b、c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的(4)若a、bR，则|ab|a|b|，但对于向量a、b，却有|ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立1已知向量a和向量b的夹角为135，|a|2，|b|3，则向量a和向量b的数量积ab_.答案3解析ab|a|b|cos 135233.2(2012聊城模拟)已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则实数的

5、值为_答案解析由ab知ab0.又3a2b与ab垂直，(3a2b)(ab)3a22b23222320.3已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为_答案解析设a和b的夹角为，|a|cos |a|.4(2011辽宁)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k等于()A12 B6 C6 D12答案D解析由已知得a(2ab)2a2ab2(41)(2k)0，k12.5(2012陕西)设向量a(1，cos )与b(1,2cos )垂直，则cos 2等于()A. B. C0 D1答案C解析a(1，cos )，b(1,2cos )ab，ab12cos20，cos2，cos 22cos

6、21110.题型一平面向量的数量积的运算例1(1)在RtABC中，C90，AC4，则等于()A16 B8 C8 D16(2)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x等于()A6 B5 C4 D3思维启迪：(1)由于C90，因此选向量，为基底(2)先算出8ab，再由向量的数量积列出方程，从而求出x.答案(1)D(2)C解析(1)()()16.(2)a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又(8ab)c30，(6,3)(3，x)183x30.x4.探究提高求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义本

7、题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件(2012北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_答案11解析方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则E(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB1，|11，当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC1，()max|11.题型二向量的夹角与向量的模例2已知|a|4，|b|3，(

8、2a3b)(2ab)61，(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积思维启迪：运用数量积的定义和|a|.解(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos .又0，.(2)可先平方转化为向量的数量积|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|.(3)与的夹角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC433.探究提高(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|要引起足够重视，它是求距离常用的公式(2)要注意向量运算律与实数

9、运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的 (1)已知向量a、b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案C解析cosa，b，a，b.(2)已知向量a(1，)，b(1,0)，则|a2b|等于()A1 B. C2 D4答案C解析|a2b|2a24ab4b244144，|a2b|2.题型三向量数量积的综合应用例3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0)(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的模相等，求.(其中k为非零实数)思维启迪：(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为

10、零即得证(2)由模相等，列等式、化简(1)证明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab与ab互相垂直(2)解kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，|kab|，|akb|.|kab|akb|，2kcos()2kcos()又k0，cos()0.0，0，.探究提高(1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明ab，则只需证明ab0x1x2y1y20.(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明ab0. 已知平面向量a

11、(，1)，b.(1)证明：ab；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，试求函数关系式kf(t)(1)证明ab10，ab.(2)解ca(t23)b，dkatb，且cd，cda(t23)b(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)ab0，又a2|a|24，b2|b|21，ab0，cd4kt33t0，kf(t) (t0)三审图形抓特点典例：(5分)如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若xy，则x_，y_.图形有一副三角板构成(注意一副三角板的特点)令|AB|1，|AC|1(一副三角板的两斜边等长)|DE|BC|(非等腰三角板的特点)|BD|DE

12、|sin 60(注意ABD4590135)在上的投影即为xx|AB|BD|cos 4511在上的投影即为yy|BD|sin 45.解析方法一结合图形特点，设向量，为单位向量，由xy知，x，y分别为在，上的投影又|BC|DE|，|sin 60.在上的投影x1cos 4511，在上的投影ysin 45.方法二xy，又，xy，(x1)y.又，(x1)2.设|1，则由题意|.又BED60，|.显然与的夹角为45.由(x1)2，得1cos 45(x1)12.x1.同理，在(x1)y两边取数量积可得y.答案1温馨提醒突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)根据图形的特点，利用向量分解的几

13、何意义，求解方便快捷方法二是原试题所给答案，较方法一略显繁杂.方法与技巧1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧失误与防范1(1)0与实数0的区别：0a00，a(a)00，a000；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系2ab0不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab.3abac(a0)不能推出bc，即消去律不成立A组专项基

14、础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2012辽宁)已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x等于()A1 B C. D1答案D解析ab(1，1)(2，x)2x1x1.2(2012重庆)设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|等于()A. B. C2 D10答案B解析a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，由ac得ac0，即2x40，x2.由bc，得1(4)2y0，y2.a(2,1)，b(1，2)ab(3，1)，|ab|.3已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c等于()

15、A. B.C. D.答案D解析设c(x，y)，则ca(x1，y2)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0.联立解得x，y.4在ABC中，AB3，AC2，BC，则等于()A B C. D.答案D解析由于|cosBAC(|2|2|2)(9410).二、填空题(每小题5分，共15分)5(2012课标全国)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.答案3解析a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|2ab|244|b|b|210，|b|3.6(2012浙江)在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_.答案1

16、6解析如图所示，()()22|2|292516.7已知a(2，1)，b(，3)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_答案(，6)解析由ab0，即230，解得，由ab得：6，即6.因此1)，a与b的夹角是45.(1)求b；(2)若c与b同向，且a与ca垂直，求c.解(1)ab2n2，|a|，|b|，cos 45，3n216n120，n6或n(舍)，b(2,6)(2)由(1)知，ab10，|a|25.又c与b同向，故可设cb (0)，(ca)a0，ba|a|20，cb(1,3)9(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te2

17、的夹角为钝角，求实数t的取值范围解e1e2|e1|e2|cos 60211，(2te17e2)(e1te2)2te7te(2t27)e1e28t7t2t272t215t7.由已知得2t215t70，解得7t.当向量2te17e2与向量e1te2反向时，设2te17e2(e1te2)，0，则2t27t或t(舍)故t的取值范围为(7，)(，)B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1(2012湖南)在ABC中，AB2，AC3，1，则BC等于()A. B. C2 D.答案A解析1，且AB2，1|cos(B)，|cos B1.在ABC中，|AC|2|AB|2|

18、BC|22|AB|BC|cos B，即94|BC|22(1)|BC|.2已知|a|6，|b|3，ab12，则向量a在向量b方向上的投影是()A4 B4 C2 D2答案A解析ab为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，得ab|b|a|cosa，b，即123|a|cosa，b，|a|cosa，b4.3(2012江西)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于()A2 B4 C5 D10答案D解析，|2222.，|2222.|2|2(22)2()2222222.又2162，2，代入上式整理得|2|210|2，故所求值为10.二、填空题(每小题5分，共15分)4(

19、2012安徽)设向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_.答案解析ac(1,2m)(2，m)(3,3m)(ac)b，(ac)b(3,3m)(m1,1)6m30，m.a(1，1)，|a|.5(2012江苏)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_答案解析方法一坐标法以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)故(，0)，(x,2)，(，1)，(x，2)，(，0)(x,2)x.又，x1.(1，2)(，1)(1，2)22.方法二用，表示，是关键设x，

20、则(x1).()(x)x22x，又，2x，x.()2224.6(2012上海)在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是_答案1,4解析如图所示，设(01)，则，(1)，()()()(1)(1)4(1)43，当0时，取得最大值4；当1时，取得最小值1.1,4三、解答题7(13分)设平面上有两个向量a(cos ，sin ) (0360)，b.(1)求证：向量ab与ab垂直；(2)当向量ab与ab的模相等时，求的大小(1)证明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)0，故向量ab与ab垂直(2)解由|ab|ab|，两边平方得3|a|22ab|b|2|a|22ab3|b|2，所以2(|a|2|b|2)4ab0，而|a|b|，所以ab0，即cos sin 0，即cos(60)0，60k18090， kZ，即k18030，kZ，又0360，则30或210.