2017年4月上海市徐汇区高三数学二模(共9页)

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1、2016学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科20174一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1. 设全集，集合，则=_2. 参数方程为（为参数）的曲线的焦点坐标为_3. 已知复数满足，则的取值范围是_4. 设数列的前项和为，若，则=_5. 若的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则_6. 把分别写在张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于的数的卡片的概率为_（结果用最简分数表示）7. 若行列式中元素的代数余子式的值为，则实数的取值集合为_8. 满足约束条件的目标函数的最小值是_9

2、. 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是_10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为_元11. 如图：在中，为上不同于的任意一点，点满足若，则的最小值为_12. 设单调函数的定义域为，值域为，如果单调函数使得函数的值域也是，则称函数是函数的一个“保值域函数”已知定义域为的函数，函数与互为反函数，且是的一个“保值域函数”，是的一个“保值域函数”，则_二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每

3、题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13. “”是“”的（ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件14. 九章算术是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛15. 将函数的图像按向量平移，得到的函数图像与函数的图像的所有交点的横坐标之

4、和等于（ ）（A） （B） （C） （D）16. 过椭圆右焦点的圆与圆外切，则该圆直径的端点的轨迹是（ ）（A）一条射线 （B）两条射线 （C）双曲线的一支 （D）抛物线三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥中，平面，底面是正方形，（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若点、分别是棱和的中点，求证：平面18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数是偶函数（1）求实数的值；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围

5、19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的点处，乙船在中间的点处，丙船在最后面的点处，且一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得，（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距米，求无人机到丙船的距离（精确到米）20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆与双曲线有相同的焦点，它们在轴右侧有两个交点、，满足将直线左侧的椭圆部分（含,两点）记为曲线，直线右侧的双曲线部分（不含,两点

6、）记为曲线以为端点作一条射线，分别交于点，交于点(点在第一象限),设此时=.（1）求的方程; （2）证明:，并探索直线与斜率之间的关系;（3）设直线交于点，求的面积的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1第二行： 1 2第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 第行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,直至按原序抄写第行,最后添上数.（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数

7、1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第个数记作(如,)（1）用表示数表第行的数的个数，求数列的前项和；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用表示第8行中的第73个数，试求和 的值；若不是，请说明理由；（3）令，求的值参考答案一、 填空题：(共54分，第16题每题4分；第712题每题5分)1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 1 二、 选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、 解答题17、解：（1）以点A为原点，以AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，建立空

8、间直角坐标系，则,-2分所以，,-4分设的夹角为，则,-5分所以，的夹角为，即异面直线PC与AB所成角的大小为.-6分（2）因为点、分别是棱和的中点，可得，所以，-8分又，-10分计算可得，-12分所以，又，所以EF平面PBC.-14分18、(1) 因为函数是定义域为R的偶函数，所以有，-2分即， 即， -4分故m=1. -6分(2)，且在上恒成立， 故原不等式等价于在上恒成立，-8分又x，所以， -10分所以，-11分从而，-12分因此，. -14分19、(1)在中，由正弦定理，得，-2分在中，由正弦定理，得 ，-4分 又，-6分 故.即无人机到甲、丙两船的距离之比为.-7分(2)由得AC=

9、400，且， -9分 由(1)，可设AP=2x，则CP=3x， -10分 在中，由余弦定理，得=(2x)2+(3x)2-2(2x)(3x)cos1200，-12分解得x=，即无人机到丙船的距离为CP=3x=米. -14分20、解：（1）由条件，得，根据知，F2、A、B三点共线， 且由椭圆与双曲线的对称性知，A、B关于x轴对称，故AB所在直线为x=1，从而得，.-2分 所以，,又因为为双曲线的焦点，所以，解得. -3分因此，的方程为(). -4分(2) 由P(xp,yp)、M(xM,yM)，得=(xp+1,yp)，=(xM+1,yM)， 由条件，得，即， -5分 由P(xp,yp)、M(xM,y

10、M)分别在曲线和上，有 ，消去yp，得 (*) -7分将代入方程(*)，成立，因此(*)有一根,结合韦达定理得另一根为，因为,所以-1，舍去.所以，. -8分 从而点坐标为(,)， 所以，直线的斜率，-9分由,得M(，). 所以，直线的斜率.-10分因此，与斜率之和为零. -11分（3）由(2)知直线与关于x轴对称，结合椭圆的对称性知点P与点N关于x轴对称，故(,), -12分因此，S=|F1F2|(|yM|+|yN|)=2(+)=+，-14分因为S在上单调递增, -15分所以,S的取值范围是.-16分21、解：（1）当时， ，-2分 ， 于是，即，又， -3分 所以，故. -4分（2）由得第

11、8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-6分 ，-7分从而，由26-1=6373，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知=2，-9分 所以，. -10分（3）由于数表的前n行共有个数，于是，先计算. 方法一：在前个数中，共有1个，2个，22个，2n-k个，2n-1个1， -12分 因此=n1+(n-1)2+ k2n-k+22n-2+12n-1 则2=n2+(n-1)22+ k2n-k+1+22n-1+12n 两式相减，得=+2+22+2n-1+2n2n+1-n-2. -15分方法二：由此数表构成的过程知，-12分则+n+2=2(+n+1)，即数列+n+2是以S1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列,所以+n+242n-1，即=2n+1-n-2. -15分S2017=+S994 -16分=+S483=+S228+S101=+S38=+S7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5)=3986. -18分