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1、求函数图象对称中心的方法 对给定函数，求其对称中心是一类最基本的问题。常出现在选择题、填空题或融合在解答题中，若方法不熟练，常会束手无策，直接影响解题效果。现介绍处理这类问题的常用方法如下：1、利用基本函数的对称中心依据平移法则求解若所给函数通过变形之后可看成是某个基本函数通过一个平移变换而得，又基本函数的中心根据其性质又是熟知的，则所给函数的中心即可得知。2、利用曲线关于一点对称的定义用待定系数法求中心例2、求f(x)=x3-3x2+6x-7的对称中心。解：在f(x)图象上取A(1，-3）、B(0，-7）两点，设f(x)的中心为M(x0,y0）,则A,B关于M的对称点为A1(2x0-1,2y
2、0+3），B1(2x0,2y0+7）.因为A1,B1都在f(x)的图象上，所以 解之得所以M(1,-3)或M(，）。检验知M(1,-3)才合乎题意，所以f(x)的中心为M(1，-3）。该法最容易想到，但解题过程较繁，还应注意检验。3、按向量平移法求曲线的中心若函数的图象成中心对称图形，则该函数按某一向量平移后总可使所得函数成为奇函数。由于奇函数的中心是原点，因此，只需将原点按该向量的相反向量平移即得所给函数的中心。例3、求函数的对称中心。解:将函数变形为，再将该函数的图象按=平移便得奇函数，显然该函数的中心是（0，0）,将该中心按平移，即得所给函数的中心为。用类似方法可得函数y=ax3+bx2
3、+cx+d(a0)的对称中心是4、 用以下命题求函数图象的中心命题：若f(x), g(x）图象的中心都是M(x0, y0），则函数f(x)+g(x)图象的对称中心是N(x0, 2y0).(证明从略） 例4、求函数y= x3-3x2+6x-7图象的对称中心。解：y= x3-3x2+6x-7=(x-1)3+3x-6 =(x-1)3+3(x-1) -3=(x-1)3+1+3(x-1)+1-5，f(x)=(x-1)3+1和g(x)=3(x-1)+1图象的对称中心都是(1,1）,所以f(x)+g(x)=(x-1)3+1+3(x-1)+1的中心为（1,2）。而y= x3-3x2+6x-7的图象可由f(x)
4、+g(x)=(x-1)3+1+3(x-1)+1的图象向下平移5个单位而得到，所以函数y= x3-3x2+6x-7图象的对称中心为(1，-3）。 另解：将函数变形为y=(x-1)3+3(x-1)-3, 因为f(x)= (x-1)3与g(x)=3(x-1)图像的中心都是(1，0），所以，由命题知f(x)+ g(x)=(x-1)3+3(x-1)的中心为(1，0），由于y= x3-3x2+6x-7的图像可由f(x)+ g(x)= (x-1)3+3(x-1)的图像向下平移3个单位得到，所y=x3-3x2+6x-7的图像中心为(1，-3）.用该法求函数图像的中心，不但简捷明快而且对函数解析式的变形也可灵活多变。这是求复杂函数图像对称中心的行之有效的方法。
求函数图象对称中心的方法
