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1、北京航空航天大学20102011 学年第一学期期中 工科数学分析(I) 试卷 班号 学号 姓名 成绩 题 号一二三四五六七八总分成 绩阅卷人校对人2010年11月25日一 计算下面各题（满分40分，每个题目5分）1) 计算极限 解： . （3分） = （2分）2) 求下面无穷小的阶 .解：（3分） 为1阶 (2分) 3) 假设 求. 解： . (2分) .(3分)4) 假设求. 解: (2分) (3分)5) 假设求 解: (3分) (2分)6) 求在的阶Taylor展开,并写出peano余项.解: (2分) (3分)7) 假设函数, 判断函数的凹凸性. 解 (4分) 凸函数 (1分)8) 已知
2、为正整数.求: 满足什么条件，函数在连续，满足什么条件，函数在可导. 解: ，函数在连续 (2分) ，函数在可导数 (3分)二 证明下面问题（10分） 假设 证明数列单调有界，且极限为.证明: 1) 数列单调递减有下界(5分) 2) 下面说明极限为(5分),三. 证明下面问题（10分）假设数列满足, 用Cauchy收敛定理证明收敛.证明 1) (5分) 2) 柯西定理写正确5分 四. 证明下面不等式 (10 分) . 证明: 1) 下面每个式子2分,共6分 2) (2分) 因此 3) (2分),五. （10分）假设函数和在存在二阶导数，并且,且 ，证明下面问题: 1）在内；2） 在内至少存在一
3、点在满足.证明: 1) 下面每个式子2分,共6分用反证法证明,假设. 则 矛盾,结论得证. 2) 令 . ( 2分) (2分) (1分)六 (10分) 假设函数在存在二阶导数,并求解和证明下面问题. 1) 写出在的Lagrange 余项的Taylor公式;2) 证明在至少存在一点满足. 证明 1) 下面每个式子2分 介于之间. 介于之间. 2) 2分 2分 而 在区间上的最大值, (2分)因此 七 （10分）证明下面问题假设定义在上. 如果对内任何收敛的点列都有存在, 则在上一致连续.证明: 1) 写出不一致连续定义3分如果在上不一致连续, 则 2) 写出下面3分(有界数列必存在收敛子列) 则存在3) 下面结论4分构造数列收敛且极限为, (2分)则有已知条件存在, 因此 (2分)与1)矛盾.八 （10分）附加题 (下面两个题目任选其一)1) 假设函数, 证明下面问题a) 对于任意的自然数, 方程在中仅有一根.b) 设满足, 则证明: 1) 5分 ,由介值定理. (3分) (2分) 因此根唯一. 2) 5分由于（2分）由极限的保号性 （2分） 单调性和夹逼定理 （1分） 2) 用有限覆盖定理证明下面问题假设函数定义在, 对于, 都存在, 则在上有界.证明： 1）4分存在，根据函数局部有界性 2）3分根据有限覆盖定理 ，存在有限个 3）3分取，则，则。
北航数学分析期中考题-答案
