矩形中的折叠问题(共5页)

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1、 矩形中的折叠问题山东省枣庄市峄城区第二十八中学 潘歌 邮编：折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。对于折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。ABECDFG一、求角度例1 如图 把一张矩形纸片沿折叠后，点分别落在的位置上，交于点已知，那么 【解析】在矩形折叠问题中，折叠前后的对应角相等来解决。解：

2、根据矩形的性质ADBC，有EFG=FEC=58，再由折叠可知，FEC=CEF=58，由此得BEG=64例2 将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，CBD= 度【解析】折叠前后的对应角相等解：BC、BD是折痕，所以有ABC = GBC，EBD = HBD则CBD = 90二、求线段长度例3 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG的长【解析】根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可解：由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得ADG ADG，由AD

3、 = AD = 3，AG = AG，则AB = 5 3 = 2，在RtABG中根据勾股定理，列方程可以求出AG的值ABCDEF例4 如图 四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF若CD6，则AF等于 （）（A） （B）（C）（D）8 【解析】在矩形折叠问题中，求折痕等线段长度时，往往利用轴对称性转化相等的线段，再借助勾股定理构造方程来解决解：由折叠可知，AE=AB=DC=6，在RtADE中AD=6，DE=3由勾股定理，得AD=，设EF=x，则FC=，在RtEFC中由勾股定理求得x=,则EF=，在RtAEF中，由勾股定理得AF=故选A三、求图形面积例

4、5如图3-1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图3-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）图3-1图1-1图3-2ABCD解析：折叠后重合部分为直角三角形解：重合部分其面积为，因此着色部分的面积=长方形纸条面积 两个重合部分三角形的面积，即2022236（）故选B例6 如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积【解析】重合部分是以折痕为底边的等腰三角形解：点C与点E关于直线BD对称，1 = 2ADBC，1 = 32 = 3FB = FD设FD = x，则FB = x，FA = 8 x在RtBA

5、F中，BA2 + AF2 = BF262 + (8 - x)2 = x2解得x = 所以，阴影部分的面积SFBD = FDAB = 6 = cm2ABCDEF四、数量及位置关系例7 如图 将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，连结证明：（1）（2）【解析】（1）欲证明BF=DF ，只需证FBD=FDB；（2）欲证明，则需证。由折叠可知DC=ED= AB， BC=BE= AD，又因为AE=AE，得AEBEAD，所以AEB=EAD，所以AEB=（180-AFE），而DBE=（180-BFD）因此。解：（1）由折叠可知，FBD=CBD，因为ADBC，所以FDB=CBD，所以FBD=FDB（2）

6、因为四边形ABCD是矩形，所以AB=DC，AD=BC由折叠可知 DC=ED= AB， BC=BE= AD又因为AE=AE所以AEBEAD，所以AEB=EAD，所以AEB=（180-AFE），而DBE=（180-BFD），AFE=BFD，所以，所以AEBD例8 如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D重合MN为折痕，折叠后BC与DN交于P(1)连接BB，那么BB与MN的长度相等吗？为什么？ (2)设BM=y，AB=x，求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNCB面积最小？并验证你的猜想【解析】对折前后图形的位置变化，但形状、大小

7、不变，要注意构造全等三角形解：(1)BB = MN过点N作NHBC交AB于点H），证ABB HNM(2)MB = MB = y，AM = 1 y，AB = x在RtABB中，BB = = 因为点B与点B关于MN对称，所以BQ = BQ，则BQ = 由BMQBBA得BMBA = BQBB y = = (3) 梯形MNCB的面积与梯形MNCB的面积相等由(1)可知，HM = AB = x，BH = BM HM = y x，则CN = y - x梯形MNCB的面积为：(y x + y) 1 = (2y - x)= (2 x)= (x - )2 + 当x = 时，即B点落在AD的中点时，梯形MNCB的

8、面积有最小值，且最小值是五、判断图形形状例9 将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角FEC=64，则1= 度；EFG的形状 三角形【解析】对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰GEF解：四边形CDFE与四边形CDFE关于直线EF对称2 = 3 = 644 = 180 - 2 64 = 52ADBC1 = 4 = 522 = 5又2 = 33 = 5GE = GFEFG是等腰三角形例10 如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F（1）求证：FAC是等腰三角形

9、；（2）若AB=4，BC=6，求FAC的周长和面积【解析】对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系 （1）证明：由题意可知ABCACDACE,所以DAC=ACE,所以FAC是等腰三角形；（2）解：设CF=AF=x，且AD=BC=6,CD=AB=4RtCDF中，DF=AD-AF=6-x由勾股定理得， ，6-x=RtABC中，AC=FAC的周长=+FAC的面积=ACD的面积-CDF的面积=六、连续折叠的规律例11 如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，

10、第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，按上述方法，第n次折叠后的折痕与BD交于点On，则BO1= ，BOn= 【解析】问题中涉及到的折叠从有限到无限，要明白每一次折叠中的变与不变，充分展示运算的详细过程。在找规律时要把最终的结果写成一样的形式，观察其中的变与不变，特别是变化的数据与折叠次数之间的关系解：第一次折叠时，点O1是BD的中点，则BO1 = DO1第二次折叠时，点O2是BD1的中点，则BO2 = D1O2第三次折叠时，点O3是BD2的中点，则BO3 = D2O3因为AB = ，BC = ，所以BD = 4第一次折叠后，有BO1 = DO1 BO1 = 2第二次折叠后，有BO2 = D1O2BO2 = = = 第三次折叠后，有BO3 = D2O3BO3 = = = 即当n = 1时，BO1 = 2 = = 当n = 2时，BO2 = = = 当n = 3时，BO3 = = = 则第n次折叠后，BOn =