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1、第七章 矢量与空间解析几何本章主要知识点l 矢量运算l 平面l 直线方程l 主要的几个立体图形及方法一、矢量运算着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。1矢量的内积（1），其中为的夹角（2）若， 且（3） (为非零矢量)例7.1，求。解：。例7.2如果，且，求。解： 得： 得：。2矢量的叉积图示7.1如图所示，如果不平行于，则同时垂直与又垂直于，或者等价地，垂直于由确定的一平面。它在后面研究平面与直线中起相当重要的作用。如果那么，利用第一行代数余子式展开计算。若非零，例7.3，求解：例7
2、.4如果，求解：，解得：。3单位向量为矢量的方向上的单位矢量。4矢量在上的投影二、平面方程1平面方程的基本形式（点法式）平面过点，法矢量为那么平面方程为（1）点法式有两个基本要素：点和法向量。（2）如果一平面方程写为，那么。（3）两平面之间的位置矢量由各自的法向量来决定。（4）点到平面的距离例7.5已知平面过三点,求平面方程。解： 平面方程为 例7.6已知平面过点且平行与矢量，求平面方程。解：平面方程为。例7.7已知平面过点且与平面平行，求平面的方程解：，平面方程为。三、直线方程直线过且方向矢量为，则直线方程（点斜式）的基本形式为： 直线点斜式两基本要素为及方向矢量。另外一种常见的直线方程可由
3、两平面相交形式给出。例7.8如果直线方程为，求直线的方向矢量的点斜式方程解：令，得，所以 故，两平面的方向为，则直线的点斜式为例7.9求直线在平面的投影直线的方程。解：取直线，交线构成平面，则，的法线故平面方程为，图示7.2即，。故直线的方程为 。例7.10当为何值时，直线与直线平行？解：平面法矢量分别为：直线方向矢，直线方向矢，由得：则，得：，即，所以，于是得到 或 。例7.11平面通过直线，且与平面：垂直，求平面的方程。解：设平面方程为即：；由于即得：，即平面的方程为或注：此题解法中应用了平面束的概念。例7.12平面通过点（1,-1,2）且直线落在其中，求平面方程。解：平面方程为：。例7.
4、13求异面直线之间的距离。解：，以为法矢量分别作包含的两平行平面，即，即两平面间的距离就是异面直线之间的距离。四、常见曲面及方程方程名称母线平行轴，准线是面上曲线的柱面方程平面上已知曲线：绕轴旋转的旋转面方程。椭球面椭圆抛物面双曲抛物面单叶双曲面双叶双曲面单元练习题71. 给为两个非零矢量，为非零常数，若向量垂直于向量，则等于（）A B. C. D. 2. 设，用表示方向上单位向量，则向量在上的投影为（） A B. C. D. 3. 方程在空间直角坐标系下表示为：A圆柱面 B. 点C. 圆 D. 旋转抛物面4在空间坐标系下，下列为平面方程的是： A. B. C. D. 5与平面垂直的直线方程为
5、：A B. C. D. 6直线与x轴平行，且与曲线相切，则切点坐标是：A（1,1） B(-1,1)C(0,-1) D(0,1)7点到平面的距离 。8过原点且与直线：垂直的平面方程为 9过点且平行向量的平面方程为 。10过点且平行于两个已知平面，的直线方程为 。11曲线绕轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为 。12判断直线与平面的关系。13已知向量求与同向的单位向量。14求通过原点且垂直于直线：的平面方程。15.把方程化为标准式（点斜式）与参数形式。16平面通过直线且与直线平行，求平面方程。17求过点且与直线和平行的平面方程式。18确定与的平行或垂直关系。19确定与平面的平行或垂直关系。历年真考题
6、1（2001）方程在空间直角坐标系下表示（ ）A. 圆柱面 B. 点 C. 圆 D. 旋转抛物面2（2002）在空间坐标系下，下列为平面方程的是（ ）A. B. C. D. 3（2003）与平面垂直的直线方程为（ ）A. B. C. D. 4（2004）过点M(1,0,-2)且垂直于平面的直线方程为_.5（2005）设向量若与垂直，则k=_.6（2005）求过点且通过直线的平面方程。本章测试题1过点与平面相平行的平面方程是 。2直线的标准式是 。3将曲线绕轴旋转所的旋转面方程是 。4下面哪条直线与平面平行（）.5下面曲面中哪一个是旋转抛物面（）.6一平面通过直线且垂直于平面,求平面的方程。7.求过点M(-3,2,5)且与两个平面：的交线平行的直线方程。单元练习题七答案1、B，2、B，3、A，4、D，5、D，6、C，7、，8、，9、， 10、11、12、，平面法矢量，由于故：13.。与同向单位向量14解：的方向矢量所求平面的法矢量：，可取：平面方程为：。15取由解得：，故直线通过点标准式（点斜式）方程：参数形式方程为：16解：设平面方程为：即：。由于，因此，即解得：，所以平面方程为：17平面方程为，即18，由于，故直线与平行19，故平面与直线平行。.本章测试题答案1. 2. 3. 4、 5、6解：设方程为，即，由于垂直于，故解得，即平面的方程为。7
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