高考数学基本知识必备

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1、基本知识(修订版)一、集合与简易逻辑1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如：与及。竖线前的内容表示集合元素特征，上例依次是对数函数自变量的集合，因变量的集合以及函数图象上点的集合。2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，

2、可考虑判断其等价命题的真假；5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；6.（1）含n个元素的集合的子集个数为，真子集（非空子集）个数为1；（2） （3）二、函数1.复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若已知的定义域为a，b,其复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b解出即可；若已知fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于xa,b时，求g(x)的值域（即 f(x)的定

3、义域）；研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；也可以用导数法求单调性。2.函数的奇偶性（首先要验证定义域是否关于原点对称）（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(x)=;（2）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则（可用于求参数）；（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)f(-x)=0或（f(x)0）; (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；3.函数图像（或方程曲线的对称性）(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中

4、心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然；（3）曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(ya,x+a)=0(或f(y+a,x+a)=0);（4）曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2ax,2by)=0;（5）若函数y=f(x)对xR时，f(a+x)=f(ax)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；（6）函数y=f(xa)与y=f(bx)的图像关于直线x=对称；4.函数的周期性(1)y=f(x)对xR时，f(x +a)=

5、f(xa) 或f(x2a )=f(x) (a0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数；（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2a的周期函数；（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4a的周期函数；（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数；（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(ab)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数；（6）y=f(x)对xR时，f(x+a)=f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2的周期函数；5.方程k=f(x)有解kD(

6、D为f(x)的值域)；6.af(x) 恒成立af(x)max,; af(x) 恒成立af(x)min;7.（1） (a0,a1,b0,nR+); (2) l og a N=( a0,a1,b0,b1);(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a0,a1,N0 );8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。9.判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A中元素必须都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇

7、函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有ff-1(x)=x(xB),f-1f(x)=x(xA).11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；12.恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：

8、(或（或）；14.掌握函数的图象和性质；函数(b ac0)）定义域值域奇偶性非奇非偶函数奇函数单调性当b-ac0时:分别在上单调递减；当b-ac0,b0)时要符合“一正二定三相等”；注意均值不等式的一些变形，如；七、直线和圆的方程1.设三角形的三顶点是A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3）,则ABC的重心G为（）；2.直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2: A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0；3.两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是；4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 ：A=C0且B=0且D2+

9、E24AF0；5.过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2;6.以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0;7.求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出可行域，写出目标函数；（3）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解；八、圆锥曲线方程1.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆（ab0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则（e为离心率）；2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线（a0,b0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),

10、则:（1）当P点在右支上时，；（2）当P点在左支上时，；（e为离心率）；另：双曲线（a0,b0）的渐近线方程为；3.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px(p0)上任意一点，F为焦点，则；4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；5.共渐进线的双曲线标准方程为为参数，0）；6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长 ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p

11、，焦准距为p; 双曲线（a0，b0）的焦点到渐进线的距离为b;8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx21；9.抛物线y2=2px(p0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）x1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=;10.过椭圆（ab0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦；11.对于y2=2px(p0)抛物线上的点的坐标可设为（，y0）,以简化计算;12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆（ab0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KA

12、BKOM=；对于双曲线（a0，b0），类似可得：KAB.KOM=；对于y2=2px(p0)抛物线有KAB13.求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)0，是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；（4）定义法：如果能够确定动点

13、的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。九、直线、平面、简单几何体1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若AOB=AOC，则点A在平面BOC上的射影在BOC的平分线上；A2. 已知:直二面角MABN中，AE M，BF N,EAB=,ABF=，异面直线AE与BF所成的角为，则3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是，AC在平面内，AC和AB的射影AB成，设BAC=,则coscos=cos；4.异面直线所成角的求法：

14、（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；6.二面角的求法（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂

15、线定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（4）射影法：利用面积射影公式S射S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。7.空间距离的求法（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂

16、直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则S侧cos=S底；9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有cos2+cos2+cos2=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+FE=2；并且棱数E各顶点连着的棱数和的一半各面边数和的一半；12.球的体积公式V=，表面积公式；掌握球面上两点A

17、、B间的距离求法：（1）计算线段AB的长，（2）计算球心角AOB的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB的长；十、排列组合二项式定理和概率1.排列数公式:=n(n-1)(n-2)(n-m1)=(mn,m、nN*),当m=n时为全排列=n(n-1)21;2.组合数公式：（mn）,；3.组合数性质：；4.常用性质：n.n!=(n+1)!-n!;即（1rn）;5.二项式定理：（1）掌握二项展开式的通项：（2）注意第r1项二项式系数与第r1系数的区别；6.二项式系数具有下列性质：(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等；(2) 若n为偶数，中间一项（第1项）的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第和1

18、项）的二项式系数最大；（3）7.F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为；偶数项的系数和为；8.等可能事件的概率公式：（1）P（A）；（2）互斥事件分别发生的概率公式为：P(A+B)=P(A)+P(B)；（3）相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)P(A)P(B)；（4）独立重复试验概率公式Pn(k)=(5)如果事件A、B互斥，那么事件A与、与及事件与也都是互斥事件；（6）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1P（AB）1P(A)P(B)；（7）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1P（）1P()P()；十一、抽

19、样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差1.掌握抽样的二种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签符和随机数表法）；（2）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；2.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；3.总体特征数的估计：（1）学会用样本平均数去估计总体平均数；（2）学会用样本去估计总体方差及总体标准差； 十二、导数及应用1.导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作；2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量(2)求平均变化率;(3)取极限,得导数;3.导数的几

20、何意义：曲线yf（x）在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是相应地，切线方程是4.常见函数的导数公式：5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数yf（x）在某个区间内可导，如果那么f(x)为增函数；如果那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有那么f(x)为常数；（2）求可导函数极值的步骤：求导数；求方程的根；检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：求y=f(x)在(a,b)内的极值；将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。