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1、重庆中山外国语学校高2014级20122013学年度（上）期中期考试数学试题（理科）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。每题只有一个正确答案）1直线xy10的倾斜角为 ( )A.60 B.120 C.150 D.30【答案】A2长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A B C D 都不对【答案】B3直线ax2y10与x(a1)y20平行，则a等于 ( ）A B2C1D2或1【答案】D4已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）2020正视图20侧视图101020俯视图【答案
2、】B5光线从点A（3，5）射向直线l：xy0，经过直线l反射后过点B（1，5），则光线从A点经反射点到B点的距离为（）A2B10C2D4【答案】D6. 已知两个平面垂直，下列命题：一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是（）A3B2C1D0【答案】C7点P在直线3xy50上，且点P到直线xy10的距离为，则P点坐标为 ( ）A（1，2）B（2，1）C(1,2)或(2,1)D(2,1)或(2,1)【答案】C
3、8如图，正方形SGGG中，E，F分别是GG，GG的中点，D是EF的中点，现在沿SE及EF把这个正方形折成一个四面体，使G，G，G三点重合，重合后的点记为G，则在四面体SEFG中必有（）ASGEFG所在平面 BSDEFG所在平面CGFSEF所在平面 DGDSEF所在平面【答案】A9若动点A、B分别在直线l1:xy70和l2:xy50上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A.5 B.7 C. D.2【答案】C10如图，若D、E、F分别是三棱锥SABC的侧棱SA、SB、SC上的点，且SD：DASE：EBCF：FS2：1，那么平面DEF截三棱锥SABC所得的上下两部分的体积之比为（ ）A.
4、4：31 B.6：23 C. 2：25 D. 4：23【答案】D（提示：特殊化处理，不妨设三棱锥SABC是棱长为3的正三棱锥，K是FC的中点，分别表示上下两部分的体积则，选D二、填空题:请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）.11直线y1的斜率k 【答案】012已知直线（3a2）x（14a）y80与（5a2）x（a4）y70垂直，则a的值是【答案】0or 113四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角VABC的度数是 .【答案】6014若直线l与直线y1，x7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标是（1，1），则直线l的倾斜角的
5、正切值是 . 【答案】 15如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一饭粒，则这只蚂蚁取得饭粒所需经过的最短路程为 【答案】三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共75分）.16（13分）设直线的方程为（m22m3）x(2m2m1)y2m80，根据下列条件求的值.(1)直线的斜率为1；（2）直线经过点.解：（1）由1且2m2m10得得m7分 （2）将P（1,1）代入得（m2m3）（2mm1）2m80 10分即：mm60m2或m3.13分17（13分）如图，CD，EF，AB，AB，求证
6、：CDEF .证明：AB，CD，AB,ABCD，6分同理ABEF，CDEF .13分18（13分）已知两直线：l1：3xy10和l2：xy30交于点P.（1）求过P点，且和直线3x4y200平行的直线l的斜截式方程；（2）求过P点，且和直线xy10垂直的直线l的截距式方程 .【答案】解方程组得l1与l2的交点P（1，2）.（1）l和直线3x4y200平行，可设l的方程为3x4ym03分又直线l过P（1，2），3142m0，m115分直线l的方程为3x4y110化成斜截式方程为 y；7分（2）l和直线xy10垂直，可设l的方程为xyn09分又直线l过P（1，2），12n0，n311分直线l的方程
7、为xy30化成截距式方程为 .13分222222正视图侧视图俯视图19. （12分）一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M，N分别是AB，BC的中点 . （1）求该多面体的表面积；（2）求证：MN平面ACCA；（3）求证：MN平面ABC .解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且ACBC，ACBCAA2，（1）S2SS2222222124（2）证明：连接AC，AB . 由直三棱柱的性质得AA平面ABC，所以AAAB，则四边形ABBA为矩形，由矩形的性质得，AB过AB的中点M.在ABC中，由中位线性质，得MNAC，又AC平面ACCA，MN平面ACCA，所以MN平面ACCA .8分（3
8、）因为CC平面ABC，BC平面ABC，所以BCCC. 又BCAC，ACCCC，所以BC平面ACCA，AC平面ACCA，所以BCAC，在正方形ACCA中，ACCA，又因为ACCAC，所以AC平面ABC. 由MNCA，得MN平面ABC. 12分20（12分）已知直线l：kxy12k0（kR）.（1）直线l过定点，请你求出该定点的坐标；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S，求S的最小值并求此时l的方程.解：解：(1)法一：直线l的方程可化为yk(x2)1，故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)4分法二：设直线l过定点(x0
9、，y0)，则kx0y012k0对任意kR恒成立，即(x02)ky010恒成立，所以x020，y010，解得x02，y01，故直线l总过定点(2,1)(2)直线l的方程可化为ykx2k1，则直线l在y轴上的截距为2k1，要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是k0.8分(3)依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，A(，0)，B(0,12k)，又0，k0，故S|OA|OB|(12k)(4k4)(44)4，当且仅当4k，即k时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.12分21. （12分）如图边长为4的正方形所在平面与正所在平面互相垂直，分别为的中点.（1）求证：平面PQB平面ABCD；（2）求：二面角的余弦值；（3）试问：在线段上是否存在一点使得平面平面若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.22. （1）证明：略4分（2）二面角的余弦值为8分（3）解，存在点当为中点时，平面四边形是正方形，为的中点，由（1）知，平面又12分
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