大学物理答案第7～8章

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1、精品文档第七章真空中的静电场7 1 在边长为 a的正方形的四角，依次放置点电荷 q,2q,-4q和 2q，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。解： 如图可看出两 2q的电荷对单位正电荷的在作用力将相互抵消，单位正电荷所受的力为q(1 4)5qF2 , 方向由 q指向 -4q。4 0 ( 2 a) 220 a27 2 如图，均匀带电细棒，长为L ，电荷线密度为。（1）求棒的延长线上任一点P 的场强； (2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点 Q 的场强。解：（ 1）如图 72 图 a，在细棒上任取电荷元 dq，建立如图坐标，线上任一点 P 与坐标原点 0 的距离为 x，则q2

2、q2q-4q习题 71 图dqd ，设棒的延长dEdd40 ( x) 240 ( x)2则整根细棒在P 点产生的电场强度的大小为dqx0PLd11dE(40 ( x) 24)00x L x习题 7 2 图 aL方向沿 轴正向。40 x(xL )（2）如图 7 2 图 b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q与坐标原点0的距离为 ydEdx40 r 2ydE y4dx2cos，dE0rdE xdxsinyQ4200r0dqx因 xytg , dxyd, ry，dxPcos2cos习题 72代入上式，则图 bExdE x0sind40 y 04(1cos0 ) 4( 11) ，方向沿 x轴负向。0 y

3、0 yy2L2.精品文档EydE y0cos d40 y 0sin 0 L40 yy 2L240 y7 3 一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心 O处的场强。解： 如图，在半环上任取dl=Rd的线元，其上所带的电荷为dq= Rd 。对称分析 Ey=0。dE xRd2 siny0 R4EdE x40 R 0sindRx20 RdE习题 73 图q，如图，方向沿 x轴正向。2220 R7 4 如图线电荷密度为1的无限长均匀带电直线与另一长度为l、线电荷密度为 2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。解： 在21dq处产生的电场强度由高斯的带电线上任取一

4、dq，的带电线是无限长，它在定理容易得到为，E10 x21dqa两线间的相互作用力为0x2FdF12 dx1 2l dx20 x2a x0习题 74 图12 ln al , 如图，方向沿 x轴正向。20a7 5两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？解：设其中一个电荷的带电量是 q，另一个即为 Q q，若它们间的距离为 r，它们间的相互作用力为Fq(Qq)40 r 2相互作用力最大的条件为dFQ2q0dq40r 2.精品文档由上式可得： Q=2q ， q=Q/27 6 一半径为 R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。解： 将半球壳细割为诸多细

5、环带，其上带电量为dq2 rRd2 R2 sindydq在 o点产生的电场据（7 10）式为rydqdER cos43 ， y0 Ro3sin习题 76图EdE02 Rcos d040 R3sin220 sin d (sin)。 如图，方向沿 y轴负向。2 020204007 7设匀强电场的电场强度E 与半径为 R的半球面对称轴平行， 计算通过此半球面电场强度的通量。解： 如图，设作一圆平面S1盖住半球面 S2，成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0，即1ESS2EdSE dSE dS0SS1S2习题 77 图SEdSEdSE R21S1S27 8求半径为 R，带电量为 q的空心球面的电场强

6、度分布。解： 由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E 的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S1与 S2。对 S1与 S2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为E dSE4 r 20RrS01得E内0（ rR)外0rr4.精品文档7 9 如图所示，厚度为 d的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为，求板内外的电场分布。解 : 带电平板均匀带电，在厚度为 d/2的平分街面上电场强度为零，取坐标原点在此街面上，建立如图坐标。对底面积为 A ，高度分别为 xd/2的高斯曲面应用高斯

7、定理，有E dSEAAxS01得E1xi( xd )02dEd0xAE dSEA2S20习题 79图E2di( xd )2027 10 一半径为 R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为0 r (r R) ， 0为常数。求场强分布。解： 据高斯定理有EdSE2 rl1dVS0 VrR时： E2rlkrr ldr2lkr2drr 2r0000E2 rl2 lk r 3Ekr 2en033 0rR时： E2rlkRr ldr2lkR2drr 2r0000E2 rl2 lk R3EkR3en033 0 r7 11 带电为 q、半径为 R1的导体球， 其外同心地放一金属球壳， R3 。（ 1）球壳的电荷及电

8、势分布；（ 2）把外球接地后再绝缘，求外球壳的电荷及球壳内外电势分布；（ 3）再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。解： （ 1）静电平衡，球壳内表面带q，外表面带 q电荷。据（ 7 23）式的结论得： V1q( 111 )(r R1 ),40 R1R2R3or习题 710 图球壳内、 外半径为 R2、.精品文档V2q(111 )(R1r R2 );40 rR2R3V3q( R2 rR3 ),40 R3R1R2q-q q oV4q(rR3 ).R340rq( 11 )(r习题 711 图（2）U 14R1 ),0R1R2V2q(11 )(R1rR2 ); V30( R2 rR3 ), V4

9、0( rR3 ).40 rR2（3）再把内球接地，内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡，内球带q/，球壳内表面带 q/，外表面带 q/ q。V11qqqqR1),4(R2R3)( r0R1得： qR1 R2 qR1R3R1R2R2 R3V3qq( R1R2 )q(R2rR3 )40 R340 (R2 R3R1 R3R1R2 )7 12一均匀、半径为 R的带电球体中，存在一个球形空腔，空腔的半径r(2rR ），细线近端离球心的距离为L。设球和细线上的电荷分布固定，试求细线在电场中的电势能。解：在带电细线中任取一长度为dr的线元，其上所带的电荷元为dq= dr，据（ 7 23）式带电球面在电

10、荷元处产生的电势为VQ40 rQdrrQdro电荷元的电势能为 :dW40 r细线在带电球面的电场中的电势能为：习题 714 图WdW2 LQdrQln 2L40 r40*7 15半径为 R的均匀带电圆盘，带电量为Q。过盘心垂直于盘面的轴线上一点P到盘心的距离为 L 。试求 P点的电势并利用电场强度与电势的梯度关系求电场强度。解： P到盘心的距离为 L ， p点的电势为VPR2rdr04r 2L20.精品文档Rr 2L2( R22L2L)2 00 2 0p圆盘轴线上任意点的电势为R2rdroV ( x)xr 2x2040RQ习题 715 图r 2x22( R22x22 002x)0 R利用电场

11、强度与电势的梯度关系得：dVQxiE( x)dx i20R2 (1R22x2)P到盘心的距离为 L ， p点的电场强度为：E(L)Q2(1L)i20 RR22L27 16两个同心球面的半径分别为12,各自带有电荷12。求：（ 1）各区城电R和 RQ 和 Q势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？解： （ 1）据（ 7 23）式的结论得各区城电势分布为V11(Q1Q2 )( r R1 ),40R1R2V21(Q11( R1rR2 );Q2R1R2)4rR2Q10oQ1Q2(rR2 ).习题 716 图V340r（ 2）两球面间的电势差为V12R2Q12 drQ1 (11 )R140

12、 r40R1R27 17一半径为 R的无限长带电圆柱，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为，若取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。解： 据高斯定理有rR 时：orr 2lE dS E2 rlEr enS02 0r R 时， V=0 ，则r R 时： VR(R 2r 2 )rdr习题 710 图20r40.精品文档r R 时：22VE dS E 2 rlR lER enS020 rR2R drR2lnRRVr r2 0rr2 0o空间电势分布并画出电势分布曲线大致如图。7 18 两根很长的同轴圆柱面半径分别为R 、 R ，带有等量异号的电荷，两者的电势12差为 U ，求：（ 1）圆

13、柱面单位长度带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度。解： 设圆柱面单位长度带电量为，则两圆柱面之间的电场强度大小为E20 r两圆柱面之间的电势差为Udr2 0R2dr2 0ln R2or2 0rR1rR1由上式可得：U20ln R2 R1习题 718 图所以 EenUen(R1r R2 )2 0 rln R2 R1r7 19在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109V ，被迁移的电荷约为30库仑，如果释放出来的能量都用来使00C的冰熔化成 00C的水，则可融化多少冰 ?（冰的熔解热为 3.34 105J kg-1 )解： 两个放电点间的电势差约为109V ，被迁移的电荷约为30 库

14、仑，其电势能为Wp30109 J上式释放出来的能量可融化冰的质量为：m3010 943.341058.98 10 kg7 20 在玻尔的氢原子模型中， 电子沿半径为 a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动。（ 1）若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功?（ 2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为多少？解： 电子沿半径为 a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动，其电势能为W pee40a（1）把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功为：W外Wpe240a.精品文档（2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为：WWpEkWp1 mv224e2m v2mv 2e20a 2a40aEk1 mv28e220a电子的总能量为

15、：WWp1mv 2e2e28e2240a8 0a0 a第八章静电场中的导体与电介质8 1点电荷 +q 处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为Rl 和 R2 ，试求，电场强度和电势的分布。解：静电平衡时，球壳的内球面带 q、外球壳带 q 电荷在 rR1 的区域内E1q?，U 1q(111)40 r 2r4 0r R1R2在 R1rR的区域内 :E3q2r?. U 3q.240r40 r8 2把一厚度为 d 的无限大金属板置于电场强度为E 0 的匀强电场中， E0 与板面垂直，试求金属板两表面的电荷面密度。解：静电平衡时，金属板内的电场为0，金属板表面上电荷面密度与紧邻处的电场成正比E12E00所

16、以有10E0 ,20 E0.习题82图8 3一无限长圆柱形导体，半径为a，单位长度带有电荷量 1，其外有一共轴的无限长导体圆简，内外半径分别为b 和 c，单位长度带有电荷量2，求（ 1）圆筒内外表面上每单位长度的电荷量；（ 2）求电场强度的分布。解：（ 1）由静电平衡条件，圆筒内外表面上每单位长度的电荷量为,12 ;（ 2）在 ra的区域内 :E=0.习题83 图精品文档在 ab 的区域内 : E12 en20 r8 4三个平行金属板 A 、B 和 C，面积都是 200cm2，A、 B 相距 4.0mm，A 、C 相距2.0mm ，B、 C 两板都接地，如图所示。如果A 板带正电 3.010

17、7C，略去边缘效应（1）求 B 板和 C 板上感应电荷各为多少?（ 2）以地为电势零点，求A 板的电势。解：（ 1）设 A 板两侧的电荷为q1、 q2，由电荷守恒BA C原理和静电平衡条件，有q1q2 qA （ 1）d1d2qBq1 ， qCq2 （ 2）依题意 V AB =V AC,即习题84 图q1 d1 q2 d2q2d1q1 2q1 代入（ 1）0 S0 Sd 2（2）式得q1 1.0 10-7C， q2 2.0 10-7 C， qB 1.010-7 C， qC=-q2 2.0 10-7C，（2）UAq1 d1 q2 d2 =2 1072 1032.3 103V0 S0 S20010

18、48.85 10 128 5半径为 R1 =l.0cm 的导体球带电量为q=1.0 10 10 C ，球外有一个内外半径分别为 R2=3.0cm 和 R3=4.0cm 的同心导体球壳，壳带有电量1）Q=11 10 10 C，如图所示，求（两球的电势；（ 2）用导线将两球连接起来时两球的电势；（ 3）外球接地时，两球电势各为多少？（以地为电势零点）解：静电平衡时，球壳的内球面带q、外球壳带 q+Q电荷（1）U11( qqqQ ) 代入数据40R1R2R3U 13.141.010 1012102 (11 111)48.85101343.3 102Vq+QqqQ1.010 10(1 11)-qU 2

19、0 R243.148.8510 1210 244习题85 图=2.7 102V（2）用导线将两球连接起来时两球的电势为U 2qQ1.0 10 1010 2(1 11) =2.7102 V40 R24 3.14 8.85 10 124.精品文档（3）外球接地时，两球电势各为U 11( qq ) U 11.0 10 1012102 (11) 60V40R1 R24 3.14 8.85 1013U 2 08 6 证明 : 两平行放置的无限大带电的平行平面金属板A 和 B 相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反， 相背的两面上电荷面密度大小等，符号相同。如果两金属板的面积2 8C和QB 8同为 10

20、0cm ，带电量分别为QA =610=4 10C，略去边缘效应，求两个板的四个表面上的电面密度。证：设 A 板带电量为 QA 、两侧的电荷为 q1、 q2，ABB 板板带电量为QB 、两侧的电荷为 q3、 q4 。由电荷守恒有qq2q3 q4q1q2QA （1）1q3q4QB （2）在 A 板与 B 板内部取两场点，金属板内部的电场为零有习题86 图q1q2q3q40，得2S 02S 02S 02S 0q1 q2q3q40 （3）q1q2q3q40 ，得 q1q2 q3q40 （4）2S 02S 02S 02S 0联立上面4 个方程得： q1q4QAQB , q2q3QA QB22即相向的两面

21、上电荷面密度大小相等，符号相反， 相背的两面上电荷面密度大小等，符号相同，本题得证。如果两金属板的面积同为100cm2，带电量分别为 QA8B8=610C 和 Q =410C，则14( 64)108 62210010 45.0 10 C/m ,232(64)10 81.0 10-6C/m210010 48 7半径为 R 的金属球离地面很远， 并用细导线与地相联， 在与球心相距离为D=3R处有一点电荷 +q，试求金属球上的感应电荷。解：设金属球上的感应电荷为Q，金属球接地电势为零，即qQqD=3RR Q040 R40 DQRqq习题87 图D38 8一平行板电容器，两极板为相同的矩形，宽为a，长

22、为 b，间距为 d，今将一厚.精品文档度为 t、宽度为 a 的金属板平行地向电容器内插入，略去边缘效应，求插入金属板后的电容量与金属板插入深度 x 的关系。解：设如图左边电容为C1，右边电容为 C2dtC10 a(bx)xdb0 axC2习题88 图d tx 的关系，为左右电容并联，总电容即金属板后的电容量与金属板插入深度C C1C20a(bx)0axddt0 a=tx)(bddt8 9 收音机里的可变电容器如图（a）所示，其中共有n 块金属片，相邻两片的距离均为 d，奇数片联在一起固定不动（叫定片）偶数片联在起而可一同转动（叫动片）每片的形状如图（ b）所示。求当动片转到使两组片重叠部分的角

23、度为时，电容器的电容。解：当动片转到使两组片重叠部分的角度为 时，电容器的电容的有效面积为(r22r12 )(r22r12 )S1803602此结构相当有n-1 的电容并联，总电容为(n1)0S(n 1)0 (r22r12 )(a)(b)Cd360d习题89 图8 10半径都为 a 的两根平行长直导线相距为d（ da），（1）设两直导线每单位长度上分别带电十和一 求两直导线的电势差； （ 2）求此导线组每单位长度的电容。解：（ 1）两直导线的电电场强度大小为E22 0r两直导线之间的电势差为drd aVa0 r0ordrln dar0a（ 2）求此导线组每单位长度的电容为C=0习题810图d

24、aVlna8 11 如图， C1=10F，C2=5F，C3=5 F，求（ 1）AB 间的电容；（2）在 AB 间加上100V 电压时，求每个电容器上的电荷量和电压；（ 3）如果 C1 被击穿，问C3 上的电荷量和电压各是多少？解：（ 1）AB 间的电容为C3 (C1C2 )5 15CC2C3=3.75 F；C120.精品文档（ 2）在 AB 间加上 100V 电压时，电路中的总电量就是C3 电容器上的电荷量，为qq3 CV3.7310 61003.73 10 4 CV1V2q3.7310 425VA6CC2C1C215101V31002575VC3q1C1V11010 6252.510 4CB习题811 图q2C2V2510 6251.2510 4C（ 3）如果 C1 被击穿， C2 短路， AB 间的 100V 电压全加在 C3 上，即 V 3=100V ，C3上的电荷量为q3C3V35 1061005.010 4C8 12 平行板电容器，两极间距离为l.5cm ，外加电压39kV ，若空气的击穿场强为30kV/cm ，问此时电容器是否会被击穿？现将一厚度为0.3cm 的玻璃插入电容器中与两板平行，若玻璃的相对介电常数为7，击穿场强为 100k