2.初中数学竞赛试题及试题参考答案

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1、初中数学竞赛试题及试题参考答案一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分以下每小题均给出了代号为 A , B , C , D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填均得零分）1、如图，有一块矩形纸片, , 将纸片折叠，使得边落在边折痕为，再将沿向右翻折，与的交点为，则的面积为（ ）。( A ) 2 ( B ) 4 ( C ) 6 ( D ) 8答：。解：由折叠过程知，所以是等腰直角三角形，且，所以，。 故选 。2、若 (, 是实数），则的值一定是 ( ) 。( A ）正数 （ B ）负数 （ C ）零 （ D ）整数答： 。解：

2、因为, 且 ， 这三个数不能同时为，所以 。 故选 。 3、已知点是锐角三角形的内心，分别是点关于边，的对称点若点在 的外接圆上，则 等于（ ）。 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 答：。解：因为（为的内切圆半径），所以点同时是的外接圆的圆心。设与的交点为，则 ，所以。同理，。于是，。 故选 。4、设，则与最接近的正整数是 ( ) ( A ) 18 ( B ) 20 ( C ) 24 （D）25答： D 解：对于正整数，有，所以， 因为，所以，与最接近的正整数为。故选 。5、设， 是正整数，且满足，则等于（ ) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 答：。解：由题设得：

3、 所以 因此。当时，由，得，这样的正整数不存在。当时，由，得，所以=28。所以，。故选B。二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6、在一个圆形时钟的表面，表示秒针， OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）。若现在时间恰好是12点整，则经过_秒钟后， OAB 的面积第一次达到最大。 答： 解：设OA边上的高为，则，所以 ，当时，等号成立。此时的面积最大。设经过秒时，与第一次垂直。又因为秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋转0.1度，于是，解得。7、在直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，若A，B两点到原点的距离分别为，且满足，则的值等于_。答：2解：设方程的两根分别为则有 所以由，可知又所

4、以，抛物线的对称轴在轴的左侧，于是所以故解得。8、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按 A , 2 , 3 ， ，J , Q , K 的顺序排列，某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层， 如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是_答：第二副牌中的方块6解：根据题意，如果扑克牌的张数为 2，2，2， ，2，那么依照上述操作方法，只剩下的一张牌就是这些牌的最后一张例如，手中只有64张牌，依照上述操作方法，最后只剩下第64张

5、牌现在，手中有108张牌，多出（张），如果依照上述操作方法，先丢掉44 张牌，那么此时手中恰有64张牌，而原来顺序的第88张牌恰好放在手中牌的最底层。这样，再继续进行丢、留的操作，最后剩下的就是原顺序的第88张牌按照两副扑克牌的花色排列顺序，所剩的最后一张牌是第二副牌中的方块6。9、已知 D , E 分别是 ABC 的边BC , CA 上的点，且 BD = 4，DC = l，AE = 5，EC = 2连结AD和BE ，它们相交于点P过点P分别作PQCA，PRCB，为它们分别与边AB交于点Q ，R ，则 PQR的面积与ABC的面积之比为_。答：解：过点E作EFAD，且交边BC于点F，则所以。因为

6、PQCA，所以， 于是。因为PQCA，PRCB，所以，因此PQRCAB，故。10、已知都是正整数，且=58，若的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于_答：494解：因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故的最小值和最大值是存在的。不妨设若，则，且+。所以，当时，可以把逐步调整到1，这时将增大；同样地，可以把逐步调整到1，这时将增大。于是，当均为1，时，取得最大值，即。若存在两个数使得则，这说明在中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1，这时，将减小。所以，当取到最小时，中任意两个数的差都不大于1。于是当，时，取得最小值，即。故A+B=494。三、解答题（共4题，

7、每小题15分，满分60分）11、8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）。其中一辆小汽车在距离火车站15km的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60 km/h，人步行的平均速度是5 km/h。试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。解：【方案一】当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，立即返回接步行的4个人到火车站。设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为 km，根据题意，有，解得.因此这8个人全部到

8、火车站所需时间为。故此方案可行。 10分【方案二】当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人先下车步行，另一辆车将车内的4个人送到某地方后，让他们下车步行，再立即返回接出故障汽车而步行的另外4个人，使得两批人员最后同时到达车站。分析此方案可知，两批人员步行的距离相同，如图所示，为无故障汽车人员下车地点，为有故障汽车人员再次上车地点。因此，设，根据题意，有，解得 。因此这8个人同时到火车站所需时间为故此方案可行。 15分12、某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8列的长方形队列。如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列。问原长方形队列有同学多少人.解：设原长方形队列有同学人，由已知条件知

9、和均为完全平方数。于是可设其中均为正整数，且。 5分，得，即.由、可知，都是8的倍数，所以均能被4整除。于是 ，均能被4整除。所以解得 10分所以，。故原长方形队列有同学136人或904人。 15分13、已知关于的一元二次方程的两个根均为整数，求所有满足条件的实数的值。解：原方程可化为，因为此方程是关于的一元二次方程，所以.于是 5分从上面两式中消去，得，于是 因为均为整数，所以 10分 故显然，又将分别代入上式得 15分14、如图,分别以 (为锐角三角形)的边为斜边向外作等腰三角形。求证：（1）；(2)。证明：（1）延长至点，使，连结。因为是等腰直角三角形，所以 ，。又因为，所以。在等腰直角

10、三角形中，。所以 .因为 , ,所以.于是,即. 5分同理,在和中,有所以 .,即. 所以,. 10分 (2)因为,所以.又由,得,于是 .所以，。15、如图，半径不等的两圆相交于A、B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C、D两点。联结BC、BD，设P、Q、K分别是BC、BD、CD的中点，M、N分别是、的中点。求证：（1）；（2）证明：（1）如图： 因为M是的中点，P是BC的中点，所以，。联结AB，则有。所以，RtRt。于是有 （2）因为KPBD，且KP=BD=BQ，所以，四边形PBQK是平行四边形。于是，有BP=KQ，BQ=KP。由式，得。又，所以，。16、已知p、q都是质数，且使得关于

11、x的一元二次方程至少有一个正整数根。求所有的质数对（p，q）。解：由方程两个根的和为8p-10q可知，若方程有一个根为整数，则另一个根也是整数。由方程两个根的积为5pq，知方程的另一个根也是正整数。 设方程的两个正整数根分别为、（）。由根与系数的关系，得 +=8p-10q， =5pq 由式，得、有如下几种可能的情况：将+=1+5pq，5+pq，p+5q，q+5p分别代入式。当时，=，而10p，故此时无解。当时，5+pq=，则有。因为p、q都是质数，只可能所以，（p，q）=（7，3）。当时，所以7p=15q不可能。当时，所以3p=11q，于是，有（p，q）=（11，3）。综上所述，满足条件的质数

12、对（p，q）=（7，3）或（11，3）。 17、从1，2，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意3个数a、b、c（abc）,都有abc. 解: 首先,1,14,15,205这193个数,满足题设条件. 事实上,设a、b、c（abc）这3个数取自1,14,15,205. 若a=1,则; 若,则.另一方面,考虑如下12个数组:.上述这36个数互不相等,且其中最小的数为2,最大的数为=182205.所以,每一个数组中的3个数不能全部都取出来.于是,如果取出来的数满足题设条件,那么,取出来的数的个数不超过205-12=193(个).综上所述,从1,2,205中,最多能取出193个数,满足题设条件. 18、如图，是锐角三角形，以BC为直径作，AD是切线。从AB上一点E作AB的垂线交AC的延长线于点F。若，求证：AD=AE。 证明：如图，设交AB于点G，联结CG。因为BC为的直径，所以。又 则CGEF，有，即。因为AD是的切线，所以，。由已知，得，得，即AD=AE。