高中数学第三章三角恒等变换3.2.3两角和与差的正切公式的应用素材北师大版必修4通用

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1、两角和与差的正切公式的应用两角和正切公式为tan()(， + k)，它是解决正切函数问题的基本公式，应用非常广泛，下面举例说明一、正用指正向运用公式，用于求正切的两角和或可转化为求两角和问题例1不查表求tan75,tan15的值.解：tan75= tan(45+30)=2+.tan15= tan(45-30)=2-.例2若tan(+)=，tan(-)=,求tan(+)的值。分析：注意已知角与所求角的关系，则可发现(+)+(-)=+，所以可将+化为（+）-(-),从而求得tan(+)的值.解：tan(+)=tan（+）-(-)=.例3已知A、B都为锐角，证明：A+B=的充要条件是(1+tanA)

2、(1+tanB)=2。证明：先证充分性由(1+tanA)(1+tanB)=2，即1+ tanB + tanA + tanAtanB =2，得tanB + tanA =1- tanAtanB，tan(A+B)=1.又由A、B都为锐角，得0A+B,A+B=.再证必要性由A+B=，得tan(A+B)=1，即=1，tanB + tanA =1- tanAtanB，即1+ tanB + tanA + tanAtanB =2，整理，得(1+tanA)(1+tanB)=2。点评：读者可用类似的方法证明以下命题：（1）若+=，则(1-tan)(1-tan)=2;(2)若+=，则(1+tan)(1+tan)=2

3、;(3)若+=，则(1-tan)(1-tan)=2.说明：利用本例结论很容易求出(1+tan1)(1+tan2)(1+tan3) (1+tan44)(1+tan45)的值，请同学们一试(答案：2).二、逆用逆用公式是指从右往左用公式，即单角往复角转化往往伴随着常数三角化的运用，如1= tg45等，特别是解决“”型问题例4求下列各式的值(1);(2) .解：(1)原式=tan(11+48)=tan60=。(2) 原式=tan(60-15)=tan45=1. 例5化简下列各式：（1）；(2) .解：(1)原式= tan(-)+=tan.(2) 原式=tan(52.5-7.5) an(52.5+7.

4、5)=tan45tan60=.三、变形应用公式tan()=的变形公式有以下两种：（1）tantan= tan()(1 tantan) （2）1 tantan=.例6求下列各式的值(1)tan11(1+ tan34)+tan34;(2)tan70+tan50- tan70tan50.(3)tan29tan43+ tan29tan18+tan18tan43.解：（1）原式= tan11+ tan11tan34+ tan34=( tan11+ tan34)+ tan11tan34= tan(11+34)(1- tan11tan34)+ tan11tan34=tan45(1- tan11tan34)+

5、 tan11tan34 =1- tan11tan34+ tan11tan34=1.(2) 原式= tan(70+50)(1-tan70tan50)-tan70tan50= tan120(1-tan70tan50)-tan70tan50=-(1-tan70tan50)-tan70tan50=-+tan70tan50-tan70tan50=-.(3) 原式= tan29tan43+ tan18(tan29+tan43)=tan29tan43+ tan18tan(29+43) (1- tan29tan43)=tan29tan43+ tan18tan72(1- tan29tan43)= tan29ta

6、n43+ tan18cot18(1- tan29tan43)= tan29tan43+1- tan29tan43=1.例7已知A+B+C=k(kZ)，求证：tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC.证明：由A+B+C=k，得A+B= k-C (kZ)，tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1- tanAtanB) +tanC= tan(k-C)(1- tanAtanB) +tanC= -tanC(1- tanAtanB) +tanC= tanAtanBtanC.说明：1.当n=2k(kZ)时，tan(n-)= tan(2k-)=-tan;当n=2k+1(kZ)时, t

7、an(n-)= tan(2k+-+)= tan(+)=-tan;综上可知，当nZ时，有tan(n-)=-tan，同理可得当nZ时，有tan(n+)=tan。2.当一个三角函数式中既含有tantan，又含有tantan时，就可用公式tan()=的变形公式进行化简。 四、活用在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可活用两角和的代换，就能使比较隐蔽关系显现出来，从而实现难题巧解例8已知非零实数a，b满足tan，求的值分析由，联想到两角和的正切公式，便有以下解法解：由题设，得tan，令tan，则tan，即tantan故练习1、已知tan，tan2，090，90180，求的值2、计算的值 计算的值3、的值是 4、化简 参考答案1、分析解此类题的一般步骤是：求出的某一三角函数值；确定所在范围由于已知条件给出是正切，故可优先考虑用正切的和角公式解：由tan，tan2，得tan()1，又090，90180， 90270而在90与270之间只有135的正切值等于1， 1352、解：逆用公式，得tan(537)tan601tan45， tan(4575)tan1203、解tan(2040)(1tan20tan40) tan20tan404、分析：因为，所以由变形公式（5）可得=2，即可化简本题.解：由变形公式（5），得原式=.