海伦公式的妙用(共4页)

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海伦公式的妙用 舒云水 本文谈妙用海伦公式解决一类椭圆问题如图1，椭圆的左、右焦点分别是，过椭圆上不与顶点重合的任一点作通过的弦，连接，易知，的周长相等，周长为定值 图1 根据海伦公式（其中，为三角形三边的长度，其中）可得：又，所以有： （1）利用（1）式，我们可以简便地解决一些涉及“”的椭圆问题，下面列举两例例1 设椭圆的两个焦点分别是、，过的直线与与交于点、若，则椭圆的短轴与长轴的比值为 图2 解：如图2，连接不妨设，记椭圆的长轴、短轴的长度分别为、，焦距为，则易知，的半周长根据上面（1）式得化简得：平方化简求得：进而易得，因此椭圆的短轴与长轴的比值为.例2 已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与C相交于A、B两点，若，则A 1 B C D 2 图3 解：如图3，记椭圆的左焦点为，不妨设，则， ，的半周长 根据上面（1）式得整理得计算、平方得：化简求得：的三边长度分别为：，根据余弦定理得，因为等于直线的倾斜角，所以故选B