同角三角函数基本关系式的活用

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1、同角三角函数基本关系式的活用同角三角函数的基本关系式高中阶段主要有（平方关系），（商数关系）这两种。利用它们可以求值、化简和证明，要求学生牢固掌握，并能运用每个关系式及变形式灵活解题，下面介绍利用同角三角函数的基本关系式解题几种方法。一、 知一求二、勿忘象限例1 已知任意角，求，分析 已知任意角的余弦，通过它的符号可以判断角的终边所在的象限，根据角的终边所在象限的函数值符号分类讨论、求值解：因为，且，所以是第二象限的角或第三象限的角（1） 如果是第二象限的角，由可以得到 ，（2） 如果是第三象限的角，由可以得到，评注 对角所在的象限不确定时，先确定角所在的象限，再分类讨论求值。若题中加上条件“

2、为第二象限的角时”则不须讨论，答案只有第一种情况。如果已知（ ）也可求、（、），所谓“知一求二”。二、 妙用平方关系例2 已知是三角形内角，求的值分析 由于，因此已知，中的一个，可求出另外两个。解：由 两边平方得 即. 由得 由、得，所以评注 学生首先想到联立方程组，求出和，再代入求值。可想而知，在解方程组时，会碰到解一元二次方程，而且会出现两种情况，需要检验，这样就显得麻烦。例3 化简 （）解：原式= =+ 原式=评注 此题化简带根号的式子，必须出现平方关系大家应该牢记，里面的角可以变化，所以要灵活运用。三、 巧用弦切互化例4 设，求以下各式的值：（1）; (2) ；（3）分析 本题可以通过同角基本关系式，将弦化为切，可以很快解出此题。解：（1），得，原式分子分母同除以， 原式=（2）原式=由（1）知，原式分子分母同除以，得原式=（3）原式=同（2），原式分子分母同除以，得原式=评注 此题巧用同角基本关系式将弦化成切，其中也利用了平方关系，可谓“1”的妙用，直接突破了难点，本题若解出和，则需要讨论和检验，思路很简单，但过程复杂，利用同角基本关系式解题，要注意灵活变形，如弦可以化切，同样切也可以化弦，在化简、证明中也会用到。例5 已知，求证：证明： 评注 利用同角关系证明恒等式要遵循由繁到简的原则，可以左右互推。此题用到切化弦，余弦化正弦，所以要灵活运用公式。