量子力学试卷

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1、模拟试卷一一、名词解释（本题40分，每小题5分）1. 波粒二象性2、测不准原理3、定态波函数4、算符5、隧道效应6、宇称7、Pauli不相容原理8、全同性原理二、问答题（本题28分，每小题7分）1、波函数有哪些性质？2、变分法求能量的步骤有哪几步？3、对称波函数和反对称波函数有何区别，举例说明。4、以两个相同粒子（a,b）分配给3种状态为例，说明三种统计方法的不同。三、计算题（本题32分，每小题8分）1、试将笛卡尔坐标转化为球极坐标，写出推导过程。2、一粒子在一维势场8, X 0U （x） = 0, 0 x a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。3、试根据热力学公式推导出麦氏关系。4、根据公式

2、P - 气v 证明，对于非相对论粒子：is -已-（2）2（n 2 + n 2 + n 2） , n ,n ,n =0，1，2，有P - -77 2m 2m L x y L x y z3 V上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。答案：一、名词解释（本题40分，每小题5分）1.波粒二象性：一切微观粒子均具有波粒二象性（2分），满足E - hv （1分），P - - （1力分），其中E为能量，v为频率，P为动量，人为波长（1分）。2、测不准原理：微观粒子的波粒二象性决定了粒子的位置与动量不能同时准确测量（2分）， 其可表达为：AxAP 方/2，AyAP 力/2，AzAP 方/2 （2分

3、），式中力（或h） 是决定何时使用量子力学处理问题的判据（1分）:3、定态波函数：在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符不是时间的函数（2分），此时， 波函数W （亍,t）可写成f函数和t函数的乘积，称为定态波函数（3分）。4、算符使问题从一种状态变化为另一种状态的手段称为操作符或算符（2分），操作 符可为走步、过程、规则、数学算子、运算符号或逻辑符号等（1分），简言之， 算符是各种数学运算的集合（2分）。5、隧道效应在势垒一边平动的粒子，当动能小于势垒高度时，按经典力学，粒子是不可 能穿过势垒的。对于微观粒子，量子力学却证明它仍有一定的概率穿过势垒（3 分），实际也正是如此（1分），这种现

4、象称为隧道效应（1分）。6、宇称宇称是描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性量子数，它只有两个值+1 和一1 （1分）。如果描述某一粒子的波函数在空间反演变换（rfr）下改变符 号，该粒子具有奇宇称（P= 1 ） （1分），如果波函数在空间反演下保持不变， 该粒子具有偶宇称（P= + 1） （1分），简言之，波函数的奇偶性即宇称（2分）。7、Pauli不相容原理自旋为半整数的粒子（费米子）所遵从的一条原理，简称泡利原理（1分）。 它可表述为全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于相同的 单粒子态（1分）。泡利原理又可表述为原子内不可能有两个或两个以上的电子 具有完全相同的4个量子数n

5、、1、ml、ms,该原理指出在原子中不能容纳运动 状态完全相同的电子，即一个原子中不可能有电子层、电子亚层、电子云伸展方 向和自旋方向完全相同的两个电子（3分）。8、全同性原理：全同粒子的不可区分性（1分）使得其组成的体系中，两全同粒子相互代换 不引起物理状态的改变（4分）。二、问答题（本题28分，每小题7分）1、波函数有哪些性质？答：波函数有以下性质：（1）波函数W表示粒子运动的某一状态，与该状态对应的能量为E （1分）;（2）k |2代表几率密度，且j dv = 1（1分）；S（3）波函数的标准条件为：单值、连续、有限（3分）；（4）服从态的迭加原理（1分）；2、变分法求能量的步骤有哪几步

6、？ 答：（1）（5）本征波函数具有正交性（1分）。选取试探波函数k =k（入,人,.），人,人,.为变分参数（1分）；1212(2)(3)j k *Hkdv人利用E = 扁部-E0求出H的平均值，E = E（X1,气,.）（2分）;对E求参数人，人，的偏导，并令为0,联立求解参数人，人，即可求1212得E取最小值时的变分参数气,气,（2分）;（4）设中&，一为一组近似波函数，取k =人中+人中+.代入 12112 1j k *HkdvE = j ：d Z E0即可求出E,弓,.，其中最小的即为基态能量E0的上限（近似E。值）（2分）。3、对称波函数和反对称波函数有何区别，举例说明。根据全同粒子

7、定义和全同性原理（1分），对于波函数k （q ,.,q ,.,q ,.q ），1 i k n对调任意两个坐标后有：k （q ,.,q ,.,q ,.q）|2 =k （q ,.,q ,.,q ,.q）|21 i k n1 k i n,、, k （q ,.,q ,.,q ,.q ）=k （q ,.,q，,q ,.q）因此， 1 i k n 气ki n ，分别称为对称波函数和反对k （q ,.,q ,.,q ,.q ） = -k （q ,.,q ,.,q ,.q ）1 i k n1 k i n称波函数（2分）。自旋动量矩为整数的波色子，如光子，兀介子和氮原子等可用 对称波函数描述（2分），而自旋动量

8、矩为半整数的费米子，如电子，质子和中 子等可用反对称波函数描述（2分）。4、以两个相同粒子（a,b）分配给3种状态为例，说明三种统计方法的不同。答：玻尔兹曼系统：粒子可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子数不限（1分）;费米系统：粒子不可分辨，每个个体量子态最多能容纳一个粒子（1分）；波色系统：粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子数不限（1分）。个体量子态微观状态数No.123M-BF-DB-A1ab/1/12/ab/1/13/ab1/14ab/1115ba/16a/b1117b/a18/ab1119/ba1微观状态总数936（4分）三、计算题（本题32分，每小题8分）1、试将笛卡尔坐标转化为

9、球极坐标，写出推导过程。解：假定平面上一点可以用二维极坐标（R,中）来标记，则它们与直角坐标的关系,、 I x = Rcos甲 （1 分）：（I y = Rsin中R = ：X2+ y2y tan 中=x于是可得到:（1分）8R x8Ry.。甲sin 甲。甲 cos 甲=cos,=sin,=,=dx Rdy RdxR dyR根据复合函数求导公式，如果设w=wG,y），则（1分）W8W8RW8WWsin=+=cos 8x8R8x88x8R8R8w8w8R8w88w.8wcos=+= sin +8y8R8y88y8R 8 R进行二次求导，可得(2分)：82寸 d,8w、8R8,叩、淅3,叩Wsin

10、3R= ( ) + ()= ( cos甲 ) 8x 28R 8x8x88x 8x8R8R8R8x8 /8w8wsin、8d2W82Wsin8wsin、+ (cos )=(cos +)cos8 8R8 R8x8R28R8R8R2, 82W8w .82W sin8w cos、，sin、+ (cos -sin )( )=88R8R8 2 R 8 R R8 2W8 2W sincos8w sincos 8w sin 2 8 2W sin 2cos2 - 2+ 2+ 8R28R8R8 R28R R 8 2 R282W 8z8w8R8z8w88,8w8wcos、8R() + ()=(sin +) 8y28

11、R 8y8y88y8y8R8R 8 R 8y8,8w.8wcos、8,82.82Wcos8wcos、.+ ( sin +)=(sin +)sin88R8R8y8R28R8R8R2, 82寸 .8w82W cos8w sin、cos、+ (sin +cos +)()=88R8R8 2 R 8 R R,8 2寸.8 2Wsincos8wsincos、,8 2Wsincos8wcos2(sin 2 +) + (+8R28R8 R8R288RR 8RR+ 82寸 cos2 8w sincos)8 2R28R28 2寸.2 + 28 2寸sincos2 8wsincos+8 2cos 2+8vcos 2

12、8R28R8R8R28 2 R28RR8 2寸8 2寸_ 8 2寸8 2寸 18v18x28y28R282R28RR将上述变换再在MON平面内重复进行一次，一个空间极坐标变化可分解为二个平 面极坐标变换之综合，即（1分）x = rsinOcos y = rsinOsin n z = rcos0x = RcosR = rsinO y = Rsin 和 z = rcos。z=z=因此，第二次变换中的z,R, 9 ,r就分别和第一次变换中的x,y,R相当，故由（3）式即得（1分）:d 2叩* d 2叩_ d 2叩* d 2叩1十世1dz28R2 dr2502r2 drr(4)由（2）即得（1分）:(

13、5)dw dwdv cos0_ sin0 + dR drd0 r将（4）、（5）式代入（3）式，对w=V（x,y,z）有：（1 分）d 2w d 2w _ d 2w d 2w 1 dw 1 aXT K _ aRT 亦 R2 sr r_( d 2w* d 2w1* dw1d 2wdr2 d0 2r2 drrdz2、d2w1,dwdwcos0、1)* * (!- sin0 +) 一d中2R2 drd0 rRd 2wd 2wd 2w_ d 2wd 2w1dw1dx2dy2dz2 dR2d里2R2dRRd 2wd 2w1dw1、d 2w1,dwdwcos0、1=(一* * 二-)* * ( sin0

14、+)-dr2d0 2r2drrd中2r2sln20drd0rrsln0_ (d 2w * dw 1 * dw 1) * (d 2w 1 * dw cos0 ) * d 2w1dr2dr rdr rd0 2 r2d0 r2sln0d中2 r2sln20_ (d2w* dw2)* (d2w1 * dwcos0) * d2w 1dr2 drr d0 2r2 d0r2sln0 d中2r2sln20=1丝(r2丝)+ 二也0也)* 宜 r2 drdrr2sln0 d0d0r2sln20 d中2所以，V 2 d 2 + d 2 * d 2dx2dy2 dz2=-1 邑（r21） *（sm0）*工兽r2 d

15、rdrr2sln0 d0d0sin20 d中22、一粒子在一维势场（-.r8, X 0U （ x） = o, 0 x a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：U（x）与I无关，是定态问题。其定态S方程（2分）2 d 2w ( x) * U (x)w ( x) = Ew ( x) 2m dx 2在各区域的具体形式为（1分）力2 d 2I: X 0- 2 d w 1(x) + U (x)w 1(x)=珈 1(x).-力 2 d 2II: 0 x a - &-云W (x) = Ew (x)根据波函数的标准条件确定系数A, B,由连续性条件，得(2分)W 2(0) =w 1(0)w 2( a) =w

16、 3( a) n B = 0n A sin ka = 0A 丰 0sin ka = 0n ka = n兀(n = 1,2,3,)n兀.W (x) = A sin x由归一化条件(2分)W (x)|2 dx = 18f aA 2 J sin2xdx = 1 a由 ja sin Ex * sin 竺 xdx = 4b a a 2 mn2n A =:n冗xa a，、 寻.w2(x) = ：a sm2mE k 2 = 方2n E = ?攵生n2（n = 1,2,3,.）可见E是量子化的。（1分）对应于E的归一化的定态波函数为12 .皿-iE t .1 sin xe 力 n w(x，t) = ji a

17、a0,x a3、试根据热力学公式推导出麦氏关系。解：对一个体系而言，有热力学公式：（2分）U = Q-W, H = U + PV, F = U-TS, G = H-TS对上式进行微分可得：（2分）dU = 5Q-5W = TdS - PdV(1)dH = dU + PdV + VdP(2)dF = dU- TdS - SdT(3)dG = dH - TdS - SdT(4)将(1)式代入(2)、(3)和(4)式中，得：(2分)dH = TdS + VdP(5)dF = -PdV - SdT(6)dG = VdP - SdT(7)根据状态函数的性质，对（1）、（5）、（6）和（7）有麦氏关系：（

18、2分）(8)(10)(11)ST 3P()=-() 8v s vas v st avMRP(生)=(当st v av t-(竺st p ap t4、根据公式尸- a 证明，对于非相对论粒子：1 ov i2 u5 = ()2(n 2+ 2+ 2),/二0, 1, 2,，有 P=方守2m 2m L x y -% y z3 V上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。解：尸=一缶二-Z 。i dV1 2+nX2m2.v土地 2(2m Li其中=Zj. ；(2 分)须 6n p 桓 a i 6 Vi1 （2兀力）2（2分）（对同 一一 l, n 2 + n 2 + n 2） （2 分）12m（

19、2兀h）2 （n 2 + n 252+ n 2） V-3 （ 3）二乙ii12m（2兀h）2（n 2 + n 2 + n 2）L2 252V 3 V 3（）二3x y zIV （2 分） 一、回答下列问题（每题5分，共30分）1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？ 2什么是束缚态？什么是定态？ 3试述电子具有自旋的实验证据。4写出量子力学五个基本假设中的任意三个。5表示力学量的厄米算符有哪些特性？6 一维空间两粒子体系的归一化波函数为）,（21xx ,写出下列概率：发现粒子1的位置介于x和dxx 之间（不对粒子2进行观测）1黑体辐射，光电效应，迈克尔逊-莫雷实验，原

20、子的光谱线系，固体的低温比热等2当粒 子被势场约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的态叫束缚态。定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。若势场恒定，0tV，则体系处于定态。3电子具有自旋的实验证据：1）斯特恩-盖拉赫实验2）光谱精细结构3）反常塞曼效应4五个基本假定：1）微观体系的状态被一个波函数完全描述。2）力学量用算符表示。3）将体系的状态波函数用力学量算符的本征函数展开，则在该态上测量该力学量的结果是力学量算符的一个 本征值，测量概率是相应本征函数前展开系数的模方。4）体系的状态波函数满足薛定谔方程。5）在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。5厄米算符具有 如下特性：1）厄米算符的本征值为实数2）厄米算符在任何态中的平均值均为实数3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交4）描写力学量的厄米算符的本征函数是 完全系