湖南省常德市2021学年高二数学上学期期末考试试题

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1、 湖南省常德市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 湖南省常德市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 时量：120分钟 满分：150分 命题单位：常德市 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“若a>－3，则a>6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2. 已知命题p：，则为(　　) A． B． C． D． 3. 高三

2、（8）班有学生54人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、18号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是(　　) A．8 B．13 C．15 D．31 4. 已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到的两个球颜色不相同”的概率是(　　) A． B． C． D． 5. 下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y

3、(单位：吨)的几组对应数据： x/吨 3 4 5 6 y/吨 2.5 t 4 4.5 根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表格中t的值为 A．3 B．3.15 C．3.25 D．3.5 6. 已知a，b是非零实数，则“a>b”是“lna>ln|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.

4、已知向量a=(λ+1,0,2)，b=(6,2μ-1,2λ)，若a∥b，则λ+的值可以是(　　) A． B． C．-3 D．2 （第8题图） 8. 如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则x+y的值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 9. 已知点A是圆M的圆周上一定点，若在圆M的圆周上的其他位置任取一点B，连接AB，则“线段AB的长度大于圆M的半径”的概率约

5、为(　　) A． B． C． D． 10. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 11. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4， CB⊥AB，PA⊥平面ABC，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为(　　) A．- B．-

6、 C． D． （第11题图） 12.已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交虚轴于点C，若，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C．2 D．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 某高级中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例分别如扇形统计图所示，现要抽取一个容量为26的样本，则在该高级中学高中部抽取男教师的人数为 .

7、 （第13题图） （第15题图） 14. 在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=8x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°，则|OA|=　　　　　.  15. 如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=2，AC=3，BD=4，则CD的长为　　　　　.  16. 已知椭圆的右焦点为F2，点M在⊙O：x2＋y2＝3上，且M在第－象限，过点M 作⊙O的

8、切线交椭圆与P，Q两点，则△PF2Q的周长为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) （1）已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围； （2）已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”若命题 “p∧q”是真命题，求实数a的取值范围. 18.(本小题满分12分) 某高校在2019年的自主招生笔试成绩(满分200分)中，随机抽取100名考生的成绩，按此成绩分成五组，得到如下的频率分布表： 组号 分组 频数

9、 频率 第一组 [90,110) 15 a 第二组 [110,130) 25 0.25 第三组 [130,150) 30 0.3 第四组 [150,170) b c 第五组 [170,190] 10 0.1 （1）求频率分布表中a,b,c的值； （2）估计笔试成绩的平均数及中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（精确到0.1） （3）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生参加面试，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副小组长，求“抽取的2人为同一组”的概率. 19.(本小题满分12分) 如

10、图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面ABC，△SAB是等边三角形，已知AC=2AB=4，BC=2. (1) 求证：平面SAB⊥平面SAC； (2) 求直线SA与平面SBC所成角的正弦值. 20.(本小题满分12分) 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1) 求椭圆C的方程； (2) 当DAMN的面积为时，求k的值. 21.(本小题满分12分) 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD折起到DBC'D的位置，使平面BC'

11、D⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA=2，如图2. (1) 求证：FA∥平面BC'D； (2) 求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值； (3) 在线段AD上是否存在一点M，使得C'M⊥平面FBC'？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 22.(本小题满分12分) 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=-1，直线l与抛物线相交于不同的A、B两点. (1) 求抛物线的标准方程； (2) 如果直线l过抛物线的焦点，求的值； (3) 如果=-4，直线l是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由.

12、 数学 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D B A B A C D C D B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.9； 14.2 ； 15. ； 16.4. 三、解答题：共20分，每小题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0

13、解得0

14、1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2共15种，其中满足题意的有7种。 所以所求概率为： 19.(1)证明 在△BCA中，∵AB=2，CA=4，BC=2 ∴AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC. 又平面SAB⊥平面ABC，平面SAB∩平面ABC=AB ∴AC⊥平面SAB. 又AC⊂平面SAC，所以平面SAB⊥平面SAC. (2)解 如图建立空间直角坐标系，A(0,0,0)，B(2,0,0)，S(1,0,)，C(0,4,0), =(1,-4,)，=(-2,4,0)，=(1,0,) 设平面SBC的法向量n=(x,y,z),由则n=. 所以直线SA与平面SBC所成角

15、的正弦值为 20：解　(1)由题意得 解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝ ＝ ＝ 又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝， 所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝， 由＝，解得k＝±1. 21.(1)证明 ∵BC'=C'D，E为BD的中点 ∴C'E⊥BD. 又平面BC'D⊥平面ABD，且平面BC'D∩平面ABD=BD，∴C'E⊥A

16、BD. ∵FA⊥平面ABD，∴FA∥C'E， 而C'E⊂平面BC'D，FA⊄平面BC'D，∴FA∥平面BC'D. 解 以DB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，EC'所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示：则B(1,0,0),A(0,-,0),D(-1,0,0),F(0,-,2),C'(0,0,), ∴=(-1,-,2),'=(-1,0,), 设平面FBC'的一个法向量为m=(x,y,z), 则 取z=1,则m=(,1,1). 又平面ABD的一个法向量为n=(0,0,1), ∴cos=. 则平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值为. (3)解 假设在线段

17、AD上存在M(a,b,c),使得C'M⊥平面FBC', 设=λ,则(a,b+,c)=λ(-1,,0)=(-λ,λ,0), ∴a=-λ,b=(λ-1),c=0.而=(-λ,(λ-1),-). 由m∥,可知λ不存在, ∴线段AD上不存点M,使得C'M⊥平面FBC'. 22解 (1)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为x=-1, ∴=1,p=2. ∴抛物线的标准方程为y2=4x. (2)若直线l斜率存在,则设l:my=x-1,与y2=4x联立,得y2-4my-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), ∴y1+y2=4m,y1y2=-4. ∴=x1x

18、2+y1y2=(m2+1)·y1y2+m(y1+y2)+1=-3. 若直线l斜率不存在,则易得A(1,2),B(1,-2), ∴=1-4=-3. 综上可得=-3. (3)假设直线l过定点且斜率存在, 设l:my=x+n, 得y2-4my+4n=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), ∴y1+y2=4m,y1y2=4n. 由=(m2+1)y1y2-mn(y1+y2)+n2=n2+4n=-4,解得n=-2. 满足Δ=16m2-16n>0, ∴l:my=x-2过定点(2,0). 若直线l过定点且斜率不存在,则设l:x=t(t>0), 则A(t,2),B(0,-2), ∴=t2-4t, 由t2-4t=-4得t=2, ∴直线l过定点(2,0).