重要抽样法在概率潮流中的应用大终稿

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1、_硕士学位论文重要抽样法在概率潮流中的应用 Application of importance sampling method in probabilistic load flow of power system周阳洋2011年3月_国内图书分类号：TM73 学校代码：10054国际图书分类号：621.3 密级：公开 硕士学位论文重要抽样法在概率潮流中的应用硕士研究生：周阳洋导 师：董雷 副教授申请学位：工学硕士学科：电气工程专业：电力系统及其自动化所 在 学 院：电气与电子工程学院答 辩 日 期：2011年3月授予学位单位：华北电力大学Classified Index: TM73U.D.C:

2、 621.3Thesis for the Master Degree Application of importance sampling method in probabilistic load flow of power system Candidate：Zhou YangyangSupervisor：Associate Prof. Dong LeiAcademic Degree Applied for：Master of EngineeringSpeciality：Electric Power System and Its AutomationSchool：School of Elect

3、rical and Electronic EngineeringDate of Defence：March, 2011Degree-Conferring-Institution：North China Electric Power University华北电力大学硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文重要抽样法在概率潮流中的应用，是本人在导师指导下，在华北电力大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承

4、担。作者签名： 日期： 年 月 日华北电力大学硕士学位论文使用授权书重要抽样法在概率潮流中的应用系本人在华北电力大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归华北电力大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解华北电力大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权华北电力大学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。本学位论文属于（请在以上相应方框内打“”）：保密，在 年解密后适用本授权书不保密作者签名： 日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月

5、 日摘 要电力系统的潮流计算是电力系统规划运行和控制的一种有效方法和常用的工具。在相当长的一段时间里，电力系统的分析都是建立在确定性潮流计算的基础上的，但是在实际运行过程中，电力系统中的一些参数，比如发电机出力、节点负荷等都是不确定的值。在这种情况下如果对电力系统分析还继续采用确定性潮流的计算方法的话，就要求必须对可能发生的情况作大量的计算，这种情况下，计算时间是难以承受的，而且也很难反映系统整体实际的状况。蒙特卡罗方法作为概率潮流计算中的一种重要的方法，它以计算结果精确而著称，但是蒙特卡罗方法却存在着计算精度和计算时间之间的矛盾。本文针对蒙特卡罗方法的缺点，将重要抽样方法应用于概率潮流计算，

6、提出了一种应用于电力系统概率潮流计算的重要抽样算法。首先利用蒙特卡罗方法模拟出负荷样本，然后用核密度估计方法估计出负荷模型的密度函数，将之作为重要抽样密度函数，计算出支路潮流和节点电压的概率密度函数。在文章的最后采用IEEE39节点测试系统作为算例进行仿真计算，并且和蒙特卡罗方法进行的模拟仿真的结果进行了比较。结果证明文中提出的重要抽样的方法在保证计算精度的前提下，显著减小了抽样的方差，加快了迭代计算的收敛速度。关键词：概率潮流；蒙特卡罗抽样；重要抽样法；核方法AbstractPower system security analysis is an important part of powe

7、r system operation and control. For a long time power system stability analysis has been based on the uncertainty of the trend calculated. However, the system load changes, equipment investment of time, Network topology uncertain factors such as the bus load, the power system stability analysis if t

8、he uncertainty flow calculation method, on the request of a large number of possible scenarios for a large number of programs to calculate the time, it is hard to bear and the overall system is very difficult to reflect the situation. In Monte-Carlo sampling technology normally used in power system,

9、 probabilistic simulation has low efficiency and needs large sample size. This paper presents importance sampling method for probabilistic load flow of power system. Generate samples of load model according Monte-Carlo sampling method, then using the kernel sampling density as the importance samplin

10、g density, carry out importance sampling simulation to compute the cumulative distribution function(CDF) of transmission line flows. Numerical results of IEEE39-bus shows that comparing with Monte-Carlo simulation, importance sampling method can evidently reduce the sampling variance and accelerate

11、the convergence speed of iteration calculation.Keywords: Monte-Carlo method, probabilistic load flow, importance sampling method, kernel method目 录第1章 绪 论1.1 研究背景及意义随着社会的进步和发展，如今的电力系统的发展呈现了一种新的趋势。电网的大规模互联已经成为了世界范围内的电力系统发展的大趋势。现代电力系统的设备容量和系统容量越来越大，系统的电压等级逐步升高等等这些因素使得电力系统的规模日益庞大，结构日趋复杂，这使得电力系统网络成为人类历史上

12、构造最复杂的超大规模的人造技术网络之一。这样的复杂网络的形成，一方面提高了系统的运行效率，但是在另一方面也增加了系统运行的不确定性，使得系统扰动波及的范围更广，系统事故的后果也更加严重。近些年来，在世界范围内发生了多起重大的电力系统事故。2003年8月，美国东部EDT时间14日，美国东北部和加拿大东部联合电网发生了大面积停电事故，共计损失负荷61.80GW，多达5000万的居民瞬间失去赖以生存的电力供应。2003年8月28日，英国国家电网公司所属伦敦南部电力传输系统出现故障，导致该系统从18:20至18:57电力供应中断。停电影响了EDF能源公司的41万个用户，停电损失负荷724MW，约为当时

13、整个伦敦负荷的20%。2006年11月4日，西欧8个国家发生了大面积停电事故，这是欧洲30年来最严重的一次停电事故，约1000多万人受到影响，损失负荷14.5GW13。鉴于失稳后果的严重性，电力系统的安全和可靠性问题已成为各国电力界普遍关注和急需解决的课题。以前，人们经常从一些具体的因素来分析电力系统事故发生的根源，比如说闪电、大雾、设备缺陷、调度或操作失误、继电保护误动等。但是这样的分析方法会忽略电网的整体特性对事故的影响。例如，西欧电网的“11.4”大停电事故发生的一个很重要的原因就是没有考虑全网运行方式并对全网的安全稳定运行进行校验和负责，尽管事故发生之前德国E.ON Nets电力公司曾

14、经进行过停运联络线的安全分析，但这个分析仅是针对本电力公司区域内的电网进行的，没有考虑邻近电力公司的负荷变化情况和可能的潮流转移，从而导致了事故的发生。近些年来随着电力市场的进展，电力系统的发输配电各环节由统一管理、统一调度逐步转向双边合同交易和发电厂商的竞价上网，这样使得系统的运行出现了很多的不确定性因素，从而对电力系统运行的安全监视和控制提出了更高的要求。在电力系统分析中，电力系统潮流分析计算是研究系统规划方案和系统安全运行分析最基本，最重要的方法。所采用的潮流计算方法是否合理将直接影响到规划设计的系统在未来投运后是否能够安全、可靠和经济地运行。通常，常规的概率潮流分析计算时把系统的变量，

15、比如节点的负荷，发电机的出力，元件的参数，网络拓扑结构等等都看作是确定的常量，根据这些常量求解各节点电压以及支路潮流的确定值。具体的计算前提如下：(1)节点的注入功率为定值。对于发电机节点，一般P (有功出力)和V (节点电压幅值)为定值；对于负荷节点，一般P (有功负荷)和Q (无功负荷)为定值；对于平衡节点，V (节点电压幅值)和(节点电压相角)为定值。(2)网络的拓扑结构保持不变。从上面的两条前提可以看出常规潮流计算并没有考虑系统的随机因素对于系统的影响。但是，从现实意义上严格来说，上述的两个前提中有些量不但是随着时间变化的，而且是不确定的。目前，系统的不确定性因素主要体现在以下的一些方

16、面，比如负荷的变化、设备投入时间、网络参数、环境气候影响、电力价格的波动、资金和利息率的约束等等。除此以外，由于电力市场和新技术的发展，综合资源规划（IPR）与需求侧管理（DSM）等等的因素也是必须考虑的。在这些不确定性因素中既有难以确定其是否发生以及何时发生的随机因素，又有因信息不足而无法精确预测其数值的模糊因素及信息不完全的灰色因素等。在这种情况下，在进行电力系统规划和运行条件分析的时候，如果继续采用常规潮流的计算方法，就要求对众多可能发生的情况作大量的方案计算，这样，计算时间是难于承受的，并且很难反映系统整体的状况。根据这一缺点，人们提出了概率潮流（Probabilistic Load

17、FlowPLF）计算方法。采用概率潮流计算方法的时候，输入的数据是已知的随机变量，给定的是它们的概率统计特性（例如，给定节点注入功率的期望值、方差和概率密度函数等），输出数据则是节点电压和支路潮流的概率统计特性，有期望值、方差和概率分布函数等。根据这些结果，我们可以知道节点电压、支路功率、PV节点无功功率及平衡节点功率的平均值、取值范围及其概率等。这样，只要通过一次计算就能提供支路潮流、节点电压等校验量的越限概率，减少了计算的工作量。根据这些信息，可以更深刻地揭示系统运行状况、存在问题和薄弱环节，为规划、设计及运行决策提供更全面的信息，可以更恰当地确定输电线和无功补偿装置的容量以及系统的备用容

18、量等，从而提高了电力系统的安全运行水平。概率潮流可以应用于分析支路潮流、节点电压的概率分布、期望值、方差和极限值，以此对整个电网在各种运行条件下的性能有一个全面的、综合的评价，并可以对电网存在的薄弱环节做出量化的分析，这些信息对于规划和调度部门的决策极具参考价值。在电力市场环境下，由于发电竞价上网，输电转运等因素，潮流分布的不确定性增大，概率潮流计算将成为电力市场研究中日常和必备的分析手段。1.2 国内外研究现状从文献所采用的潮流计算模型上分析，常见的概率潮流计算大致可分为三类：直流模型、线性化交流模型，以及更为准确的保留非线性模型等1974年Barbara Borkowska首先提出了用随机

19、变量表示节点注入以求支路潮流量概率分布的方法，开辟了电力系统概率潮流这一新领域，当时采用的是直流法。几乎同时，AEP公司（America Electric Power Service Corp）J.F.Dopazo等人提出了随机潮流的概念。这是一种假设节点上只有正态随机注入量的时候，经线性化处理后，利用最小二乘法求支路上正态潮流量方差的方法。但是由于大多数发电机节点的注入功率不能用正态分布近似，因而限制了它的使用范围。1976年Allen将Borkowska的方法扩展为交流，交流方法同时考虑了电力系统中的有功潮流和无功潮流，因而要比直流计算结果更为准确。此后，电力工作者围绕如何使数学模型能够更

20、真实的反映实际系统，如何提高计算精度以及实际应用进行更为深入的研究和探讨。卷积方法是一种可以获得支路潮流累计分布函数的方法。因此文献3采用了卷积的方法，应用了线性化的方法，状态变量和支路潮流被转化成输入变量的组合量。文献4在概率潮流计算过程中采用多点线性化的处理方法。该法的基本思路是：传统的线性化方法一般只在潮流期望值一点上对潮流方程作线性化处理，对输入量期望值附近的概率分布可以计算的比较准确，而对其期望值较远处或称为边际点的概率分布则可能有较大的计算误差，而边际点的概率分布对电压越限或过负荷概率计算常常是至关重要的。由是，为计算某一输出量的概率分布，就在其边际点对潮流方程作线性化处理。上述方

21、法的优点是当输入量方差较大时可以避免因一点线性化方法所带来的误差，同时也无需直接采用非线性潮流方程时繁琐的迭代运算。这种方法所引起的负担是计算量要比一点线性化方法大得多。文献5将快速傅立叶变换(FFT)算法引入概率潮流计算中，提高了卷积计算速度。FFT在卷积序列较长的场合，它比直接卷积法要快得多，有明显的优越性，且基本上可以做到没有方法误差。但是该方法相对于实际系统需求计算时间仍然显得过长。文献6提出多重线性化模拟算法。该模型假定负荷为正态分布的随机变量，认为节点注入功率要么相互独立的，要么为线性相关的随机变量，因而支路功率是节点注入功率的线性组合（当采用线性化潮流计算时），因此其概率分布可用

22、概率理论中卷积公式计算。该方法存在的不足在于：（1）节点注入功率的相关性不易处理。这种相关性是极为复杂的，不局限于前面假设的两种最简单状态，它不仅受到随时间、空间分布变化的负荷影响，并且受到系统调度决策（如机组组合、经济运行、发电再调度、电力市场中的阻塞管理、输电开放等）影响。（2）采用卷积计算需要将潮流方程在假定的负荷点附近线性化，由于负荷变化的不确定性，这种线性化会导致较大的误差。（3）没有考虑网络拓扑结构的随机变化。实际上，网络的计划检修和随机故障均可导致线路停运，进而对系统潮流分布有着显著影响文献7提出了一种基于直流潮流模型下，计算支路的概率密度函数（Probability Densi

23、ty FunctionPDF）和累积分布函数（Cumulative Distribution FunctionCDF）的方法。该方法结合了累积量和Gram-Charlier展开级数理论，通过综合的方法来计算支路的概率密度函数和累计分布函数。该方法避免了复杂的卷积计算，取而代之的是简单的代数计算过程，这是由于半不变量所特有的性质决定的。并且，一次运行就可以得到支路的概率密度函数和累计分布函数。这种方法可以大大地减少存储空间，节省了计算时间。并且由低阶的Gram-Charlier展开级数估计概率密度函数和累计分布函数有着足够高的精度。而文献24在文献7的基础上，结合了半不变量的概念和Gram-Ch

24、arlier展开级数理论，采用了以牛顿拉夫逊潮流的计算为基础的线性化的概率交流模型，通过综合的方法来计算支路潮流的概率密度函数和累计分布函数。采用半不变量进行运算，使得复杂的卷积运算转化成随机变量的半不变量之间的算术运算，因此可以大大减少计算量和计算时间，并且低阶的Gram-Charlier展开级数就可以足够精确地估计随机变量的概率密度函数和累计函数。文献25提出了一种在蒙特卡罗模拟基础上的概率潮流算法，针对目前概率潮流算法在处理节点功率间变化的相关性，网络拓扑随机变化及评价指标方面的不足，提出了这种方法，算法采用K均值聚类负荷模型。考虑了发电和输电元件的故障停运和检修停运，并在网络模型中计及

25、继电保护和重合闸等二次元件故障的影响，建立了较为完整的评估体系。文献26 给出了一种考虑线路随机故障的随机潮流算法。将线路随机故障等效为线路端节点注入功率的扰动，将负荷波动和发电机故障都当作节点注入功率的变化，以线性化的潮流方程计算节点电压和支路功率的变化量。为减小线性化引起的误差，对系统影响较大的离散扰动以确定性潮流计算系统状态的变化。在求取节点电压和支路功率分布的各阶半不变量时对连续正态分布和离散分布两部分分别计算。用Von Mises提出的方法由各阶矩求离散分布，与正态分布卷积后获得电压和支路功率的分布函数。目前，一般将概率潮流的研究方法分为两种，一种是解析法，另一种是模拟法。解析法是基

26、于概率理论的一种方法，从上面的研究现状可以看出，解析法一般有卷积法，半不变量法等，在运用解析法进行概率潮流计算时，计算的速度是非常快的，但是由于解析法内在的复杂性，一般用解析法做概率潮流计算时，都会做如下的假设：1.简化潮流方程的非线性化程度；2.各随机变量之间相互独立；3.网络结构保持不变。上述这些假设条件实际上降低了运用解析法计算概率潮流的计算精度，限制了解析法的使用范围。模拟法中的蒙特卡罗模拟方法，其特点是将整个系统分成许多元件，再根据输入变量的概率分布情况进行多次取值，用确定性潮流的计算方法依次根据这些被选择的输入变量的值来计算状态量和支路潮流的值。最后，从多次的计算结果中统计计算量和

27、支路潮流的概率分布情况。从理论上说，蒙特卡罗方法可以不加任何限制的使用，比如说，可以使用准确的非线性化方程进行计算；负荷与发电机之间的相关性可以方便的考虑；网络结构变化的概率也可以很容易的考虑进去。但是为了获得有实际意义的结果，通常需要成千上万次的蒙特卡罗仿真计算。在确定的置信水平下，提高蒙特卡罗模拟精度的途径有两个，一个是增加抽样次数，一个是减小方差，增加抽样次数必然使模拟的总时间增加，计算效率大大降低，所以我们可以通过减小方差的方法来提高蒙特卡罗方法的收敛精度。常用的减小方差的方法有分层抽样法，重要抽样法，控制变量法和对偶变数法等等8，其中重要抽样法被认为是最有效，也是最常用的。1983年

28、Shinozuka9在一篇名叫Basic analysis of structural safety的文章中将重要抽样的技巧运用到结构可靠性分析中去，此后，重要抽样法就慢慢被人们所熟知并接受，并且对它进行了许多研究和改进10。文献11将重要抽样与设计点相结合，即将多维正态分布密度函数作为重要抽样函数，使其均值点与一阶或者二阶可靠性方法（FORM/SORM）求得的设计点一致。这种方法后来被广泛应用于多失效模式的问题，但是它不适用于无失效方程的问题。文献12用失效子样对原空间密度函数的一阶和二阶矩构造正态分布的重要抽样密度函数。不过这种方法形成的重要抽样密度函数方差非常小，经常会产生过低的估计量。

29、文献13在探讨将原分布函数平移适当距离后作为重要抽样函数，提出了重要抽样的蒙特卡罗模拟的迭代计算方法。依据前次迭代模拟计算中失效点的中值与重要性函数之间的距离应保持合适的距离来确定本次迭代计算中原分布函数应平移的距离。这种方法计算精度较高，但是方法比较繁复。文献14提出了核函数方法，用核函数的方法去构建重要抽样函数，选取的核样本直接来自于蒙特卡罗模拟，所构造的密度函数十分接近最佳的重要抽样密度函数。1.3 本文主要研究工作在众多的概率潮流的计算方法中，蒙特卡罗方法有着解析法无法比拟的优势，但是由于计算时间和计算精度之间的矛盾，导致蒙特卡罗方法的实用性不强。本文通过引入重要抽样的核方法来构造重要

30、抽样密度函数，改变抽样重心，提高抽样效率。论文的主要工作包括以下几个部分：（1）在分析电力系统安全稳定背景和意义的基础上，考虑到系统的不确定因素，采用概率潮流理论弥补常规潮流在计及不确定因素时存在的不足。参考和总结了国内外关于随机潮流计算方法的文献资料。（2）介绍重要抽样方法的数学原理，参考国内外关于重要抽样方法的文献。详细论述重要抽样核方法的基本数学原理和实现方法。（3）构造负荷的概率模型，将重要抽样的核方法和基于蒙特卡罗模拟的概率潮流方法相结合，提高蒙特卡罗方法的运行效率。（4）进行基于核函数方法的重要抽样模拟的概率潮流计算程序设计。程序主要包括蒙特卡罗方法和重要抽样方法两部分。该算法在I

31、EEE39节点系统进行测试，表明了方法的有效性和正确性。第2章 数学基础2.1 随机变量及其描述电力系统概率潮流的计算是由各有关量的概率统计特性求得各个待求量的概率统计特性。因而应先分析给定量的概率特性，并由此求出待求量的概率统计特性。2.1.1 概率密度函数和累积分布函数设E为随机试验，S是它的样本空间，是定义在样本空间S上的实值单值函数，那么，称为随机变量。根据随机变量取值不同的特点，一般将随机变量分为离散型随机变量和非离散型随机变量两种。离散型随机变量是指随机变量的取值全部可能取到的不相同的值时有限个或可列无限多个。在非离散型随机变量中最重要的也是最常用到的就是连续型随机变量。在引入随机

32、变量的概念之后容易知道，我们要掌握一个随机变量X的统计规律，必须且只需知道X的所有可能取的值以及取每一个可能的值的概率。设X是一个随机变量，x是任意的实数，函数称为X的分布函数。分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们能用数学分析的方法来研究随机变量。如果将X看成是数轴上的随机点的一个坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间上的概率。文献52中对分布函数的性质进行了详细的描述。分布函数F(x)具有如下的性质： （2-1）对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负的函数f(x),使对于任意的实数x都有： （2-2）若F(x)在该点可微，那么： （2-3）我们将f(x)称为X的概

33、率密度函数，简称概率密度。离散型随机变量的取值的概率可以用分布律来表示。设离散型随机变量X所有可能取的值为，X取各个可能值的概率，即事件的概率，为： （2-4）由概率的定义，离散型随机变量的分布满足如下的两个条件：非负性： （2-5）规范性： （2-6）连续型随机变量的概率密度函数具有如下的规律：非负性： （2-7）规范性： （2-8）2.1.2 随机变量的数字特征上面讨论了随机变量的分布函数，分布函数能够完整的描述随机变量的统计特性。但是在一些实际的问题中，并不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需知道随机变量的某些数学特征，因此并不一定需要求出它的分布函数。一些与随机变量有关的数值，虽然

34、没有办法完整的描述随机变量，但是却能够描述随机变量在某些方面的重要特征，并且又能简化计算，所以在理论上和实践上都有着重要的意义，并且得到了广泛的应用。随机变量的数字特征与随机变量的分布有着密切的关系，本文中所用到的数学期望和方差，这些数字特征能更集中的反映随机变量的特性。（1）数学期望52 假设离散型随机变量X的分布律为 （2-9）若级数绝对收敛，则称的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即 （2-10）设连续型随机变量X 的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则称的值为随机变量的数学期望，记为E(X),即 （2-11）数学期望简称为期望，又称为均值。数学期望E(X)完全由随机变量X的概率

35、分布所确定。如果X服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望。（2）方差52数学期望是随机变量的一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平，但是有时候我们除了要考虑随机变量的平均取值，还要研究随机变量与其均值的偏离程度。在通常情况下，我们用方差来度量这个偏离程度。设X是一个随机变量，若存在，称为X的方差，记为D(X)或者Var（X），即 （2-12）在应用上还引入了与随机变量X具有相同量纲的量,记为,称为标准差或者均方差。按照定义可以知道，随机变量X的方差表达了X的取值与它的数学期望之间的偏离程度。如果X的取值比较集中，那么D(X)的值就比较小，反之，如果取值比较分散，那么D(X)

36、的值就比较大。所以，可以得到，随机变量的方差就是刻画随机变量分散程度的一个量，是衡量随机变量取值分散程度的一个尺度。从定义可以知道，方差实际上就是随机变量X的函数的数学期望值。对于离散型随机变量而言，它的方差可以用下面的式子来表示： （2-13）其中是X的分布律。而对于连续型随机变量而言，它的方差可以用下面的式子来表示： （2-14）其中f(x)是X的概率密度函数。随机变量X的方差可以统一按下列的公式来计算： （2-15）2.2 常用的随机变量分布522.2.1 离散型随机变量（01）分布假设随机变量X只可能取0和1两个值，它的分布律是 （2-16）则称X服从（01）分布或者两点分布。对于一个

37、随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即，我们总能在S上定义一个服从(01)分布的随机变量 （2-17）来描述这个随机试验的结果。（01）分布是经常遇到的一种分布，比如某车间的电力消耗是否超过负荷以及最常见的抛硬币的试验都可以用（01）分布的随机变量来描述。2.2.2 正态分布正态分布的概念最早是由数学家棣莫弗（A.De Moivre）在1733年研究二项分布的渐进公式中得到，但是在当时没有受到人们的重视。1809年德国著名数学家高斯（C.F.Gauss）在研究测量误差时，从另一个方面推导出了它，并将其应用在了天文学的研究方面，从此得到了人们的广泛关注，所以正态分布又被人们称作为高斯分布。

38、1812年拉普拉斯（M.De.Laplace）在他的文章中研究了正态分布的性质。正态分布是自然界中最常见的一种分布形式，统计分析中的许多分布都是以正态分布的理论为基础。因此，无论是从理论上还是实际应用上，正态分布都是非常重要的。假设连续型随机变量X的概率密度为 （2-18）其中，数学期望，均方差。我们称X服从参数为，的正态分布或者高斯分布，记为.根据密度函数与分布函数之间的关系转化，根据式（2-18）我们可以得到服从正态分布函数的随机变量X的分布函数为： （2-19）如果固定不变，改变的值，则正态分布的密度函数沿着x轴平移，但是不会改变图形的形状，可见正态分布的概率密度曲线的位置完全由所确定，

39、我们称为位置参数。相反，如果我们固定不变，改变的值，由于最大值，可知当越小时图形变的越尖，因而X落在附近的概率越大。特别的，当时称X服从标准正态分布，它的概率密度和分布函数分别用表示，即有： （2-20）可以很容易的知道 （2-21）若，令，则，从而任意X的累积分布函数都可转化为标准正态分布。正态分布具有称为“原则”的特性，即，。2.3 概率密度函数的参数估计与非参数估计2.3.1 概率密度函数参数估计参数估计是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。它是统计推断的一种基本形式，是数理统计学的一个重要分支。在已知系统的模型结构时，用系统的输入和输出数据计算系统的模型参数。18

40、世纪末德国数学家高斯（C.F.Gauss）首先提出了参数估计的方法，他用最小二乘法计算天体运行的轨道。20世纪60年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了飞速的发展。参数估计有着很多的方法，有最小二乘法、极大似然法、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法。在一定的条件下，后面的三个方法都与极大似然法相同。参数估计的标准特点有以下几点：（1）无偏性，（2）一致性，（3）有效性，（4）充分性。参数估计一般是分为点估计与区间估计两部分。2.3.1.1 点估计设总体X的分布函数的形式是已知的，但它的一个或多个参数为未知，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题。点估计问题

41、就是要构造一个只依赖于样本的量作为未知参数或未知参数的函数的估计值。例如，设一批产品的废品率为，从这批产品中随机地抽出n个作检查，以X记其中的废品个数，用估计，这就是一个点估计。构造点估计常用的方法是：（1）矩估计法。用样本矩估计总体矩，如用样本均值估计总体均值。（2）最大似然估计法。于1912年由英国统计学家R.A.费希尔（R.A.Ronald Fisher）提出，利用密度构造似然函数来求出参数的最大似然估计。（3）最小二乘法。主要用于线性统计模型中的参数估计问题。（4）估计法。基于贝叶斯学派（见贝叶斯统计）的观点而提出的估计法。可以用来估计未知参数的估计量很多，于是产生了怎样选择一个优良估

42、计量的问题。首先必须对优良性定出准则，这种准则是不唯一的，可以根据实际问题和理论研究的方便进行选择。优良性准则有两大类：一类是小样本准则，即在样本大小固定时的优良性准则；另一类是大样本准则，即在样本大小趋于无穷时的优良性准则。最重要的小样本优良性准则是无偏性及与此相关的一致最小方差无偏估计，其次有容许性准则，最小化最大准则，最优同变准则等。大样本优良性准则有相合性、最优渐近正态估计和渐近有效估计等。2.3.1.2 区间估计对于一个未知量，人们在测量或者计算的时候，常不以得到近似值为满足，还需要估计误差，即要求指导近似值的精确程度，即所求真值所在的范围。类似的，对于未知参数，除了求出它的点估计外

43、，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含的参数真值的可信程度。这样的范围通常是用区间的形式给出，同时还给出这个区间包含参数真值的可信程度。这种形式的估计称为区间估计，这样的区间就是所谓的置信区间。1934年统计学家J.奈曼创立了严格的区间估计理论。求置信区间常用以下三种方法：（1）利用已知的抽样分布。（2）利用区间估计与假设检验的联系。（3）利用大样本理论。2.3.2 概率密度函数的非参数估计上面讨论的概率函数的参数估计是建立了函数形式已知的前提下，但该前提往往是不成立的，函数具体是什么样的形式往往是不知道的，非参数估计有着很多种的方法，在本文中，通过参考文献57中引入的经验分布函数

44、的概念来讨论的非参数估计的核估计方法。假设是总体F的一个样本，用S(x)，表示中不大于x的随机变量的个数。定义经验分布函数为： （2-22）对于一个样本值，那么经验分布函数的观察值是很容易得到的。取核函数为均匀核： （2-23）则密度估计为： （2-24）将核函数放宽，就得到了一般的密度核估计： （2-25）2.4 本章小结本章首先介绍了概率论和数理统计中的随机变量，概率分布函数和密度函数的概念，然后介绍了一些典型的概率分布函数，详细阐述了数学期望和方差的基本概念。当进行概率统计时，计算出随机变量的概率密度函数是对随机变量概率特性进行分析的一种重要的手段，通过所给出的样本条件，我们可以通过参数

45、估计或者非参数估计的方法来计算出所要分析的随机变量的概率密度函数。第3章 重要抽样法3.1 蒙特卡罗模拟方法3.1.1 蒙特卡罗模拟方法的基本原理蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），或称作为计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战期间研制原子弹的“曼哈顿计划”。这一计划的主持人之一，著名数学家冯诺伊曼用驰名世界的赌城摩纳哥的蒙特卡罗来命名这种方法，为它蒙上一层神秘的色彩。早在17世纪，蒙特卡罗方法的基本思想就被人们发现和利用。20世纪40年代电子计算机的出现，使得数学方法在计算机上大量的，快速的模拟这样的试验成为可能。由概率的定义可

46、以知道，某一事件的概率可以用大量试验中该事件的发生的频率来估算。如果样本的容量足够大，可以认为这个事件发生的频率即为其概率。蒙特卡罗方法正是基于此思路进行分析的。蒙特卡罗方法具有独特的计算风格，既能解决确定性的数学问题，又能解决随机性的问题。蒙特卡罗方法解题的基本思想是：为了求解数学、物理，工程技术以及生产管理方面的问题，首先应该建立一个概率模型或者是某个随机变量的数学期望值，使它的参数等于问题的解；然后通过对模型或者过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值，所得出解的精确度可以用估计值的标准误差来表示。假设一个随机变量X，f(x)是在x上随机变量X的概率密度函数。

47、如果X是离散变量，那么关于X的方程g的期望值为： （3-1）如果X是连续变量，那么关于X的方程g的期望值为： （3-2）如果我们从X中抽取一个数量为n的样本，我们通过这个样本计算出的平均值，那么，我们就可以给出的蒙特卡罗估计： （3-3）蒙特卡罗方法和传统的数学方法相比，具有思想新颖，直观性强，简便易行等优点，它能处理一些其他方法不能解决的复杂问题，并且能够很容易的在计算机上实现。3.1.2 蒙特卡罗方法的方差和模拟精度从式（3-3）可以看出，其实并不是实际值，而只是一个估计值，根据上一节的介绍，我们可以用下面的计算公式来计算出蒙特卡罗方法估计值方差的大小。如果X是离散型随机变量，那么： （3

48、-4）如果X是连续型随机变量，那么： （3-5）由柯尔莫哥洛夫大数定律可知，如果随机变量相互独立，服从同一分布，数学期望值存在，则： （3-6） 即： （3-7）这也就是说，在蒙特卡罗模拟法中，所求的估计值当时以概率1收敛到。根据中心极限定理，只要随机变量相互独立，服从同一分布，而且数学期望存在，有限方差，那么，当时，随机变量 （3-8）逐渐逼近标准正态分布N（0,1），即有： （3-9）很明显，在蒙特卡罗模拟中，随机变量满足上述条件。因此，对于任何，有： （3-10）这表明，不等式以概率成立。通常称为估计的置信度，称为估计的置信水平。上面的分析表明，估计值收敛到真值的速度的阶为。3.1.3

49、蒙特卡罗模拟法的误差在上节中，如果方差，我们可以得到蒙特卡罗方法的误差为： （3-11）其中，和的关系可以从标准正态分布N（0,1）的积分表中去查到。并且，特别的，称时候的误差为概然误差。明显的可以看出，当给定置信度之后，误差的取值是由方差和样本数量决定的。通常情况下，我们引用方差系数来表示蒙特卡罗方法估计的误差： (3-12)整理上式，我们可以得到： （3-13）通过上式可以看出，蒙特卡罗模拟法的抽样次数几乎不受系统规模或者系统复杂程度的影响，所以蒙特卡罗方法非常适用于处理各种有着复杂因素的问题，比如负荷的相关性，网络拓扑结果的变化以及各种的运行控制策略等。同时，我们还可以看出，蒙特卡罗方法

50、的计算量与估计精度的平方成反比的，也就是说，在精度一定的情况下，减少抽样次数的唯一的途径就是减小方差。因此，研究各种减小方差的方法是提高蒙特卡罗模拟方法收敛速度和计算效率的关键。3.1.4 蒙特卡罗模拟方法的基本思路蒙特卡罗模拟方法的基本解题思路是以一个概率模型为基础的。解决问题时，按照这个概率模型所描述的过程，通过部分模拟实验的结果，以此作为问题的近似解。在应用蒙特卡罗模拟方法解决实际问题的过程中，大体上有以下的几个方面：（1）对所要求解的问题建立简单而又便于实现的概率统计模型，使得所求的解恰好是所建立的模型的概率分布或者数学期望值。对于本身就具有随机性质的问题，主要是正确的描述和模拟这个概

51、率过程。而对于本来不是随机性质的确定性问题，要通过蒙特卡罗方法求解，就必须首先构造一个人为的概率过程，而它的某些参数正好是所要解决问题的解。将不具有随机性质的问题，转化为具有随机性质的问题，这就构成了蒙特卡罗方法研究与应用上的重要问题之一。概率模型可以是简单直观的，也可以是复杂抽象的，这一点取决于所要解决的问题。它可以是一个由离散型随机变量构成的概率模型，也可以是一个由连续型随机变量构成的概率模型；可以是由一个随机变数构成的过程，也可以是由多个随机变数构成的概率模型。概率模型的复杂程度决定了蒙特卡罗计算的复杂程度。我们要根据概率统计模型的特点和计算的实际需要，尽量的去改进模型，以减小方差和降低

52、费用，从而提高蒙特卡罗方法的计算效率。（2）建立对随机变量的抽样方法，其中包括建立产生伪随机数的方法和建立对所遇到的分布产生随机变量的随机抽样的方法。由于各种概率模型都可看作是由各种各样的概率分布所组成的，因此产生己知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟试验的基本手段，所以，蒙特卡罗方法又被人称作为随机抽样技巧。最简单、最重要、最基本的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布，或者称之为矩形分布。随机数就是具有这种均匀分布特性的随机变量。随机数序列就是具有这种分布总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。所谓产生随机数的问题，就是从这个分布抽取样本

53、的问题。在计算机上，我们可以采用物理方法来产生随机数，但是价格比较昂贵，而且不能重复，使用起来极不方便。另一种方法就是运用数学递推公式来产生“随机数”。这样产生的序列，其实与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它和真正的随机数，或者随机数序列具有很相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。根据己知的分布随机抽样的各种方法，与从（0，1）上均匀分布抽样的方法不同，这些方法都是借助于随机数的序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。在许多的程序语言中都自带生成随机数的方法，如C语言中的random()函数，Matlab中的rand()函数

54、等。但这些生成器生成的随机数效果很不一样，比如C中的函数生成的随机数性质就比较差，如果用C，最好自己再编一个程序。Matlab中的rand()函数经过了很多优化。可以产生性质很好的随机数，可以直接利用。随机数是我们用来实现蒙特卡罗模拟的最基本的工具。（3）给出获得所求解的统计估计值及其方差或标准误差的方法。一般来说，构造了概率模型并且能够从中抽取样本之后，即能实现模拟试验后，我们就要确定一个随机变量，以此来作为所要求的问题的解的估计值。如果这个随机变量的期望值正好是所求问题的解，我们就称它为无偏估计。3.2 重要抽样法的基本原理从上面的介绍我们已经可以看出，蒙特卡罗方法是一种很独特的数学计算方

55、法，但是存在着计算效率和计算时间之间的矛盾。而经过对蒙特卡罗方法误差的分析，我们可以看到如果要提高蒙特卡罗模拟方法的计算效率，唯一的方法就是减小方差。因此，研究降低方差的技巧有着特别重要的意义，引起了人们的广泛注意和极大兴趣。降低方差的各种抽样技巧，基本上都是由Kahn在1954年在一篇经典性的文章中完成的，其中包括统计估计（statistical estimation）抽样技巧、重要（importance）抽样技巧、相关（correlated）抽样技巧、分裂和轮盘赌（splitting and roulette）抽样技巧。系统（systematic）抽样技巧、分层（stratified）抽样

56、技巧等六种抽样技巧。1956年，Hamersley和Morton给出了一种新的降低方差技巧，即所谓的对偶变数技巧。在上述的各种方法中，重要抽样技巧被认为是最有效，也是被研究最多的减小方差的方法之一。重要抽样方法的基本原理是在保持原有样本期望值不变的情况下，改变随机变量的抽样重心，改变了现有样本空间的概率分布，使其方差减小，这样，使对最后结果贡献大的抽样出现的概率增加，抽取的样本点有更多的机会落在感兴趣的区域，使抽样点更有效，以达到减小运算时间的目的。一般抽样法与重要抽样法抽样的差异如图3-1，3-2所示，图中的同心图表示联合概率密度函数的等值线，圆心为联合概率密度：图3-1一般抽样法的抽样中心

57、图3-2重要抽样法的抽样中心我们假设一个关于随机变量X的概率密度函数为h(x),那么，并且，那么，我们可以得到以下的式子： （3-14）从上式中我们可以这样假设出一个新的函数，并且，令，我们可以很明显的看到，这个新的函数的期望值和原先的g(x)的期望值完全相同，但是它们的方差却是完全不相同的： （3-15）可以很明显的看出，如果方差越小，那么计算的工作量就会越小，我们把h(x)称作为重要抽样分布函数。从上面我们可以看出重要抽样的基本思路，那就是寻找一个新的分布函数，通过这个函数，我们能够达到保持期望值不变而方差减小的目的，从而提高运算的效率。继续分析新的函数的方差，我们可以知道，当h(x)取最

58、优值的时候，会出现的情况，而这种情况是最理想的一种情况，在这样的情况下，只需要进行一次抽样就可以完成估计。但是，这种情况毕竟只是一种理想的状态，因为式（3-14）中的E(g(x)的真实值我们是无法知道的，所以在实际的计算中我们只能采用近似的最优分布来逼近E(g(x)，从而来实现减小方差的目的。而重要抽样分布函数算法的选择就成了制约计算时间的关键问题。重要抽样法在构造抽样函数的时候不需要考虑极限状态曲面的形状。由于计算简便，并不需要在计算之前做过多的准备工作，实际中的应用比较广泛。不考虑极限状态曲面的形状，为了提高抽样的效率，要从两个方面予以考虑：一个是增大样本落入感兴趣区域的机会；另一个是使示性函数具有较大的权重。对于极限状态曲面为凹曲面和并联结构体系的情形，最佳的抽样中心是感兴趣的区域内距对中心点影响最大的点不远的一个点，但是确定这样的点比较困难，作为一种选择，可以直接将重要抽样随机变量的中心选在对结果影响最大的点，但是这样的方法对于功能函数非常复杂，设计点无法准确求得的问题很难实现。构建重要抽样分布函数的方法多种多样，本文综合考虑电力系统概率潮流实