最新最全平面向量的方法技巧及易错题复习剖析完整版

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1、精编习题平面向量的方法技巧及易错题剖析1两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（ 1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定；（ 2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a b ，而 a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；（ 3）在实数中，若a 0，且 a b=0，则 b=0；但是在数量积中，若a0，且 a b =0，不能推出b = 0 。因为其中cos 有可能为0；（ 4）已知实数a、b、c(b 0)，则 ab=bca=c。但是 a b = bcac；如右图：ab =

2、|a|b|cos= | b |O A| ， bc = | b| c|cos=|b|OA|a b= bc ，但ac ；(5)在实数中，有( ab ) c= a( b c )，但是( a b ) ca( bc )，显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线。2平面向量数量积的运算律特别注意：（ 1）结合律不成立：ab ca bc；（ 2）消去律不成立a ba c 不能得到bc；（ 3） a b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 。3向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一

3、体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视 . 数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直；4注重数学思想方法的教学数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判a 22定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式a ，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去

4、解决。分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量a 在 b 方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点 P 的位置不同，可以大于零，也可以小于零。（一）平面向量常见方法技巧方法一：强化运用交换律和结合律的意识，活用闭合向量为零向量解题特别对于化简题，应灵活运用加法交换律变为各向量首尾相连，然后再运用向量加法结合律作和。例：化简下列各式：ABBCCA；ABACBDCD； OA OD AD； NQQPMNMP 。结果为零向量的序号为 _ 。方法二：强化运用向量加法法则例：已知四边形ABCD是菱

5、形，点 P 在对角线 AC上（不包括端点A、C），则 AP 等于（）ABBC ,0， 2A.ABAD ,0, 1B.2ABBC ,0,2ABAD ,0, 12C.D.答案： A方法三：数形结合思想例：已知向量 OP1 、 OP2 、 OP3满足条件 OP1OP2OP3 0 ，且 | OP1 | |OP2 | | OP3| =1，试判断P1 P2 P3 的形状。方法四：取特例例： ABC 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， OHm OAOBOC ，则实数m =_。答案： 1方法五：应用| a |2a2 解题a2 | a |2 是向量数量积的重要性质之一，它沟通了向量与实数间的转化关系，

6、充分利用这一性质，可以将与向量有关的问题转化为向量的运算问题。例：已知 a、b 均为单位向量，它们的夹角为60 ，那么 | a 3b | 等于（）A.7B. 10C. 13D. 4方法六：利用数形结合思想解决向量的模、向量的夹角问题例 1：已知向量 a 、 b 满足 | a | 6， | b | 4 ，且 a 与 b 的夹角为 60，求 | ab | 和 | a 3b | 。方法七：三角形形状的判断方法由于三角形的形状可按角分类也可按边分类，所以这类题常将条件统一用边或角表示后再化简、判断已知平面上有互异的四点A、 B、 C、 D，若 DBDC 2DA AB AC0 ，则 ABC的形状是A.

7、直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形（二）易错题剖析【易错题1 】若向量 a、 b 满足关系式 | a b | | ab | ，则下列结论中正确的是（）A. 以 a 、 b 为邻边的四边形是矩形B. a 、 b 中至少有一个零向量或 a bC. a 、 b 中至少有一个是零向量D. a 、 b 均为零向量答案： B解题思路：（ 1）当 a 、b 均为非零向量时， 由向量加法和向量减法的平行四边形法则可知，ab 与 ab分别是以 a 、 b 为邻边的平行四边形的两条对角线。相等，所以，以 a 、 b 为邻边的四边形为矩形时，（ 2）当 a 、 b 中有零向量时，条件显然

8、满足。综上所述，故选 B。| ab | | ab | 表明这个平行四边形的两条对角线的长ab ；错因分析：误区：错选A。思考不严密，只注意到了向量a 、 b 均不为零向量的情形，事实上，当a 、 b 中有零向量时显然也满足条件。由于零向量是特殊向量，具有特殊性，处理向量问题要首先考虑所给向量能否为零向量。【易错题 2 】“两个向量共线”是这两个向量方向相反的（）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案： B。解题思路：两个向量a 与 b 共线，它们可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线上，只要它们方向相同或相反即可。因此，两个向量方向相反这两个向量共线； 两个

9、向量共线不能得到这两个向量反向。故选 B。错因分析：误区：两个向量共线包含两个向量同向和反向两种情况，因此，两个向量共线不能得到这两个向量反向；两个向量反向，这两个向量并不一定在同一条直线上。因此错选D。造成以上误区的原因是对两个向量共线的概念模糊。【易错题3A12Bn 13C2，n 1D2，2n 1）。若向量AB与CD共线】设点 （，）， （，）， （）， （且同向，则 n 的值为（）A. 2B. 2C.2D. 1答案： A解题思路： 由已知条件得 ABn, 1，CD4,n，由 AB 与 CD 共线得 n 24 0 ，n2 。当 n 2时，AB=（ ，）， CD=（ 4， 2），则有CD2A

10、B，满足AB与 CD 同向，当n2时， AB2,1，2 1CD 4,2 ，有CD2AB ，此时 AB 与 CD 反向， 不符合题意。 因此，符合条件的只有 n2 。故选 A。错因分析： 误区：由已知可得 ABn, 1 ，CD4, n ，因为 AB 与 CD 同向且共线， 所以 n 24 =0，n 2 ，因此错选 C。出现错误的原因是对同向与共线的概念模糊。事实上，上述解答中只注意了共线条件，而忽视了另一个条件：方向相同。向量共线的充要条件中的正负决定两个向量是同向还是反向，0 ，同向；0 ，反向。【易错题 4 】已知 |AB| 8，| AC| 5，则|BC| 的取值范围是（）A. 3, 8B.

11、 （3， 8）C. 3, 13D. （ 3， 13）答案： C解题思路：因为向量减法满足三角形法则，作出|AB |8， |AC |5，BCACAB 。（ 1）当 ABC存在，即 A、 B、C 三点不共线时， 3 | BC | 13 ；（ 2）当 AC 与 AB 同向共线时， | BC | 3 ；当 AC 与AB 反向共线时，|BC | 13。 |BC | 3, 13，故选 C。错因分析：误区：错选 D。错误原因是对题意的理解有误，题设条件并没有给出A、B、C 三点不能共线，因此它们可以共线。当A、 B、 C 共线时， ABC不存在。题目中两向量a、 b 是任意向量，在解答构思中理应考虑到它们的

12、特殊情形。【易错题5 】已知 a1,3 ， b2,，设 a 与 b 的夹角为，要使为锐角，求的取值范围。解题思路：由为锐角，得cos0，且 cos1， ab| a| b | cos恒大于0， ab0，即 1230 。2解得3若 a平行于 b ，则 123 0。即6 ，但若 a 平行于 b ，则0 或，与为锐角相矛盾，所以6 。2 且6综上，3。失分警示：误区：为锐角， cos0 。由 ab| a| b | cos2知，只需 ab 0 ，即 1 230，故3 。本题误以为两非零向量a 与 b 的夹角为锐角的充要条件是a b 0 ，事实上，两向量的夹角0, ，当0 时，有 cos10 ，对于非零向

13、量 a 与 b 仍有 ab0 ，因此 a b 0是两非零向量 a 与 b 的夹角为锐角的必要不充分条件。即有如下结论： 两非零向量 a 与 b 的夹角为锐角的充要条件是a b0 且 a 不平行于 b。【易错题6 】已知点 A（3，4 ）与点 B（1， 2），点 P 在直线 AB 上，且 | PA |2| PB|，求点 P的坐标。解题思路：设点P 的坐标为（ x， y），由于|PA | 2|PB|，所以，当点 P 为有向线段 AB 的内分点时，2 ，32( 1)1,x123y4220.1此时有12点 P 的坐标为（3 ，0）。当点 P 为有向线段AB的外分点时，2 ，3215,x12y4228.

14、此时有12点 P 的坐标为（5 ，8）。1综上所述，点P 的坐标为（3 ， 0）或（5 ，8）。失分警示：思考不严密，出现漏解现象，点P 可能是 AB 的内分点，也可能是 AB 的外分点，因此本题必须分类讨论。【易错题 7 】 ABC 中，已知 AB AC0， BCAB0，CB CA0，判断 ABC的形状。解题思路： AB AC| AB | | AC | cos A 。BC AB | BC | | AB | cosB| BC | | AB | cos B ， CBCA| CB | | CA | cos C 。AB AC0, BCAB0, CBCA 0。 cos A0 ， cos B0 ， co

15、sC0 ， A 、 B、 C 均为锐角。 ABC为锐角三角形。失分警示：误区：BCAB 0 ， | BC | | AB | cos B 0 。 B 为钝角， ABC为钝角三角形。上述错误在于将 BC与AB的夹角看成是ABCBAB的夹角应为B 。的内角 ，向量 BC 与【易错题 8】设二次函数 y (ab)x 22cx(ab) ，其中， a 、 b 、 c 是 ABC的三边， 且 b a ， b c ，若二次函数与 x 轴有交点，试确定B 的范围。解题思路：由题设 0 ，即 a2c 2b 20a2c2b 2cosB2ac00B90。又 b a, b c ， B60 。由知， 60B90 。失分警

16、示：误区：由题意得 4c24 a2b 20a2c2b 20B90cosB2ac0。此解法忽视了题设中所给条件ba ， bc ，事实上， b 是三角形的最大边。B 为三角形的最大角，不小于 60 。解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，要做到细致入微，不可大意。【易错题 9 】已知在四边形ABCD中， ABa ， BCb ， CDc ， DA d ，且 a b b c c d试确定四边形 ABCD的形状。解题思路：由已知易得a b cd0 ，则（ ab ） = cd ， a b 2cd 2，即 a 2b 22abc 2d22cd 。又因为 a bcd ， a 2b2c2d 2 ，同理可得 a2d2b

17、2c2 。由可得a2c2 ，即 | a | c| ， b 2d2 即 | b | d |， | AB | | DC | ， | AD | | BC | ，四边形为平行四边形，且ac ， bd ，又 abbca b ， ab 0 ， a b 。综上所述，四边形ABCD为矩形。d a，ABCD失分警示：误区：由已知可得a b c d0 ，又 a b b ccdd a ，abbc,abad, adcd. a 2 ( bd)c 2( bd) ， a 2c2 ，即 | a | | c | 。同理bccd. b 2 (ac) d 2 (ac) ，b 2d 2 ，即 | b | | d |。四边形ABCD为

18、平行四边形， ac ， bd ，又 ab b c ， b(ac)0 ， b(aa) 0 ，即 a b 0， ab 。综上，四边形为矩形。上述解法错在学生不自觉地应用了实数乘法的结合律，而向量的数量积恰恰不满足结合律，因此学习向量时一定要认真仔细研读教材，抛开思维定式的影响，避免误入思维误区。【模拟试题】一 . 选择题：1.下列各量中不是向量的是（）A. 浮力B. 风速C. 位移D. 密度2.下列说法中错误的是（）A. 零向量是没有方向的B. 零向量的长度是0 C. 零向量与任一向量平行D. 零向量的方向是任意3.设 O是正BC 的中心，则向量 AO ， OB ， OC 是（）A. 有相同起点的

19、向量B. 平行向量C. 模相等的向量D. 相等向量4.命题“若a / / b ， b / / c，则 a / / c ”（）A. 总成立B. 当 a 0时成立C. 当 b 0 时成立D. 当 c0 时成立5.已知正方形 ABCD的边长为1， ABa ， BCb ，则 | ab | 等于（）A. 0B. 2C. 2D.2 26.在平行四边形ABCD中， BCDCBA等于（）A. BCB. DAC. ABD. AC7.下列等式中一定能成立的是（）A. AB ACBCB. ABACBCC. ABACCBD. AB AC CB8.在平行四边形ABCD中，若 |BCBA | BCAB |，则四边形 AB

20、CD必是（）二 .A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 无法确定填空题：9.已知向量 a 、 b 满足 abb ，且 | b |1，则 | a | | ab |_10. 下列各命题的条件是结论的什么条件（填：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不充要必条件）（ 1） ab 是 a / / b 的 _ （2 ） | a | | b |是 a / / b 的 _（ 3） | a | | b |是 a b 的 _11. 如图，四边形ABCD为正方形，CE 为等腰直角三角形。DCABE（ 1）图中与 AB 共线的向量有 _（ 2）图中与 AB 相等的向量有 _（ 3）图中与 AB 模相

21、等的向量有 _（ 4）图中 EC 与 BD 相等吗？ _（ 5）图中 AB 与 BA 相等吗？ _12.ABC 中， BCa ， CAb ， 则 AB 等于 _三 . 解答题：13.如图，已知四 边 形ABCD是矩形，设点集M A，B，C， D，求集合T PQ|P、 Q M ，且 P、 Q不重合 。（用列举法表示）ADBC14.化简OP QP PS MP MS。15.有一两岸平行的河流，水流速度为1，小船的速度为2 ，为使小船从一岸到达另一岸时所走的路程最短，小船应朝什么方向行驶？【试题答案】1. D提示：密度只有大小没有方向。2. A3. C4. C提 示 ： 由 于 零 向 量 与 任 何

22、 向 量 都 平 行 ， 所 以 当 两 非 零 向 量 a 、 c 不 平 行 而 b0 时，有a / / b ， b / / c ，但这时命题不成立。5. C提示： | ab |ABBC| | AC| 26.A提示：DCBABCDCBABC( BA)BABC0BC或者根据平行四边形ABCD中， BCBABD ，而 BD DC BCBCDCBABC7.D8.B提示：| BCBA | |BD |， |BCAB|AC|BD|AC |即平行四边形ABCD的对角线相等，故平行四边形ABCD为矩形。9.1提示：abb ， a0 ，a | | ab | | b | 110. （ 1）充分不必要条件提示：

23、ab ，则 a 与 b 方向相同，a / / b若 a / / b ， | a | | b |不一定成立，且a 与 b 方向也不一定相反。（ 2）既不充分也不必要条件提示：若 | a | | b | ，则 a 与 b 的长度相等，但方向不一定相同。a / / b 不一定成立，反之，若a / / b 成立， | a | | b |不一定成立。（ 3）必要不充分条件提示：若 | a | | b | ， a11. （1） CD 、 BE（ 3）BC、CD、DA（ 4）相等（ 5）不相等b 不一定成立，但若ab ，一定有 | a | | b | 。（ 2） BE、 BE12.( ab )提示：根据三角

24、形法则知BC CA BA ，而 ABBAAB( BCCA )( a b )4 3 12个，13.解：以矩形ABCD 的四个顶点中的任一点为起点，其余三点中的一点为终点的向量共但这12个向量中不是各不相等，将相等的向量看作一个向量把它们一一列举出来：AC 、CA 、BD 、DB、ABDC、ADBC、BACD、DACB。AC，CA，BD，DB，AB，BA，AD，DA14. 解：原式OP PQ PS SMMPOQ0OQ（方法较多，同学们可以多找几种）15. 解：如图，在平行四边形ABCD 中， AB 表示水流速度，AD 表示小船行驶速度，AC 表示小船实际航行速度，则 |AB | 1， |AD |2

25、 ，若使小船所走路程最短，需AC 与 AB 垂直。在 Rt BAC 中， AB 1，BCAD2，AC 1即 |AC| 1，ABCACBCAD45故 BAD 90 45 135所以，当小船行驶方向与水流方向成135 的角时，小船从一岸到另一岸所走路程最短。DCAB赠送以下资料5 以内的加减法口算练习题姓名得分2+2=3+2=0+2=0+1=3-1=2+1= 2+3=1+4=1-0=2+2=0-0=3+2= 3-1=2-1=2+2=4-3=3+2=2+2= 5-4=3-1=0+4=4+1=1+0=0+0= 5-2=3+2=4-3=2+2=1+2=5-2= 1+2=2-0=1+2=4+1=2+2=2-0= 1-1=2+2=2-0=1-0=3+0=4-2= 2-0=3-0=0+1=4-1=4+1=3-1= 4-3=2-0=3-1=1+3=2-0=1-0= 3+0=1+2=5-4=1-1=2+0=3-1= 2-0=0+1=1+4=2+3=2-1=3-1= 0+0=2+2=2-0=3-1=1+0=1+2= 2+2=1+3=5-4=0+2=2+3=1-0= 5-2=3-3=1+2=2-1=3-3=3-0= 4-4=5-4=2+2=3-2=3-0=3+1= 2+1=3-3=4-4=2-0=4-0=3-2=3-0=4-3=5-2=5+0=家长签名