Z变换的基本性质教育专用

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1、X第二节第二节 Z Z变换的性质变换的性质线性性质线性性质移序性质移序性质序列乘序列乘K K性质（序列线性加权）性质（序列线性加权）Z Z域尺度变换性质（序列指数加权）域尺度变换性质（序列指数加权）初值定理初值定理终值定理终值定理时域卷积定理时域卷积定理z z域卷积定理（自学）域卷积定理（自学）反映离散信号在时域特性和反映离散信号在时域特性和z z域特性之间的关系域特性之间的关系以上性质无特别说明既适用于单边也适用于双边以上性质无特别说明既适用于单边也适用于双边.X一线性a,b为任意常数。为任意常数。)()()()()()()()(2121222111zbXzaXkbxkaxZRzzXkxZR

2、zzXkxZxx则则若若ROC：一般情况下，取二者的一般情况下，取二者的重叠重叠部分部分),max(21xxRRz 即即(叠加性和齐次性）叠加性和齐次性）注意注意:如相加过程出现零极点抵消情况如相加过程出现零极点抵消情况,收敛域可能变大收敛域可能变大.X例1 解：解：00ee21cosh0kkk )(e21)(e21)(cosh 000kZkZkkZkk 所以00e21e21zzzz 1cosh2cosh(020 zzzz 变换。的求zkk)(cosh0 azzkaZk )(已知已知并且并且 00e,emax:ROCkkz 同理同理（自学）（自学）X同理 1ch2sh)()sinh(0200

3、zzzkk 00e,emax:ROCz X)()(kakxk az 1 )1()(1kaakakykkaz )()(kykx例2零极点相消，收敛域扩大为整个零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。平面。azzzX )(azazY )(1)()(zYzX注意：注意：如果在某些如果在某些线性组合线性组合中某些中某些零点与极点相抵零点与极点相抵消消，则收敛域，则收敛域可能扩大可能扩大。1)1()(kkakakk）kkakakakykkk()(X二移序(移位)性质1.1.双边双边z变换变换2.2.单边单边z变换变换(1)左移位性质左移位性质(2)右移位性质右移位性质X原序列长度不变，只影响在时间轴上的位置

4、。原序列长度不变，只影响在时间轴上的位置。zzXkxzkx)()(:变换的双边若序列1双边z变换的移序性质O4O4O411 211 211 2)(kx)2(kx)2(kxkkkzzXzmkxm)()(X2单边z变换的移序性质 的长度一样只是位置变化，与的长度有所增减。比kxmkxmkxkkxkmkxkmkx,若若x(k)为双边序列，其为双边序列，其单单边边z变换为变换为 )()(kkxZ O44411 O11 O11 kkk)()(kkx)()2(kkx )()2(kkx X(1)左移位性质zzXkkx)()()(若若zzkxzXzkmkxmkkm10)()()()(则则为为正正整整数数其其中

5、中m 0)(1zxzzXkkx 10)(222zxxzzXzkkxmzmk)()()(zXzmkmkxmX)(2kkx)()()(zXzmkmkxm求解思路）kmkx()()1()1()2()0()2()2()1()2()2()2()2()2(kxkxkkxkkxkkxkkx 1022zxxzzXz)(2kkx)1()1()()2()2()2()1()2()()2()2()2(kxkxkkxkkxkkxkkx 1212xzxzXz同理：同理：mzmk)(无论左移序右移序特性需牢记：无论左移序右移序特性需牢记：)1()()2()2(kkkkx)1()2()2()2(kkkkx)()(zXkkx）

6、设：X证明左移位性质根据根据单边单边z变换的定义，可得变换的定义，可得 10mnnmznxzXz 0kkzmkxkmkxZ0kmkmzmkxz mkn令令 mnnmznxz 100mnnnnmznxznxzX(2)右移位性质zzkxzXzkmkxmkkm1)()()()(则则为为正正整整数数其其中中m 1)(11xzXzkkx 21)(212xxzzXzkkxzzXkkx)()()(若若 ，则时，注意：对于因果序列00 kxk)(zXzmkxm)()()(zXzmkmkxm说明说明:移序特性可将差分方程转换为代数方程移序特性可将差分方程转换为代数方程.mzmkX1m)()(zXkx因为 210

7、210)()(zxzxxzkxzXkk所以：zXzxzxzxzxxxzxzxzxxzkxkxkk13211-321013210z(-1)2(101)1()1(X证明右移位性质根据根据单边单边z变换的定义，可得变换的定义，可得 0kkzmkxkmkxZ 1mnnmznxzXz 10 mnnnnmznxznxz0kmkmzmkxz mkn令令 mnnmznxz X例题例题变换存在吗？变换存在吗？的双边的双边变换变换单边单边分别求分别求已知已知变换变换的单边的单边求求zazkakaaazazzkazkkkfkkkkk.3)1(),(,)(.2)1()1()(.11116,4,21,5,3,10)()

8、1(2)(.4kkkfkkfzk变换求以下信号单边)()1(1)(.59kfzzzF求求已知已知变换的单边双边思考：求zkk)1()2(.X三.Z域尺度定理（序列指数加权乘ak）为非零常数为非零常数则则若若aazaazXkxazzXkxk )()()(同理同理azazXkxaka )(zXkxk)(1 azXazkxzkxakxaZkkkkkk00)()()(证明：证明：说明说明:在时域乘指数序列相当于在在时域乘指数序列相当于在z域进行尺度变换域进行尺度变换.X例题例题0)()2(2)(.3)(2sin)21()(.2)()5.0()(.1mmkkkmkkfkkkfkkfz变换求以下信号单边X

9、四时域卷积定理)()()(*)()()()()(2211zHzXkhkxzzHkhzzXkx则则已知已知),max(21RRz 收敛域：收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分一般情况下，取二者的重叠部分注意：注意：如果在相乘过程中有如果在相乘过程中有零点与极点相抵消零点与极点相抵消，则，则收敛域收敛域可能扩大可能扩大。在在时时域中的域中的卷积卷积 在在z域中域中z变换的变换的乘积乘积X利用卷积定理得出常见序列的利用卷积定理得出常见序列的z变换变换)()1.(1kk)()1(.2kkak)1(.3kk1)1()()(2zzzkkazazzkakakk2)()()(1)1()1(221zzzzzz)

10、1(kk)(.4kk1)1(2zzz)1()11(kkX例题例题变换变换的的求求zkkkkk)4()()3()()1(.1变换法求卷积和）（用求如果同学练习：Zkfkfkkkfkkfkk)()()1()21()()21()()()(.221121变换的和求zkfnkkfkiinn10201)1()()()2()(.3变换的和求zkfnkkfkiinn10201)1()()()2()(.3变换的同学练习：求zkii131)2(X五乘k定理（z域微分定理）zzzXzkkxzzXkxd)(d)()()(则则若若)(dd)(zXzzkxkmm 推广 )(ddddddddddzXzzzzzzzzzzm表

11、示表示共共求导求导m次次说明说明:在时域乘在时域乘k(线性加权线性加权),相当于在相当于在z域中对域中对z变换求变换求导再乘导再乘-z.X例题例题)()()()()(.2)(2)1()()3)1()1()()2)1()1()1()()1.103221zYziifkyzFzkfkkkkfkkkfkkkfzkik变换变换的单边的单边求序列求序列变换为变换为的单边的单边已知序列已知序列变换变换求以下序列的求以下序列的X六.除k+m定理(z域积分定理)0,)(mkx(k)()(1mkmzdXzzzXkxzmm且且为整数为整数则则若若zdXz)(kx(k)0m 例题例题变换变换的的求序列求序列zkk)(

12、1akX七.时域反转11)()()()(1zzXkxzzXkx则则若若说明说明:信号在时域反转信号在时域反转 在在z域坐标变换为域坐标变换为z-1 其收敛域为倒置其收敛域为倒置(因果变为反因果因果变为反因果)例题例题)1()2)1(1)z)()(:kakaazazzkakxkkk变换变换求以下信号的求以下信号的已知已知aazzXakxk)()(域尺度变换注意：X八.时域求和性质zzXzzixkfzzXkxki)1,max()(1)()()()(则则若若)(1)()()()(:zXzzkkxixkfki用卷积和定理可得用卷积和定理可得说明说明10)()()2)1()()1(:kiikiiiakf

13、kfz质）质）用求和性质或卷积和性用求和性质或卷积和性变换变换求以下信号的求以下信号的例题例题X九初值定理()()()(0)(0)lim()zx kx kkX zxxX z若为因果序列，且存在则0)1()1(kkxx因为)0()()1()1()1()()1(xzXzkkkxkkx且 )0()(lim)1(xzXzxz 所以所以推理推理 x(1)？x(2)？理解理解:1)不需进行反变换不需进行反变换,直接由直接由X(z)求求x(0),x(1)x().2)将将X(z)在在z时的动态特性与时的动态特性与x(k)的初值联系起来的初值联系起来12)1()0()(lim)2(zxxzXzxz0)2()2(

14、kkxx12)1()0()()1()2()2()2()()2(zxxzXzkkkkxkkxX说明说明:1.由无穷远处的由无穷远处的X(z)可递推出可递推出x(k)任意时刻值任意时刻值,无需反变换无需反变换.2.因果序列初值因果序列初值x(0)若存在若存在X()值存在值存在X(z)有理多项式分母阶数有理多项式分母阶数n分子阶数分子阶数m初值初值x(0)存在的条件存在的条件:nm(含含n=m真分式真分式)如果如果:nm,X(z)是假分式（双边信号）是假分式（双边信号）)2()1()()(211221kakazXzazazX真分式真分式)()0(1zXLimxz初值定理是针对因果序列初值定理是针对因

15、果序列 按按z变换的真分式部分确定初值变换的真分式部分确定初值(含含n=m)()0(zXLimxz真分式真分式)()0(ssFLimfs真X十终值定理 1()()()()()lim(1)()zx kx kkX zxxzX z 若为因果序列，且存在则说明说明:终值终值x()存在存在X(z)的收敛域至少在包含单位园的园外的收敛域至少在包含单位园的园外(因果序列因果序列)是收敛的是收敛的在在1)()1(zzXzX(z)的全部极点在单位园内的全部极点在单位园内,如在单位圆上有极如在单位圆上有极点点,也只能是一阶极点且也只能是一阶极点且位于位于z=1(z=-1不允许不允许)终值定理存在的条件终值定理存在

16、的条件终值定理是针对因果序列且终值定理是针对因果序列且z变换极点满足上述要求变换极点满足上述要求0()()sfLimsF s 注意：拉氏变换的终值定理要求极点全在左半平面或注意：拉氏变换的终值定理要求极点全在左半平面或原点处仅有一阶极点原点处仅有一阶极点X2 zz2 z2)1(zz1 z1 zz1z)(2kk)(1kk)(1kk)(5.0kk5.0 zz5.0 z kx k终值 zXROC不存在不存在不存在不存在有，有，1有，有，0例题)()1(lim)(1zXzxz)(1kkk不存在不存在1zz1 zX总结:l线性线性l移序（单边和双边）移序（单边和双边）l尺度尺度l时域乘时域乘k除除k+ml时域卷积时域卷积l时域反转时域反转l时域求和时域求和l初值与终值定理初值与终值定理Z变换的性质变换的性质要求：灵活运用性质求要求：灵活运用性质求z变换变换X例题例题0)()()(.2?)()1()(.1ikkifkakfkakf的无限和的无限和求因果序列求因果序列条件条件的终值是否存在及存在的终值是否存在及存在信号信号