切线长定理弦切角和圆有关的比例线段通用版

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1、切线长定理弦切角和圆有关的比例线段一. 本周教学内容：切线长定理、弦切角和圆有关的比例线段1. 切线长的概念：在经过圆外一点的切线上这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。3. 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，一边和圆相切的角叫做弦切角。4. 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。5. 弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。6. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。7. 相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么

2、弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。8. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。9. 切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。二. 重点、难点：重点是和圆有关的比例线段，难点是运用和圆有关的比例线段分析问题和解决问题。易错点分析：1. 要注意切线和切线长，这是两个不同的概念，前者是直线，后者是线段的长。2. 注意弦切角与圆心角、圆周角的区别与联系，它们的空间位置不同，但在度数上有很密切的联系。另外弦切角的三个条件缺一不可。弦切角与切线有着密切的联系，做题时，遇到弦切角找到切点要连结半

3、径，这样就有垂直的关系。3. 相交弦定理、切割线定理及它们的推论，它们的结论都是线段的等积式，而不是比例式，它们可用来解关于计算和证明的题目。等积式中的各线段要记牢，不要记混。【例题分析】例1.求证：圆外切四边形的两组对边的和相等。已知：四边形ABCD为OO的外切四边形，E、F、G、H分别为切点。求证：AB+CD=AD+BC证明：AE、AF为O0的切线，且切点为E、FAE二AF,同理BF二BG,DE二DH,CH二CG.AFFBDHCH二AEBGDECG即ABCD二ADBC例2.如图所示，AB是OO的直径，AC、BF为OO的切线，CF切OO于D,DEAB于E,交BC于G,求证：DG=EGFB分析

4、：因为AC/DE/BF，所以可考虑成比例的线段来证明线段相等。由于CA、CD是OO的切线，DF、FB为OO的切线，所以CA=CD,FD=FB，这就为证明DG=EG提供了条件。证明：；AB为OO的直径，且CA、FB为OO的切线.AC_AB,FB_AB,又DE_AB.AC/DE/FBGEBEBGBGEs：BCA,ACACBC且.QDGs.CFBDG=CD?DFBGBFCFCFCBGEDFGEACAC一CFDF-CF又AC、CF、BF均为O0的切线AC=CD,DF=BF,DGBFCDCFACCFGEDFEG二DG例3.如图，AB为OO的直径，过B点作OO的切线BC,OC交OO于E点，AE的延长线交B

5、C于D点，（1）求证：CE$二CDCB,(2)若AB=BC=2,求CE、CD的长。BDC分析：要证CE2=CDCB，即要证CEDCBE证明：连结BEBC为OO的切线2由勾股定理OC=5CAACBE又OA=OE,.AAEOOEADEC,CEDCBECECB戸口2CEDs.QBE,即CE二CDCBCDCE解：（2）幕BC为。O的切线，AB为直径，.ABD=901OB=OEAB=1,BC=2CE=OC-OE5-1CECDCBCB2例4.如图，AB是OO的直径，C是AB延长线上一点，若CD切OO于D,BE切OO于B交CD于E，且CE=2DE。求证：AC=?3CDBC2证明：；ED、EB都是OO的切线.

6、ED=EBCE=2DE,.CE=2EBEB是切线，.EBA=90EBC=90eb厂/C=30,tgC,.BC=3BE3解：连结OB，过B点作BC_AE于C点2AB是切线，.AB二ADAE2.AB=12,AD=8,.12=8(8DE).DE=10,OB=OD=5,OA=13AB是切线，.OB_BA,.OBA=90BC_OA,OB=OCOA，即5=OC13251442OC,.CA,-BC2=OCCA1313BC型,13.点B坐标为(生,13说明：此例是圆的知识与直角坐标系结合的问题，其中涉及到切割线定理、相似三角形、点的坐标等知识。求点B的坐标，就需要求点B到x轴、y轴的距离，即OC与BC的长。这

7、就需要用切割线定理及相似三角形所提供的对应边成比例来提供等量关系。【考点解析】例1.如图，O是已知线段AB上一点，以OB为半径的OO交线段AB于C,以线段AO为直径的半圆交OO于点D，过点B作AB的垂线与AD的延长线交于点E。求证：AE切OO于点D;2j-(1) 若AC=2且AC、AD的长是关于X的方程X-kx4-0的两根，求线段EB的长;(2) 当点O位于线段AB何处时，ODC恰好是等边三角形？分析：因为D点在OO上，所以欲证AE切OO于点D，只要证明过D点的半径与AE垂直就可以了。连结OD，因为OD是OO半径，ADO是直径AO所对的圆周角，所以ADO=90，所以AE切OO于D。再由切割线定

8、理和三角形相似就可以求出EB的长。如果0点在AB线段上靠近B的三等分点处时，：ODC恰好为等边三角形。证明：连结0D，A0为直径，.ADO=90，D为OO上的点，.OD是OO的半径.AE切OO于点D;解：；AC=2,AC、AD是所给方程的两根2AD=45由切割线定理:2AD二ACABab=acAD2_（2、5）2BC二AB-AC=10-2=8OD=4在AOD和AEB中又EB_ABEBA=ODA=90.AODAEBODBEADABODABAD410(1) 答：当点O位于线段AB上靠近B的三等分点处时，ODC恰好为等边三角形。点评：本题考查了切线的判定、切割线定理，相似三角形，一元二次方程根系关系

9、等知识。例2.正方形ABCD的边AB是OO的弦，CF切OO于点E,交AD于F，且切点E在正方形的内部，AE、BE的长是方程X2-3Xm=0的两个实根。(1)当AB是OO的直径时(如图)用含m的代数式表示AB的长;求m的值和AF的长；(2)当AB不是OO的直径时，.IABE能否与以B、C、E为顶点的三角形相似？请说明理由。若相似，求AEAB的长。分析：连结AE、BE，因为AB是OO直径，所以.AEB是90角，在RtAEB中由勾股定理，ABAE2EB2=(AEBE)2-2AEBE。因为AE、BE是方程x2-3xm=0的两个实根，所以AEBE=3,AEBE=m，即AB可求。设AF=a，由切线长定理和

10、解直角三角形，作过F与AB平行的直线交BC于M，可得AF=EF=a,AB=BC=CE=、5,FC=.5a,CM=.5-a,FM=、5。解直角三角形FCM，可得AF。解:(1)9AB=.9-2m(0：m)2V5m=AEBE=2,AF=4(2)当圆心O在正方形ABCD外时，AEB90，则AEB是钝角三角形，而ECB是锐角三角形，AEB不可能与=CEB相似；当圆心O在正方形ABCD内时，AEB90,；CF切OO于ECEB=EAB欲使ECBABE，只须EBC=/AEB，就有AE/BC，这不可能此时ECB与ABE不相似。欲使EBCsAABE，只须EBC=/ABE，此时E在对角线BD上,EBCsABEBE

11、BCBA一BE.BE=BABC=AB2.AB二BE(AB0,BE.0).AEBE二AEAB=3点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，切线长定理，勾股定理等知识，第（2）问是探索性问题，要运用分类讨论的思想考虑各种情况。【模拟试题】一.选择题：1.在RtABC中，.C=90,BC=a,AC=b，点O在AB上，以O点为圆心作圆分别与E两点，则OO的半径长（）BC、AC相切于D、2.若圆的外切四边形ABCD的面积为Da2+b2ab220cm,AD边与BC边的和为10cm，则该圆的半径长为（A.4cm3.若OO外一点圆的半径长为（C.1cmD.以上都不对B.2cmP,P点与O点的距离为4cm,从P

12、点向OO作切线，切线长与圆的半径之差为）2cm，则A.(1、7)cmC.(.7-1)cm或(1.7)cmA.40B.30C.20D.10B.（、.7-1）cmD.（1i：7）cm或（17）cm4.AB是OO的直径，C是AB延长线上一点，CDBOO于D,-A=30，则C的度数为（5.四边形ABCD内接于OO,AB为直径，P、Q切OO于C,ABC=56，则.BCP等于（A.34B.56C.24D.1046.圆内两条弦相交，其中一条弦长为长为（）cm。8cm,而且被交点所平分，另一条弦被交点分为1:4两部分,则这条弦A.2B.87.PAB为过圆心O的割线，交OO于点、D点在OO上。贝UPC长为（C.

13、10A、B,而且）D.12PA=OA=4,PCD为OO的另一条割线，而且PC=CD,CA.4B.6C.24D.2、6二.填空题:1.已知，ABC的三边分别切OO于D、E、F，若FOD=140,EOD=100，则A=。（AB与OO交于F,BC与OO交于D,AC与OO交于E）2. 已知ABC的三边AB、BC、CA分别切OO于D、E、F三点，而且AB=7cm,AC=5cm,AD=2cm，则BC=。一条弦分圆周为2:3两部分，过这条弦的一个端点引圆的切线，则所形成的两个弦切角的度数为已知如图，弦AD与CE相交OO内一点F,延长EC与过OO上点A的切线相交于点B,若AB=BF=FD,BC=1,CE=8,

14、贝UAF=。5.已知圆内两弦AB、CD相交于点E,CE=4cm,DE=9cm,E是AB中点，OE=8cm，则OO的直径是三.解答题：1.已知如图，在直角梯形ABCD中，/A=90，以AB为直径的半圆切另一腰CD于P,若AB=12cm,梯形ABCD的面积为90cm2，求BC、CD、DA的长。2.已知如图，AB为半圆直径,PA_AB,PC切半圆于C点，CD_AB于D交PB于M,求证CM=DM。PADOB3.已知如图,AB是OO的直径，CD切OO于B，且BC=BD,AD交OO于E,若AB=8,CD=12,求CDE的面积。4.已知如图，EB是OO的直径，A是BE延长线上一点，过A点作OO的切线AC,切

15、点为D，过B点作OO的切线BC,交AC于C点，若EB=BC=6,求AD、AE的长。5.已知如图，AB是OO的直径，CD_AB于G,P是CD延长线上一点，PE切OO于E,EB交CD于F。求证：PF?=PDPCP【疑难解答】A.教师自己设计问题：1.模拟试题的第4小题涉及到的知识是什么？有几种解题方法？2.模拟试题的第5小题证明方法是什么？B.对问题的解答：1.答：此题中涉及到切线长、相似三角形、切割线定理等知识，也可以理解为涉及到勾股定理等。解法1：连结DOAC是切线，.OD_AC.ADO=90同理B=90A=/A,ADOABCOD:BC=AO：ACEB二BC=6,OB=OD=3-CD、CB都是

16、切线，.CD二CBCD=6AC=AD6OD:BC=AO:AC,3：6=(AE3):(AD6)解得AE：AD=1:2设AE=x,则AD=2xAD是切线，.AD2=AEAB即(2x)2=x(6x)解得x=2AE=2,AD=4解法2:连结ED、DB、OC,设OC交DB于F点。CD、CB是切线，.CD=CB及OC平分DCBEB二BC=6,CD=6-O是EB中点，EO=3EB是直径，.EDB=90CD二CB且CO平分.DCB,.CO_DB.DE/CO.AD:AE=CD:EO即AD:AE=2:1设AE=x，贝UAD=2x由勾股定理，有AC2二AB2BC2即(62x)(x6)26x=2AE=2，AD=42.

17、答：此题涉及到切割线定理，等腰三角形、弦切角等知识。要证明一条线段是另外两条线段的比例中项，应考虑到什么知识可以得到一条线段的平方。勾股定理和切割线定理可提供平方关系，另外含有公共边的相似三角也可以提供平方关系。因为命题中已存在切割线定理，因此很容易想到要证明PE=PF。构造与弦切角有关的辅助线，可以沟通已知和未知的关系。此题有不少证法，下面介绍两种：证法一：连结AEAB是直径，.AEB=90AB_CD，.AGF=90AGFE=180EFDGFE=180，A=EFPPE是切线，.PEF=APEF=PFEPE二PF22PE-PDPC，PF-PDPC证法二：连结OEPE是切线，.OE_EPOEBF

18、EP=90OE=OB，OEB=BBGFB二90，而且EFPBFG，BEFP=90PEF二PFEPE二PFPE是切线，PE2二PDPCPF2二PDPC【试题答案】1.A2.B3.C4.B5.A6.C7.D5.20cm1.602.8cm3.72,1084.411.提示：根据S梯形（AD-BC）AB=90，求出AD+BC=15,求出CD=15,过C点作CE_AD于E,2在RtCED中，CE=AB=12,CD=15,由勾股定理求出DE=9,设CB=x,贝UAE=x,因为ADBC=CD=15，即DE2x=15，求出X=3。所以BC=3,AD=3+9=12。2.提示：过B作BQ_AB于B，交PC延长线于Q,后通过成比例线段导出CM=DM。3.提示：过E点作EF_CD于F点，可证:DEF八DAB，得衆H，可求出BD=6,由勾股定理，求出AD=10,2又由切割线定理BD-DEDA,可求出EFABDEDA72。所以SCDEEFCDr112兰二432。252225254.见疑难解答。3. 见疑难解答。2CECD,.3CD是切线，.CD23=CBCA.AC=、3CD例5.如图，以直角坐标系的原点O为圆心作圆，A是x轴上一点，AB切OO于B,若AB=12,AD=8,求B点的坐标。