甘志国蒙日圆及其证明

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1、蒙日圆及其证明甘志国（已发表于 河北理科教学研究，015（5)：11-1）高考题 （1年高考广东卷文科、理科第2题)已知椭圆的一个焦点为,离心率为.()求椭圆的标准方程;（）若动点为椭圆外一点,且点P到椭圆的两条切线相互垂直,求点的轨迹方程答案:（);（）这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书数学必修A版（人民教育出版社，207年第3版，204年第次印刷)第2页对画法几何的创始人蒙日（GMonge，1745-1818)作了介绍.以上高考题第(）问的一般情形是定理1 曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆。定理1的结论中的圆就是蒙日圆先给出定理1的两种解析几何证法:定理1的证法

2、 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为时,可得点P的坐标是,或。当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是且，所以可设曲线的过点的切线方程是由,得由其判别式的值为0，得因为是这个关于的一元二次方程的两个根,所以 由此,得进而可得欲证成立。定理的证法2 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是，或。当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是且，所以可设两个切点分别是得直线,切线所以： 因为点既在曲线上又在直线上，所以所以 由此,可得进而可得欲证成立再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四

3、个引理.引理1 （椭圆的光学性质,见普通高中课程标准实验教科书数学选修版（人民教育出版社,207年第版,2014年第1次印刷)第7页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示）图1证明 如图2所示，设为椭圆（其左、右焦点分别是）上任意给定的点,过点作的外角平分线所在的直线先证明和相切于点,只要证明上异于的点都在椭圆的外部，即证：图2在直线上选取点，使,得,所以,还得再过点作的平分线，易得,入射角等于反射角，这就证得了引理1成立引理2 过椭圆（其中心是点O，长半轴长是）的任一焦点F作椭圆的任意切线的垂线,设垂足是，则。证明 如图3所示，设点分别是椭圆

4、的左、右焦点，是椭圆的切线上的切点,又设直线交于点。图由引理1，得(即反射角与入射角的余角相等），进而可得，所以点H是FB的中点，得OH是的中位线.又,所以.引理 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和。证明由余弦定理可证（这里略去过程)。引理 设点是矩形所在平面上一点，则。证明 如图4所示,设矩形的中心是点图4由引理3，可得即欲证成立注 把引理4推广到空间，得到的结论就是:底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等。定理1的证法3 可不妨设当时，易证成立。下面只证明的情形。如图5所示.设椭圆的中心是点,左、右焦点分别是，焦距是，过动点P的两条切线分别是。图5连结，作，垂足分别是.过点作

5、，垂足为,由引理2得.再作于。记,得.由Rt，得.又作，垂足分别为.在Rt中，同理可得. (1）若,得矩形,所以（2）若,得由，得，所以。同理,有,所以四边形是平行四边形，进而得四边形是矩形，所以. 由(1）,（2）得点P的轨迹方程是。定理1的证法 可不妨设。当时，易证成立。下面只证明的情形。如图所示。设椭圆的中心是点O，左、右焦点分别是,焦距是，过动点P的两条切线分别是，两切点分别为. 分别作右焦点关于切线的对称点，由椭圆的光学性质可得三点共线(用反射角与入射角的余角相等)同理，可得三点共线。图6由椭圆的定义，得，所以。由是的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和,可得 (1

6、)若，得,即三点共线.又，所以,进而得（2)若,得所以同理,可得所以三点共线.得,即. 由(1），()得点的轨迹方程是。定理1的证法5 （该证法只能证得纯粹性）可不妨设.当时，易证成立.下面只证明的情形。如图所示，设椭圆的中心是点O,左、右焦点分别是，焦距是，过动点P的两条切线分别是,切点分别是。设点关于直线的对称点分别为,直线与切线交于点,直线与切线交于点。图7得，再由椭圆的定义,得,所以.因为四边形为矩形,所以由引理4得，所以,得点P的轨迹方程是读者还可用解析几何的方法证得以下结论：定理 （1)双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆；(2）抛物线的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准

7、线。定理 （1）椭圆的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方程是;（2)双曲线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方程是定理4 过椭圆上任一点作椭圆的两条切线,则(1）当时，所作的两条切线互相垂直;()当时,所作的两条切线斜率之积是。定理5 (1）椭圆的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是：当时，即圆(但要去掉四个点)；当且时，即椭圆(但要去掉四个点）;当时,即两条直线在椭圆外的部分(但要去掉四个点)；当时，即双曲线在椭圆外的部分（但要去掉四个点);当时，即双曲线在椭圆外的部分(但要去掉四个点)。（）双曲线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是：当时，即圆；当时，即双曲线；当或时，即椭圆；当时,不存在.(3)抛物线的两条斜率之积是的切线交点的轨迹是：当时，即直线；当时，的方程为。 例 (北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题）已知 若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是_ 解 .在图8中,若小圆(其圆心为点，半径为)的过点的两条切线互相垂直(切点分别为），得正方形，所以，即点的轨迹是以点为圆心,为半径的圆图8由此结论可得：在本题中,点在圆上。所以本题的题意即直线与圆有公共点，进而可得答案。注本题的一般情形就是蒙日圆。10 / 10