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1、2.3 幂函数、指数函数、对数函数【导入与测试】1. D.解析：.说明：（1）当范围一致时，；当范围不一致时，.（2）注意比较的方法，先和比较，再和比较.2.答案：；提示：，且.【知识回顾与整理】（一）指数与对数对数运算1.指数与对数的意义：(,)；2.指数的性质与运算法则：（1），（2），（3），（4），（5）.3.对数的性质与运算法则： （1）性质：0；1；负数与零无对数.（2）运算法则：；.4.指数、对数式的恒等变形：（1）；（2）N.5.对数的换底公式：（,，,）. （以上均满足条件：，）（二）幂函数、指数函数、对数函数的定义1.幂函数：函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数.2.指数
2、函数：函数（，且）称为指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.3.对数函数：函数（，且）称为对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为（0，）.（三）幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质1. 幂函数（1）图象：（2）性质：2. 指数函数与对数函数（四）反函数1.反函数的概念：设函数的定义域为A，值域为B. 如果从中用y把x表示出来，得到，并且对于B中任意一个y，在A中有唯一的x与之对应，那么就表示x是y的函数，这个函数称为原函数的反函数；的反函数记为.2.简单的反函数的求法：先从中用将x用y表示出来，再按习惯（即用x表示自变量，用y表示函数值）将解出来的表达式的x与y的位置同时互换，即得原
3、函数的反函数.3.互为反函数的性质：互为反函数的两个函数的主要性质有（1）反函数的定义域和值域，分别是原函数的值域和定义域.（2）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.（3）原函数与其反函数具有相同的单调性.（五）三种函数的关系与比较1.指数函数与对数函数的关系：指数函数（，）与对数函数（，）互为反函数；它们的图象关于直线对称.2.三种函数（幂函数、指数函数与对数函数）增长的比较：（根据具体函数，运用数形结合方法进行比较.比如，对函数，作比较，以体会它们增长的快慢.）【课堂练习】1. B解析：，.2. C解析：， .3. 答案：；解析： .（另法）：，由得，即.注意：此法的实施需要自变量在定
4、义域中.4.解：由得，即得函数的定义域为，即，令，当，即时，评注：本题在解题实践中，很容易错成函数的定义域为.【基础训练A组】一、选择题1.A解析：为奇函数且为增函数.2. D解析：3. D解析：由得，即关于原点对称；4. D解析：对于，为奇函数；对于，显然为奇函数；显然也为奇函数；对于，为奇函数.二、填空题5. 答案：；解析：6. 答案：；解析：，得7. 答案：； 解析：而8. 答案：； 解析：，而三、解答题9（1）解：，（2）解：原式10解：且，且，即定义域为； 为奇函数； 在上为减函数【综合训练B组】一、选择题1D解析：由得.2B解析：3B 4A解析：二、填空题5答案：；解析：原式6答案
5、：.7答案：；解析：，8答案：；解析：须取遍所有的正实数，当时，符合条件；当时，则，得，即三、解答题9解：， 当，即或时，； 当，即时，； 当，即时，10说明：(1)要判断函数的单调性，必须首先确定其定义域；(2)注意分类讨论与灵活运用复合函数的单调性；(3)重视互为反函数的“两域”之间的对应关系，本题也可由u (x)1求值域【提高训练C组】一、选择题1C. 2B. 3A. 二、填空题4答案：；解析： 5答案：8.6答案：（） ； （） 三、解答题7 说明：(1)由于函数的定义域制约着函数的图象，故从定义域考虑可轻松获得本例第(1)题的证明； (2)第(2)题证明过程的实质，是比较灵活地运用了函数的单调性8说明：(1)此例题中关于单调性的讨论，还可用求导数的方法(具体过程省略)；(2)求解分段函数问题时，需要注意函数的定义域，同时有效利用函数的周期性解题- 7 -
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