复变函数的导数

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1、1任任 群群北京理工大学理学院北京理工大学理学院2第二章第二章 解析函数解析函数 本章首先介绍连续函数与函数导数的本章首先介绍连续函数与函数导数的概念，重点研究解析函数，并探讨了解析概念，重点研究解析函数，并探讨了解析函数与调和函数的关系，最后介绍几个基函数与调和函数的关系，最后介绍几个基本的初等函数本的初等函数.32-1 复变函数的导数一、导数的概念及其求导法则二、微分的定义及其可微的充要条件4如果极限如果极限，上的复变函数上的复变函数是定义于区域是定义于区域设设 ,)(00DzzDzDzfw 1 1定义定义).(,)(.)(000zfzzfzzf 记作记作的导数的导数在在这个极限值称为这个

2、极限值称为可导可导在在存在，则称存在，则称 )()(lim 000zzfzzfz (1)导数的定义导数的定义一、导数的概念及其求导法则5注意注意.)0(0的的方方式式是是任任意意的的即即 zzz.)()(,0000都趋于同一个数都趋于同一个数时时内以任意方式趋于内以任意方式趋于在区域在区域也即也即zzfzzfzDzz .)(,)(可导可导在区域内在区域内称称则则内的每一点可导内的每一点可导在区域在区域如果函数如果函数DzfDzf0000)()(limdd)(0zzzfzfzwzfzzz ).(zfD 记为记为上的导数构成导函数，上的导数构成导函数，此时，在区域此时，在区域6.)(2的导数的导数

3、求函数求函数zzf 1 1例例zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz z2 zz2)(2 7是否可导？是否可导？问问yixzf32)(2 2例例zzfzzfzfzz )()(limlim00解解yixyixiyyxxz32)(3)(2lim0yixyixz 32lim000 0 yxxz即即，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设xyoz0 y8xyoz0 yyixyixz 32lim022lim0 xxx0 xyixyixz 32lim033lim0 yiyiy不存在不存在的导数的导数所以所以.32)(yixzf 00 0

4、yxyz即即，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设9(2)可导与连续的关系可导与连续的关系 函数函数f(z)在在z0 处可导，则在处可导，则在z0 处一定连续处一定连续,但但函数函数 f(z)在在z0 处连续不一定在处连续不一定在z0 处可导处可导.必有必有点可导点可导在在，由，由 ,)(0zzf事实上事实上0)()()(lim0000 zfzzfzzfz)()()()(000zfzzfzzfz 令令10,0)(lim 0 zz 再由再由 )()(00zfzzf ,)()(lim 000zfzzfz 所以所以 .)(0连续连续在在即即zzf ,)()(0zzzzf 可知，可知，

5、反过来，由例反过来，由例 2 ;32)(不可导不可导yixzf 不不可可导导续续性性定定理理，知知连连续续，由由连连，但但二二元元函函数数.32)(3),(2),(yixzfyyxvxyxu 11(3)求导法则求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数的定义在形式上完全一致，同时，复变中导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同，此处略且证明方法相同，此处略.求导公式与法则求导公式

6、与法则:.,0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnzznn 12 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )().()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)(,)()(,)(1)()7(wwzzfwwzf 且且函数函数两个互为反函数的单值两个互为反函数的单值是是与与其中其中13 由此可以看出，复变函数的导数定义与一复变函数的导数定义与一元实函数的导数定义在形式上完全一样，它们元实函数的导数定义在形式

7、上完全一样，它们的一些求导公式与求导法则也一样。的一些求导公式与求导法则也一样。然而，复变函数的导数要求极限存在与然而，复变函数的导数要求极限存在与 变变量量 z 趋于趋于 z0 的方式无关的方式无关,这与二元实函数的极限这与二元实函数的极限相一致，是否可以说明相一致，是否可以说明复变函数的导数就是两个复变函数的导数就是两个二元实函数的导数？二元实函数的导数？上节例上节例 2说明问题不是那么简单。说明问题不是那么简单。141.可微的概念可微的概念 复变函数可微的概念在形式上与一元实变复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致。函数的微分概念完全一致。复变函数可微与可导是否也具有

8、一元实变复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系？函数可微与可导的关系？，使得，使得若存在复常数若存在复常数的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，在在设函数设函数定义：定义：Azzfw0)()()(00zzAzfzzf 可微。可微。在点在点，则称，则称其中其中00)(0lim zzfz 二、微分的定义及其可微的充要条件二、微分的定义及其可微的充要条件15可可导导的的充充要要条条件件是是在在复复变变函函数数0)(zzfw 引引理理).()(00zfAzzf 处可微，且处可微，且在点在点，则，则存在，且记存在，且记设设)()(00zfAzf 证明证明 )()(lim 000zzf

9、zzfz A )()(00Azzfzzf 令令16 )()(00zzAzfzzf 则则且且.0lim 0 z可微。可微。在点在点这说明函数这说明函数0)(zzf反过来可容易证明反过来可容易证明17与一元函数类似地与一元函数类似地,记记,d)()(d00zzfzzfw .)(00可微等价可微等价可导与在可导与在在在引理告诉我们，引理告诉我们，zzzfw .)(,)(内可微内可微区域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数DzfDzfzzfwd)(d 182.充要条件充要条件Cauchy-Rieman简介19定理定理:设函数设函数 在区域在区域D D内确定，则内确定，则函数

10、在点函数在点 可导可导的充分必要条件是：的充分必要条件是：与与 在在 可微可微 在在 的导数为的导数为条件条件(*)常称为常称为柯西柯西黎曼条件黎曼条件（C.C.R.R.条件）条件）iyxvyxuzf),(),()()(zf),(yxviyxz000yvxuxvyu),(yxuiyuyvixvxuzf)(yixz*柯西黎曼条件方程（C.R.方程）Diyxz00020 :),(),()(000处处的的导导数数公公式式点点在在由由该该定定理理，可可得得函函数数iyxzyxivyxuzf .1)(0yvyuixvixuzf21推论：推论：设设 。若。若 和和 在在 的四个一阶偏导函数在点的四个一阶偏

11、导函数在点 均连续并且满足均连续并且满足 C-R C-R 方程，方程，则则 在点在点 处可导。处可导。注意：注意：1 1）在点在点 可微等价于它在该可微等价于它在该点可导。但不等价于其实部函数与虚部函数在点点可导。但不等价于其实部函数与虚部函数在点 可微。可微。2 2）一个二元实函数在某点可微的一个二元实函数在某点可微的充分充分条件是：条件是：它的两个一阶偏导数在该点不仅存在，而且是它的两个一阶偏导数在该点不仅存在，而且是连续。连续。iyxvyxuzf),(),()(),(yxu),(yxv),(00yx)(zfiyxz000)(zfiyxz000),(00yx22判别可导性判别可导性P33,

12、4(3)判断函数f(z)=zRe(z)在哪些点可导，哪些点连续。f(z)zRe(z)=x2+ixy，u=x2，v=xyf(z)在整个复平面连续xyvyxvyuxxu,0,2C-R方程2x=x，0=-y仅有解x=0且y=0，又因u(x,y),v(x,y)在点(0,0)可微，所以f(z)仅在点z=0处可导。23 Q 研究 在 的可导性。（说明在上面定理中 的可微性不可去）Q 判别函数 的可导点。xyzf)(0z),(),(yxvyxuiyxzf22)(24例例1 1 试证函数试证函数 （n n为自然数）在复平面为自然数）在复平面上处处可导，且上处处可导，且nzzf)(1)(nnzzf证证 用定义来

13、证明用定义来证明对于复平面上的任意一点对于复平面上的任意一点 z z，由导数定义有，由导数定义有 于是，于是，在点在点z z的导数存在且等的导数存在且等于于 由点由点 z z 在复平面上的任意性，证得在复平面上的任意性，证得 在复平面上处处可导在复平面上处处可导 函数函数 在复平面解析在复平面解析 25例例2 2 设设 定义在复平面上，试定义在复平面上，试证证 于复平面上仅在原点可导于复平面上仅在原点可导zzzfRe)()(zf证用定义来证明证用定义来证明若若 ，则因，则因 所以，所以，在点在点 可导可导 )(zf26若若 ，则有，则有 令令 ，于是有，于是有 由于上式当由于上式当 在过点在过

14、点 z z 平行于虚轴的直线上趋于平行于虚轴的直线上趋于（即（即 ）时，其极限为）时，其极限为 x x，而，而当当 在过点在过点 z z 平行于实轴的直线上趋于平行于实轴的直线上趋于（即（即 ）时，其极限为）时，其极限为 ，所以，当所以，当 时，时，不存在，故不存在，故 在点在点 处不可导处不可导 )(zf27 于复平面上仅在原点可于复平面上仅在原点可导导zzzfRe)(可证得函数可证得函数 在复平面上处处不在复平面上处处不可导该函数在复平面上是一个处处连续可导该函数在复平面上是一个处处连续,但又但又处处不可导的函数处处不可导的函数.zzf)(28用用LHospital法则求法则求 型的极限型

15、的极限00 设函数f(z)和g(z)在点z0可导且 ，试证等式P34,60)(0zg0)()(00zgzf)()()()(lim000zgzfzgzfzz证证:)()()()()()(lim)()()()(lim)()(lim00000000000zgzfzzzgzgzzzfzfzgzgzfzfzgzfzzzzzz说明说明:(1)当 而 时，极限为无穷大。0)(0zg0)(0zf(2)当 时，可继续用LHospital法则求极限0)()(00zgzf(3)的情形，可用 把问题转化为求 的极限zz10如如:11coslimsinlim1sinlim00zzz291789.8.211789.8.2

16、1生于法国、巴黎生于法国、巴黎1857.5.231857.5.23卒于法国、斯科卒于法国、斯科A.L.Cauchy(A.L.Cauchy(柯西柯西)简介简介数学分析严格化的开拓者数学分析严格化的开拓者复变函数论的奠基人复变函数论的奠基人弹性力学理论的建立者弹性力学理论的建立者在方程、群论、数论、几在方程、群论、数论、几何、光学、天体力学等也何、光学、天体力学等也有出色贡献。有出色贡献。多产的科学家多产的科学家(800(800多篇论文多篇论文)，分析大师，分析大师。30Riemann(Riemann(黎曼黎曼)简介简介1826.9.171826.9.17生于德国、汉诺威生于德国、汉诺威1866.7.201866.7.20卒于意大利卒于意大利除博士论文外，生前发表除博士论文外，生前发表1010篇篇论文，遗作论文，遗作1010多篇，对现代数多篇，对现代数学影响最大的数学家之一学影响最大的数学家之一。开创了复变函数论、代数函开创了复变函数论、代数函数论、常微分方程解析理论、数论、常微分方程解析理论、解析数论。解析数论。实分析、级数理论、几何学、数学物理等重大突破实分析、级数理论、几何学、数学物理等重大突破。