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1、,一、基本概念,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,规定,法向量的方向来区分曲面的两侧.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,曲面的投影问题:,类似地,可定义在yOz面及zOx面的投影:,希自己写出,在xOy面上的投影,在xOy面上的投影区域的面积附以一定的,实际上就是,正负号.,的二面角.,二、概念的引入,实例:流向曲面一侧的流量.,1.分割,则该点流速为.,法向量为.,2.求和,3.取极限,三、概念及性质,被积函数,积分曲面,类似可定
2、义,存在条件:,组合形式:,物理意义:,性质:,四、计算法,注:当曲面,母线平行于z轴的柱面时,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,解,计算对坐标的曲面积分时:,(1)认定对哪两个坐标的积分,将曲面表为这两个变量的函数,并确定的投影域.,(2)将的方程代入被积函数,化为投影域上的二重积分.,(3)根据的侧(法向量的方向)确定二重积分前的正负号.,一投,二代,三定号,例,其中是,所围成的正方体的表面的,先计算,由于平面,都是母线平行于x轴的柱面,则在其上对坐标y,z的积分为0.,解,三个坐标面与平面,外侧.,x=a面在yOz面上的投影为正,而,x=0面在yOz面上的投影为负.,投影域
3、均为:,0ya,0za,故,由x,y,z的对等性知,所求曲面积分为3a4.,后两个积分值也等于a4.,五、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系,向量形式,28,上侧为正,下侧为负,化为二重积分,一投,二代,三定号,向量的点积法(合一投影法),29,前侧为正,后侧为负,若光滑有向曲面由方程x=x(y,z)给出,在yOz面上的投影区域为Dyz,函数x(y,z)在Dyz上,具有一阶连续偏导数,则,化为二重积分,30,若光滑有向曲面由方程y=y(x,z)给出,在xOz面上的投影区域为Dxz,函数y(x,z)在Dxz上,具有一阶连续偏导数,则,化为二重积分,右侧为正,左侧为负,解,在xOy面上的投影区域为Dxy:,例,其中,解,法一,直接用对坐标的曲面积分计算法.,且其投影区域分别为,由于取上侧,在第一卦限部分的,上侧.,面的投影,都是,正的,取上侧,法二,利用向量的点积法计算.,取上侧,锐角.,六、小结,1、物理意义,2、计算时应注意以下两点,3、两类曲线积分之间的联系,向量的点积法(合一投影法),思考题,思考题解答,此时的左侧为负侧，,而的左侧为正侧.,练习题,练习题答案,
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