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1、讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组第五讲 行程问题（一）（一）我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.在对小学数学的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时间（t）、速度（v）和路程（s）这三个基本量，它们之间的关系如下：（1）速度时间=路程 可记为：s = vt（2）路程速度=时间 可记为：t = sv（3）路程时间=速度 可记为：v = st显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.路程、速度、时间的关系【例1】 汽车以每小时72千米的速度从甲地到乙地，到达后立即以每小时48千
2、米的速度返回甲地求该车的平均速度【分析】（法1）设甲乙两地的距离是S千米，平均速度=（千米/小时）.（法2）特殊值法.设甲乙两地的距离是144千米（72和48的最小公倍数），（千米/小时）.【例2】 汽车往返于A、B两地，去时时速为40千米，要想来回的平均时速为48千米，回来时的时速应为多少？【分析】设甲乙两地的距离是S千米，回来时的时速为x千米/小时，解得x=60（千米/小时）.【例3】 有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为每秒4米、6米和8米，求他过桥的平均速度【分析】（法1）设上坡、平路及下坡的
3、路程均为S千米，平均速度=（千米/小时）.（法2）特殊值法. 设上坡、平路及下坡的路程均为24千米，平均速度=（千米/小时）.相遇问题：速度和相遇时间=路程和 相遇问题【例4】 两地相距400千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时比甲车多行5千米，4小时后两车相遇了吗？【分析】乙的速度为40 +5 = 45（千米），（40 + 45）4 = 340（千米），340千米 400千米 ，因为两车4小时共行340千米，所以4小时后两车没有相遇. 巩固 甲、乙两地相距480千米.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行52千米， 行驶312千米后遇到从乙地开来的另一辆汽车.如果乙地
4、开来的汽车每小时行42千米，算一算这两辆车是不是同时开出的？【分析】31252 = 6（小时），（480312）42 = 4（小时），从甲地开出的汽车行驶6小时，从乙地开出的汽车行驶4小时，所以说，这两辆车不是同时开出的.【例5】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车分别往南和往北驶去，南辕先生出发2小时后北辙先生才出发，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?【分析】为让学生深刻理会，教师可先讲解下题.前铺1 大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每
5、分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？【分析】大头儿子和小头爸爸的速度和：300050=60(米分钟)，小头爸爸的速度：(60+24)2=42(米分钟)，大头儿子的速度：6042=18(米分钟).前铺2 孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄之间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空的速度是200千米小时猪八戒的速度是150千米小时，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？【分析】 建议教师画线段图我们可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路程：(200+150)2=700(千米)，又因为还差500米，
6、所以花果山和高老庄之间的距离：700+500=1200(千米)教师在讲解此题之前可以先将条件稍稍改变成两人同时出发，那么两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，这样学生就容易得到本题答案，502+（50+60）5=650（千米）.【例6】 夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中点50米处相遇，求两地的距离是多少米?【分析】根据题意，我们可以画线段图如右图，从图中可以看出（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？）：夏夏所行路程=全程一半 50米 ；冬冬所行路程=全程一半 + 50米 ；所以两人相遇时，冬冬比夏夏多走了502=100(米)，冬冬
7、比夏夏每分钟多走10米，所以两人从出发到相遇共走了10分钟，两地的距离：(60+50)10=1100(米).【例7】 甲乙两列火车同时从东西两镇之间的A地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？ 【分析】教师注意帮助学生画图分析.从出发到甲、乙两列火车相遇，两列火车共同行驶了2个全程.已知甲比乙少行120千米，甲每小时比乙少行（7060 =）10（千米），12010 = 12（小时），说明相遇时，两辆车共同行驶了12小时.那么两辆车共同行驶1个全程需要6小时，东西两
8、镇之间的路程是（60 + 70）6 = 780（千米）追及问题：速度差追及时间=路程差 追及问题【例8】 小伟和小华从学校到电影院看电影，小伟以每分60米的速度向影院走去，5分后小华以每分80米的速度向影院走去，结果两人同时到达影院.学校到影院的路程是多少米？【分析】小伟先走的路程是：605300（米），小华追上小伟所用的时间（也就是小华从学校到影院所用的时间）是：300（80-60）=15（分），学校到影院的路程（也就是小华所走的路程）是：8015=1200（米）.【例9】 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？【分析】可以作
9、为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是：5010（75-50）=20（分钟），因此，小张走的距离是：75201500（米）.【例10】 小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第一次超过正南需要多少分钟？第三次超过正南需要多少分钟？ 【分析】小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据，可知小新第一次超过正南需要：800（250-210）=20（分钟），第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要8003（250-210）=60分钟.【例11】 两名运动员
10、在湖的周围环形道上练习长跑甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？【分析】在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长.这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度.环形道一周的长度：（250-200）45=2250（米）.反向出发的相遇时间：2250（250+200）=5（分钟）.【例12】 龟兔赛跑同时出发，全程7000米，乌龟以每分30米的速度爬行，兔子每分钟跑330米兔子跑了10分钟就停下来睡了200分钟，醒来后立即以原速往前跑当兔子追
11、上乌龟时，离终点的距离是多少千米?【分析】兔子追乌龟的追及路程差为：30(10+200)-33010=3000(米)，兔子追上乌龟的追及时间为：3000(330-30)=10(分)，离终点的距离为：7000-330(10+10)=400(米).小朋友，你知道谁先到达终点么？附加题目 【附1】 一辆汽车往返于甲、乙两地，去时用了4小时，回来时速度提高了1/7问：回来时用了多少时间？【分析】设甲乙两地的距离是S，去时的速度为，回来的速度为，所以回来用时为（小时）.【附2】 甲乙两车早上6时分别从A、B两地相向出发，到9时两车相距126千米，继续行进到中午12时，两车还相距126千米，问A、B两地路
12、程是多少千米?【分析】两车的速度和为：1262（9-6）=84(千米) ，A、B两地的总路程为：843+126=378(千米) .【附3】 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？【分析】走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36123（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是36（31）9（分钟）.【附4】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追
13、他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【分析】如右图可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米），而爸爸骑的距离是 48=12（千米），这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 1243（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8324（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了41216（千米），少骑行24-168（千米），摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟，881632，这时是8点32分.【附5】 某段路程，以每分钟80米的速度前进，可以提早1
14、5分钟到达；如果以每分钟60米的速度前进，就要迟到5分钟预定几分钟到达？这段路程长多少米？【分析】可以设想，以速度80米/分按预定时间前进，就比这段路多行（8015）米，即1200米；以速度60米/分，按预定时间前进，就比这段路少行（605）米，即300米以两种不同的速度按预定时间前进，其距离差为（1200+300）米，即1500米，速度差为（80-60）米/分，预定时间可视为追及时间这样，就可以把问题转化成追及问题来解.（1200+300）（80-60）=75分，80（75-15）=4800米，预定75分钟到达，这段路程长4800米.练习五1. 汽车往返于A、B两地，去时时速为60千米，要想
15、来回的平均时速为70千米，回来时的时速应为多少？【分析】设甲乙两地的距离是S千米，回来时的时速为x千米/小时，解得x=84（千米/小时）.2. 甲乙两车分别从相距300千米的、两城同时出发，相向而行，已知甲车到达城需5小时，乙车到达城需6小时，问：两车出发后多长时间相遇？【分析】300（3005+3006）=30/11（小时）.3. 两座大楼相距300米，甲乙二人各从一座大楼门口向相反方向走去，7分钟后两人相距860米.甲每分钟走37米，乙每分走多少米？【分析】（860300）737 = 43（米）.4. 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然
16、后在离甲、乙两地的中点3千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.【分析】小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是：6（5-4）6（小时），因此甲、乙两地的距离是：（54）654（千米）.5. 甲乙二人从AB两地同时出发相向而行，相遇时距A地48千米，相遇后二人继续前进，分别到达A、B两地后立即返回，在距A地94千米处第二次相遇，A、B两地相距多少千米？【分析】 画图帮助学生分析.甲、乙第二次相遇时共同走完了3个全程，那么甲就走了3个48千米，即144千米，加上94千米，就是两个全程.（483 + 94）2 = 119（千米）.课外故事成功并不像你想像的那么难并不是因为事情难我
17、们不敢做，而是因为我们不敢做事情才难的。1965年，一位韩国学生到剑桥大学主修心理学。在喝下午茶的时候，他常到学校的咖啡厅或茶座听一些成功人士聊天。这些成功人士包括诺贝尔奖获得者，某一些领域的学术权威和一些创造了经济神话的人，这些人幽默风趣，举重若轻，把自己的成功都看得非常自然和顺理成章。时间长了，他发现，在国内时，他被一些成功人士欺骗了。那些人为了让正在创业的人知难而退，普遍把自己的创业艰辛夸大了，也就是说，他们在用自己的成功经历吓唬那些还没有取得成功的人。作为心理系的学生，他认为很有必要对韩国成功人士的心态加以研究。1970年，他把成功并不像你想像的那么难作为毕业论文，提交给现代经济心理学
18、的创始人威尔;布雷登教授。布雷登教授读后，大为惊喜，他认为这是个新发现，这种现象虽然在东方甚至在世界各地普遍存在，但此前还没有一个人大胆地提出来并加以研究。惊喜之余，他写信给他的剑桥校友-当时正坐在韩国政坛第一把交椅上的人-朴正熙。他在信中说，我不敢说这部著作对你有多大的帮助，但我敢肯定它比你的任何一个政令都能产生震动。后来这本书果然伴随着韩国的经济起飞了。这本书鼓舞了许多人，因为他们从一个新的角度告诉人们，成功与劳其筋骨，饿其体肤、三更灯火五更鸡、头悬梁，锥刺股没有必然的联。只要你对某一事业感兴趣，长久地坚持下去就会成功，因为上帝赋予你的时间和智慧够你圆满做完一件事情。后来，这位青年也获得了成功，他成了韩国泛业汽车公司的总裁。人世中的许多事，只要想做，都能做到，该克服的困难，也都能克服，用不着什么钢铁般的意志，更用不着什么技巧或谋略。只要一个人还在朴实而饶有兴趣地生活着，他终究会发现，造物主对世事的安排，都是水到渠成的。学而思教育 08年春季 五年级 系统复习班 第五讲 教师版 Page 7 of 7
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