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1、第一讲 随机事件及其概率1了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算2理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式3理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.主要内容与典型例题一 随机试验与随机事件1.随机试验 随机试验满足以下三个特点：试验的所有可能结果（不止一个）是确定的；每次试验会发生什么结果是无法事先预知的； 试验可以在相同的条件下重复进行。但也有不少的随机试验不满足这个条件.2.
2、样本点与样本空间 试验的每一个可能结果称为样本点,用表示。所有样本点组成的集合就是样本空间，用表示。3.随机事件，基本事件，必然事件，不可能事件: 样本空间的子集称为随机事件，简称事件，用A，B，C等记之。由单个样本点构成的随机事件成为基本事件，样本空间为必然事件，不含任何样本点的事件称为不可能事件。二 事件的关系与运算1.包含关系:事件A发生必导致事件B发生,记为。2.相等关系: 若且。3.并事件: ， 。4.差事件: 5.交事件: ，。6.互斥事件: A和B不同时发生。7.对立事件: ，.8.事件的运算律: 交换律:,；结合律:, ；分配律:，；对偶律: ,；三 事件的概率及其性质1.定义
3、:设随机试验的样本空间为，若对每个事件A，有且只有一个实数 与之对应，并满足以下公理： （非负性）； （规范性）；（可列可加性）对任意一列两两互斥事件，有；则称为事件A的概率。2.性质: ； ；若互斥，则； 若，则，且； 推广：四 条件概率与事件的独立性1.条件概率: 设有两个事件和，称已知发生的条件下发生的概率为的条件概率，记为，且有。2.独立性: 若两事件A和B满足或，则称A和B相互独立。类似的还有两两独立和相互独立的定义。3.简单性质: 在和，和，和，和这四对事件中，只要其中有一对独立，则其余三对也独立。五 重要的概率模型1.古典概型: 古典概型的特点为：试验的可能结果只有有限个；各个可
4、能结果是等可能的；设试验一共有个可能结果，而所考察的事件含有其中的个，则事件的概率为 注 古典概率的计算难点在于A包含的样本点数的计算。在计算样本点数的时候，常用到以下排列组合公式：从个不同元素取的排列数为：；从个元素中有返回地取个的排列数：；从个不同元素取的组合数为：；2.几何概型：向某个可度量的有界区域D内随机地投掷一点，如果落在D内任何两个测度相等的子区域的可能性相等，则随机点落在D的子区域A内的概率为 注 如果D和A是数轴上区间（平面区域或立体区域），则测度就是区间长度（面积或体积）； 几何概率的计算关键是找出事件A所对应的子区域，并计算其测度。3.贝努利概型：在重贝努利试验中，事件恰
5、好发生次 的概率为：。六 重要公式1.乘法公式：2.全概率公式：设事件两两互斥，且。事件满足 则有。3.贝叶斯公式：设事件两两互斥，且，,事件满足 则有。第二讲 随机变量及其分布1.理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布 、泊松(Poisson)分布及其应用.3.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布 、正态分布 、指数分布及其应用.4.会求随机变量函数的分布.主要内容与典型例题一 随机变量及其分布函数、分布律与密度函数1.随机变量 对于给定的随机试验,是其样本空间,若对,
6、有且只有一个实数与之对应,则称此定义在上的实值函数为随机变量。2.分布函数 设是一个随机变量，称函数 为随机变量的分布函数。 性质 （）；对任意两点，当时，有；（）； 注记 满足上述性质、和的函数必为某随机变量的分布函数。 P 3.分布律 性质 ，。4.密度函数 设随机变量的分布函数为,若非负函数,对任意的，使得 则称为连续型随机变量, 为的概率密度函数,并称的分布是连续型分布。 性质 ； ；（满足上述两个性质的函数必为某随机变量的密度函数）是连续函数,且在的连续点处有；对，有；对任意的，有二 重要的一维分布1.（0-1）分布 分布律为，。2.二项分布 在重贝努利试验中，事件发生的次数的分布为
7、 记作。当时，二项分布即为（0-1）分布。3.泊松分布 分布律为，记为。4.均匀分布 密度函数和分布函数分别为 和 记作.5.指数分布 密度函数和分布函数分别为 和 记为。6.正态分布 密度函数为 记作。当时，密度函数为 称服从标准正态分布，记为。 性质 标准正态分布的密度函数为偶函数，所以有，其中是的分布函数。 若，则有 ，继而有。三 随机变量函数的分布1.离散情形 设离散型随机变量的分布律为 则的分布律为 其中、具有各不相同的值。若的值中有相同的，则应把那些相同的值分别合并，同时把对应的概率相加。2.连续情形 设的密度函数为,求的密度函数的步骤为 先求的分布函数：再求的密度函数：。 第三讲
8、 多维随机变量及其分布1.理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率.2.理解随机变量的独立性的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.主要内容与典型例题一 二维随机变量及其分布函数1.定义 设试验的样本空间为，对于每一个样本点，都有确定的两个实数与之对应，称有序数对为二维随机变量（或二维随机向量），简记为。并称和是二维随机变量的两个分量。2.分布函数 设
9、是二维随机变量，称二元函数，为二维随机变量的联合分布函数。性质 ；且；对任一固定的，；对任一固定的，； 关于和是单调不减的。 关于和均为右连续函数。 。3.关于的边缘分布函数：关于的边缘分布函数：4.独立性的判定 与独立。二 二维离散型随机变量1.定义 如果二维随机变量所有可能取值只有有限多对或无穷可列多对，则称为二维离散型随机变量。2.联合分布律 设二维离散型随机变量的所有可能取值为，且取各可能值得概率为， 或写成表格形式： 则称或为的联合分布律。性质 ，； 。3.的边缘分布律： ，的边缘分布律： 。4.独立性判定 与相互独立的充要条件是对一切都有.三 二维连续型随机变量1.定义 设为二维随
10、机变量的联合分布函数，若存在一个非负可积的二元函数，使得对于任意的实数、，有。则称为二维连续型随机变量，称为的联合密度函数。性质 ； ； 设是平面上的区域，则落入区域内的概率为。 在的连续点，有。2.关于的边缘密度函数：，关于的边缘密度函数：， 3.独立性判定 与相互独立的充要条件是在、的一切公共连续点上都成立。四 常见的二维分布1.二维均匀分布 联合密度函数为，其中是平面上的某个区域，则称服从区域上的均匀分布。 注 在区域上服从均匀分布的二维随机变量，其取值可看作向平面内随机地投掷一点，而此点落入内任何子区域内的概率与子区域的面积成正比，而与子区域的位置无关。2.二维正态分布 联合密度为 ，其中均为常数，且，则称服从二维正态分布，记作。3.关于正态分布的结论设,则；且和相互独立；但若仅仅有，则由不能推得和相互独立；设，则，；设和相互独立，且，为常数，则特别地，。五 两个随机变量函数的分布1.离散情形2.连续情形设的联合密度为，求的密度函数的步骤： 首先求出的分布函数：。 对分布函数求导，可得到密度函数，即。3. 设，为个相互独立的随机变量，的分布函数为，则及的分布函数分别为 和 。特别地，当，相互独立且具有相同的分布函数时，有 ， 。
概率第一章到第三章知识点总结
