四年级上下册疑难问题解答

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1、四年级上册疑难问题解答一、教材第20页提到“0也是自然数，最小的自然数是0”，这与九年义务教育小学数学教科书中的说法不一致。这什么要做出这样的改动？从历史上看，国内外数学界对于自然数的定义一直存在着两种观点。一种观点认为0不是自然数。例如, 意大利数学家皮亚诺于1889年提出了一组刻画自然数特征的公理，包括以下五条：（1）1是自然数。（2）任一自然数都有唯一自然数为其后继数。（3）没有两个相异的自然数有同一后继数。（4）1不是任何自然数的后继数。（5）如果1具有性质P，且任何具有性质P的自然数其后继数也具有性质P，则一切自然数都具有性质P。从这组公理可以清楚地看到，皮亚诺把0划归在自然数之外的

2、。再如，上海辞书出版社出版的辞海（1999年版）把自然数解释为：在人类历史发展的最初阶段，由于计量的需要，用以表示个数的数目。首先有数目一，以后逐次加一，即得二、三、四等等，统称为“自然数”。建国以来，我国的中小学教材一直采用自然数的这种定义，用N=1，2，3，4，5，来表示自然数集，而用N*=0，1，2，3，4，5，表示扩展的自然数集。还有一种观点把0划归为自然数的范畴。例如，对现代数学基础有很大影响的法国布尔巴基学派的数学原本中，从集合论的角度，把0作为空集的基数，这样，所有有限集合的基数就都可以用自然数来刻画了。目前，国际上大多数国家也把0纳入自然数集中。为了国际交流的方便，国家技术监督

3、局于1993年12月27日发布的中华人民共和国国家标准（GB31003102-93）量和单位第311页，就已经规定自然数集N=0，1，2，3，。在现代汉语词典2005年6月第5版中也把自然数定义成：零和大于零的整数，即0，1，2，3，4，5，。根据上述原因，教材研究编写人员在对原九年义务教育教材进行修订和编写课程标准实验教材时，依据有关国家标准对自然数的定义进行了修改，规定0属于自然数。二、对于亿这样比较大的计数单位，怎样帮助学生建立相应的数感？新课标非常强调对学生数感的培养，教材中也在相关的单元编入了大量帮助学生建立数感的素材。例如，在认识20以内的数、100以内的数时，教材就注意通过估一估

4、、数一数等活动帮助学生形成对十、百等数量大小的感觉。但是，对于一些比较大的计数单位（如万、亿），如何建立相应的数感？确实成为教师们教学中的困惑。首先要说明一点，为了叙述方便，这儿所讲的数感仅仅指对一个数量相对大小的感觉（事实上，数感有着更丰富的内涵，指的是关于数与数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计、数量关系等方面的感悟）。数感的培养不是一两堂课就能达到目标的。因此，在日常教学中，需要时时处处进行这方面的渗透，不断积累这方面的经验。例如，为了帮助学生形成对100这个数的感觉，教师可以通过让学生看百羊图、数100粒花生、数100根小棒、估计一堆水果的数量等活动，来建立相应的数感。由上面的

5、例子也可以看出，数感的培养不可能是一个抽象的过程。空泛地让学生说一说“1万有多大？1亿有多大？”并没有太大的意义，应该借助大量的生活经验，帮助学生感受某种具体事物某个数量的相对大小。即便是借助直观的物体，学生也未必能建立起很好的数感。例如，我们可以让学生观察一个由1000（101010）个小正方体组成的大正方体，感受1千有多大，也可以让他们看十个这样的正方体，感受1万有多大，但如果想通过同样的方式来建立1亿的数感，恐怕在操作层面上是难以实行的。要建立1亿的数感，需要发挥学生的想像力，凭借生活经验，形成一种大致的感觉就可以了，教学时要求不宜过高。教材中提供了一些帮助学生建立数感的范例，教学时可以

6、参考借鉴。例如，第12页的第15题，让学生通过一些数学策略和生活经验判断某个数据信息的合理性，就是一种很好的建立数感的方式。再如，第4页的“你知道吗”以及第33页的“1亿有多大”，都是借助一些具体活动，通过计算，帮助学生感受1亿的相对大小。但要感受1亿，并不像较小的计数单位那样，仅仅凭用眼看、用手摸等直观活动就能达到目的，还需要学生能更好地利用数学工具，同时，要具备很好的长度观念、质量观念、时间观念，更需要学生有较强的想像能力，所有这些，都可以辅助学生较好地建立1亿的数感。例如，1亿名小学生手拉手可以绕地球赤道3圈半，学生虽然不可能对地球赤道的长度有亲身体验，但可以利用想像和简单的科学知识，进

7、行粗略的感受。除了教材上提供的这些素材以外，教师还可以充分发挥学生的创造性，让学生自行选择素材，设计各种活动，感受丰富多样的“1亿”，如：一亿名小学生站在一起，占地面积大约是多少；1亿粒大米有多少；1亿粒黄豆有多少；1亿滴水有多少；等等。三、教材中介绍了计算器的使用，但实际教学中一般不允许使用计算器，应如何处理这一矛盾？随着经济、科技的快速发展，计算器、计算机在生活中的使用越来越广泛。对于社会生活中一些大数目、多步骤的复杂计算，纸笔运算、珠算等显然已经不能完全满足新的要求，需要有更先进的计算工具来代替。因此，计算器乃至计算机的使用已经成为现代社会公民的一项基本技能要求，在小学阶段要求学生学会使

8、用计算器，是符合社会发展的要求的。新课标在第二学段中明确要求学生：“能借助计算器进行较复杂的运算，解决简单的实际问题，探索简单的数学规律。”根据社会的发展状况和课标的精神，教科书中除了介绍计算器的基本使用方法以外，还编入了一些利用计算器探索数学规律的习题。与此同时，我们也应看到，在小学阶段，学生的主要任务是较好地掌握口算、笔算、估算技能。在此次小学数学课程和教材改革中，虽然删去了大量的数目较大、步骤较多的计算内容，计算要求也相应降低，但是值得注意的是，基本的计算能力仍然要求学生熟练掌握，这一点不会因为教材中引入计算器而有所改变。学生对四则运算的意义、算理、算法的理解和掌握，仍然是小学数学教学的

9、重点。因此，要求学生熟练掌握口算、笔算、估算技能与学习使用计算器不是对立的，而应该和谐统一、互为促进。在计算教学中，首先要使学生学会判断何时使用口算，何时使用笔算，何时使用估算就足够了，何时又最好使用计算器。根据不同的情境、不同的要求，选择合适的算法，是对学生计算能力的基本要求。试想一下，学生学会计算器以后，如果面对67这样的简单计算也用计算器去计算，我们该如何评价其计算能力呢？但如果碰到的是像32842367.7这样的计算，又何必为难学生，非得要求他们用笔算呢？我们认为除了学习基本的按键方法以外，学生可以在以下情况使用计算器：计算涉及到的数目较大，计算涉及的步数较多，验算（要求笔算验算的除外

10、），利用计算器探索和验证数学规律。当然，计算器不是万能的。有时，对于一些特殊的题目，如1998+1999+2000+2001+2002，运用巧妙的简算方法，速度更快，准确率更高。再如，有时由于按键失误，反而引起错误，此时利用口算、估算的技能，也可以帮助验证计算器计算的准确性，如计算325125，如果积的个位不是5，就可以判断一定是按错键了。因此，在学习这部分内容时，要避免两种极端的做法。一是因为教材中编入了计算器的内容，一遇计算就使用计算器，使得学生的口算、笔算能力大幅滑坡。二是怕学生养成对计算器过分依赖的坏习惯，索性就不教学生使用计算器，这种讳疾忌医的做法也是没有必要的。关键是在教学中根据具

11、体情况灵活把握尺度，既要保证学生的基本计算能力得以牢固掌握，又要使学生掌握先进的计算工具，在一个信息化的时代，这种技能的培养也是不可或缺的。四、教材第60页的问题解决中，运用了乘法估算，并把两种估算方法加以比较。估算方法有好坏之分吗？应怎样展开估算教学？估算能力是学生计算能力中很重要的一个方面，新课改中加大了估算内容的比重，这也是符合各国数学课改的潮流的。估算的功能分为两方面，一是数学上的功能，例如培养数感（如判断2412=2408计算结果的合理性），为精确计算作准备（如要计算49212时，往往先用48010或49010或50010来试商）。二是估算在生活中的应用，当无法精确计算或没有必要精确

12、计算时，有时用估算也能解决问题。下面谈的主要是第二种情况。在进行估算教学时，可以从以下几方面去思考，以供参考。一、估算意识与估算技能的培养同样重要，前者的重要性有时甚至超过后者。过去的教学中，教师往往把更多的注意力放在“如何估算”上，例如，先用“四舍五入法”求出算式中的近似数，再对近似数进行精确计算，这样，估算就变成了一种僵化的固定的方法。对于“为什么要估算”，过去关注得比较少。实际上，学生能否根据不同的情境灵活选择合适的算法，是考查其解决问题能力的重要方面。对面对一个数据模糊不清甚至残缺的问题情境时，有的学生束手无策，因为数据不完整，无法精确计算，但有的学生却能利用已有信息，灵活运用估算策略

13、，把问题解决，这就反映出两类学生不同层次的解决问题水平。二、估算策略的灵活性问题。上面已经谈到，过去教学估算，策略往往是唯一的、固定的，但实际生活中解决一个现实问题时，常常是“条条大路通罗马”，选择何种估算策略，并没有一定之规。例如，要解决这样一个问题：“燕鸥每天飞735千米，从北极到南极行程17000米，20天能飞到吗？”可以把735看成750，也可以把735看成800，都能达到解决问题的目的。三、估算策略的有效性问题。抽象地讨论估算方法的优劣似乎意义不大，因为判断优劣的标准本身就不好定。但对于一个具体的问题情境而言，这种讨论还是有必要的。要判断某种估算策略是否合理，其标准就是利用该策略能否

14、解决该问题。就拿教材第60页例5来说，第一种解法是典型的“四舍五入”的估算方法，但在这儿却对解决问题无效，因为把一个因数估小了，另一个因数估大了，不能把最后的估算结果5000作为解决问题的依据。第二种解法是把两个因数都估大了，估算出要准备5500元钱，一定能解决问题。四、要明确一点，估算不是万能的。有时候，某种估算策略能在某一问题情境中加以应用，是因为无需利用精确计算就可解决该问题。但有的时候，用若干估算策略仍然不能解决问题，说明该问题仅用估算是不够的，必须进行精确计算。例如，要解决这样一个问题：“89个同学去公园，门票9元一张，带800元够吗？”如果把89估成90，909=810，如果把9估

15、成10，8910=890，如果把89估成80，809=720，这三种策略都不能很好地解决这个问题。在这种时候，说明用估算不足以解决问题，要精确计算。总之，在解决某一具体问题时，可能存在多种可用的估算策略，也可能用任何一种估算策略都不能解决问题。估算策略是否可用，完全是视问题情境（包括其中的数据）灵活而定，在某一情境中适用的策略，在另一情境中不一定适用。五、如何理解教材第114页“做一做”第1题中的优化问题？关于饭馆做菜问题，我们可以从两方面来谈优化的问题。一是让顾客等待的时间问题，二是饭馆的客流问题。我们可以用一个最简单的模型来描述教材上所描述的问题。共有两个厨师，三位顾客，每位顾客点两个菜。

16、假设做每个菜的时间是3分钟，吃每个菜的时间是5分钟。（当然这只是假设，实际情形要复杂得多。）方案一：先做顾客1的两个菜，再做顾客2的两个菜，最后做顾客3的两个菜。方案二：先做顾客1和2的第一个菜，再做顾客1的第二个菜和顾客3的第一个菜，最后做顾客2和3的第二个菜。那么可以算出两种方案中每位顾客的等候时间和离开时间。方案1：顾客1顾客2顾客3吃上第一个菜的时间第4分钟第7分钟第10分钟吃上第二个菜的时间第4分钟第7分钟第10分钟离开饭馆的时间第14分钟第17分钟第20分钟方案2：顾客1顾客2顾客3吃上第一个菜的时间第4分钟第4分钟第7分钟吃上第二个菜的时间第7分钟第10分钟第10分钟离开饭馆的时

17、间第14分钟第15分钟第17分钟由此可以看出，在这个最简单的模型里，如果把方案一的炒菜和上菜的顺序改为方案二，第一是客人等候第一个菜上来的时间都减少了，就不会有那么多怨言。第二是大部分人离开的时间都会提前，这样，作为饭馆而言，客流就会比较快，就可以接待新的顾客进来。当然，以上只是在假设炒菜为3分钟和吃菜为5分钟的情况，作为一个一般模型，还可以假设炒一个菜为x分钟和吃一个菜为y分钟，那情况就很复杂了。如果把整个饭馆的客流问题做成一个数学模型，就更复杂了。当然，我们不要求小学生解释以上这些道理，但学生可以根据生活经验加以解释，如：如果一个人一个人地上菜，那最后一个人等候的时间太长了，就会有意见了，

18、时间都浪费在等待上了。等等。六、如何理解第115页例3码头问题的实际意义？关于码头上货问题，主要是从码头调度的角度来考虑排队问题的意义，而不是从船老板的“感受”角度来考虑，因为任何一条船都希望自己是第一个卸货。排队论在公共汽车、机场等交通调度方面有很重要的意义。为了叙述方便，我们把8小时卸完的那条船叫船1，4小时卸完的叫船2，1小时卸完的叫船3，我们假设三条船同时到岸，等候时间指的是从到岸那一刻开始，到该条船卸完货这段时间。方案一：先卸船1，再卸船2，再卸船3。船1等候：8小时船2等候：8412小时船3等候：84113小时3条船等候时间总和：8121333小时方案二：先卸船3，再卸船2，再卸船

19、1。船3等候：1小时船2等候：145小时船1等候：14813小时3条船等候时间总和：151319小时假设这个码头只有三个泊位，那按方案一，在第9小时才能空出一个泊位来接纳新的船只，而按方案二，在第2小时就可以空出一个泊位来接纳新的船只，这样，码头就会减少拥堵的可能性。四年级下册疑难问题解答一、课标教材为什么改变了“混合运算”的编排方式？九年义务教育数学教材对“混合运算”的编排采用的是与应用题结合成独立单元并进行多次循环的编排方式。即在低年级逐步引入混合运算、直观描述运算顺序，中年级再系统出现整数四则三步混合运算的各种情况（包括小括号和中括号的使用），之后在高年级“整数、小数四则混合运算和应用题

20、”单元对四则混合运算顺序加以整理和概括出现第一级运算和第二级运算的概念，为学生初中时学习第三级运算做准备。这样的编排有利于学生加深对混合运算顺序的理解，逐步形成列综合算式的能力。本套实验教材根据数学课程标准的理念与要求“能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运算”，改进了混合运算和运算顺序的编排方式。首先，在低年级没有单独安排“混合运算”单元，而是结合现实的素材逐步引入混合运算，如一年级上册和二年级上册出现的“加减混合”，二年级上册出现的乘加、乘减，二年级下册出现的含有小括号的加减混合运算，等等。使学生在解决现实问题的过程中，初步理解混合运算的作用，体会运算顺序。在中年级时，再结

21、合解决现实问题，较为系统的介绍四则混合运算及运算顺序。这样的编排通过较丰富的现实素材，使学生逐步体会、理解混合运算及运算顺序，同时，在丰富的感性经验的基础上，四年级出现比较抽象的运算顺序，符合学生数学学习的认知规律，并可促进学生思维水平的提高。二、在后面的教材中还会安排“混合运算”的单元吗？在本套课标教材中，我们只在本册安排了“四则运算”这个单元，来教学和梳理整数四则混合运算的顺序，在后面的教材中不会再安排“混合运算”的单元了。小数四则混合运算和分数四则混合运算的顺序也都是在此单元总结的基础上，让学生进行迁移类推。因此，教师在教学这一单元时，根据课程标准的精神，应该让学生在经历解决问题的过程中

22、，感受混合运算规定的必要性，从而系统地掌握混合运算的顺序，并为后续学习做好准备。三、在九年义务教育数学教材第八册“整数四则运算”单元对四则运算的意义进行系统的概括和总结，在课标教材这一相应的单元“四则运算”中，为什么没有？九年义务教育数学教材是根据九年义务教育数学大纲中“理解四则运算的意义，掌握加法与减法、乘法与除法之间的关系，使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育”这一教学要求编排了相应的内容。在课标教材的编写过程中，我们根据数学课程标准中“结合具体情境，体会四则运算的意义”的要求，没有对四则的意义进行概括。本册这一单元主要是教学并梳理混合运算的顺序。四、有关第二单元“位置与方向”的教学问题1

23、.教材中为什么要安排这一内容？数学课程标准在第二学段的“空间与图形”内容标准中规定，“能根据方向和距离确定物体的位置；能描述简单的线路图。”并给出了解释说明这一目标的例题“例5：假设大门在教室的正南方向50米处，图书馆在教室北偏东60?方向的100米处。试画出示意图”“例6：画出从学校到家的路线示意图，并注明方向及主要参照物。”我们根据数学课程标准的规定在本册教材中安排了“位置与方向”这个单元。 2.例2中要求“在平面图上标出校园内各建筑物的位置”，学生还没有学习比例尺的知识，如何进行教学？首先，这一题目的重点是要让学生在探索的过程中，明确如何根据方向和距离，在图上标出物体的位置。教师应放手让

24、学生探索、交流，使学生明确要在图上标出建筑物的位置，需要先确定什么（方向），再确定什么（距离）。其次，考虑到学生没有学习比例尺的知识，在确定图上距离时有一定难度，教材在例1的“做一做”和相应练习的设计上都做了一些准备。例如，在例1的“做一做”中，将小明家到学校的图上距离平均分成了四段，并标注了实际距离为400米。其他几个地点到小明家的图上距离也都分成了同样长度的若干段，并让学生填出实际距离。练习三的第2题中，还进一步给出了“用一条注有数量的线段表示地面上相对应的实际距离”的形式。最后，待学生完成后，教师可以先让学生在班内集体展示和交流各自的绘制方法，比较各种方法并说一说怎样画更简便、更清楚。再

25、向学生介绍平面示意图的一般画法。根据教科书第19页下半部给出的示范性的示意图，教师可以告诉学生在绘制平面示意图的时候，可以用一条注有数量的线段表示地面上相对应的距离，并引导学生按通常所用的方式绘制示意图。五、有关第三单元“小数的意义和性质”的问题1为什么改变“小数点位置移动引起小数大小的变化的规律”中“扩大倍”“缩小倍”的说法？在小学数学中“小数点位置移动引起小数大小的变化的规律”中“扩大倍”与“缩小倍”的表述，是我国老一辈教材研究编写专家在总结广大教师教学经验的基础上经过研究采用的表述方法。“扩大倍”与“缩小倍”在小学数学阶段约定俗成的理解是：扩大几倍就是乘几。缩小几倍就是除以几。但是一些人

26、对此有不同的看法，有人认为：数a扩大n倍，应是a+na倍，而不是na。也有人认为：“倍”只适用于数的扩大，不适用于数的缩小。考虑到上述问题以及与中学的衔接，我们在本套教材中进行了尝试性的改变。在“小数点位置移动引起小数大小变化规律”中，将“扩大倍”“缩小倍”修改为“扩大到倍”“缩小到分之一”。2“扩大到倍”“缩小到分之一”的这种表述涉及到了分数，学生还没有学习分数运算的知识，如何进行教学？现在的这种表述涉及到了分数，而在课标教材的知识结构中，学生还没有接触到系统的分数知识，而且这些知识也比较抽象，对于这一阶段的小学生来说，理解是有一定困难的。所以以教材的编排注重通过借助直观和形象图来帮助学生理

27、解。例如，精心设计了孙悟空变长金箍棒打小妖的动画情境帮助学生探究小数点位置移动引起小数大小变化规律；在探讨把一个小数扩大到它的10倍、100倍、1000倍和缩小到它的1/10、1/100、1/1000怎样移动小数点时，借助了面积图直观的帮助学生理解。在教学例5时，由于学生还没有系统地学习分数的知识，学生在理解“小数点向左移动一位、二位、三位，小数分别缩小到它的1/10、1/100、1/1000这个规律”时，可能会出现困难。在教学时，很多教师不但充分的利用教材提供的素材，而且还创造性地使用教材。例如，有的老师续编了孙悟空变长金箍棒打小妖的动画情境。在孙悟空打完小妖后，增加了将金箍棒依次缩小，再放回到耳朵里的情节。利用金箍棒长度的变化直观帮助学生理解这个规律。还有的教师在教学时发现学生理解这个规律有困难，于是并不急于让学生一下子就掌握，只是让学生先记住这个规律。再教学完例6、例7后，再反过来利用直观的面积图加深学生对“小数点位置移动引起小数大小变化规律”的理解。6