第八章第一节空间几何体的结构三视图和直观图表面积和体积

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1、第八章 第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积第八章 立体几何第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积第一部分 五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 A. B. C. D. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,俯视图 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为.答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.2.一个棱锥

2、的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为（A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+243.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：24.在区间-1，1上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).A. B. C. D. 【解析】:在区间-1，1上随机取一个数x,即时, 区间长度为1, 而的值介于0到之间的区间长度为,所以概率为.故选C答案 C【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得

3、.5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是答案: C6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是A. 南 B. 北 C. 西 D. 下解：展、折问题。易判断选B7.如图，在半径为3的球面上有三点， 球心到平面的距离是，则两点的球面距离是A. B. C. D. 答案 B8若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 A. B. C. D. 答案 C9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，

4、过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）答案 B二、填空题10.图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=_答案 11.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_12若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 答案 18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为1813.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 答案 414. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。 解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球

5、的表面积为. 15正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 答案 816体积为的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于 答案 17如图球O的半径为2，圆是一小圆，A、B 是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为，则= .答案 18.已知三个球的半径，满足，则它们的表面积，满足的等量关系是_. 答案 19.若球O1、O2表示面积之比，则它们的半径之比=_.答案 2三、解答题20（本小题满分13分） 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧

6、（左）视图； （2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线平面. 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（）该安全标识墩的体积为： （）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , 又 平面PEG 又 平面PEG； 20052008年高考题一、选择题1.(2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED答案 A2.（2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这

7、条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）A B C D答案 C【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为，由题意得，所以，当且仅当时取等号。3.（2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A.9 B.10C.11 D12答案 D【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为3. (2007宁夏理8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）1020

8、10202020俯视图侧视图正视图 答案B4. （2007陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D 答案B5.（2006安徽）表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A B C D答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，则此球的直径为，故选A。6.（2006福建）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）A.2 B. C. D.答案 D【解析】正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于，选D.7.（ 2006湖南

9、卷）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60则该截面的面积是 ( ) A B.2 C.3 D.答案 A【解析】过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60，则截面圆的半径是R=1，该截面的面积是，选A.8.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )A. 1 B. 13 C. 13 D. 19答案 C【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为13，选C.9.（2005全国卷）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 ( )A. B. C. D.答案B10.（20

10、05全国卷）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为 ( ) A. B.C. D.二、填空题11.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为答案 【解析】令球的半径为，六棱柱的底面边长为，高为，显然有，且.12.（2008海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为_答案 【解析】正六边形周长为，得边长为，故

11、其主对角线为，从而球的直径 球的体积.13. （2007天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为答案 14.（2007全国理15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.答案 ABCPDEF15.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是_答案 【解析】显然正六棱锥的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，又正六棱锥的高依题意可得为2，依此可求得.第二部分 三年联考汇编2009年联考题一、 选择题1.（2

12、009枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）ABC D 答案 D2.（2009天津重点学校二模） 如图，直三棱柱的主视图面积为2a2,则左视图的面积为（ ） A2a2 Ba2 C D答案 C3. （2009青岛二模）如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有( )A3块 B4块 C5块 D6块答案B正视图侧视图俯视图4. （2009台州二模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）A. B.C . 4 D. 8答案 C5. （2009宁德二模）右图是一个多面体

13、的三视图，则其全面积为( ) A B C Dr答案 C6. （2009天津河西区二模）如图所示，一个空间几何体的正 视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为( )AZ BC D答案B7. （2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右俯视图主视图图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )A与 B与 C与 D与答案 C8. （2009厦门大同中学）如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( )2俯视图主视图左视图212 A. B.21 cm C. D. 24 cm 答案 A9.（抚州一中2009届

14、高三第四次同步考试）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是( ) A.22 B.12 C.424 D.432答案 D二、填空题10.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .答案 11.（2009南京一模）如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，若截面是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 .答案 12.（2009广州一模）一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为_cm2. 俯视图正(主)视图 8 5 5 8侧(左)视图

15、 8 5 5答案 8013.(2009珠海二模)一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为_ 答案 29月份更新一、选择题1.（2009滨州一模）设、是两个不同的平面，为两条不同的直线，命题p：若平面，则；命题q：，则，则下列命题为真命题的是 （ ）Ap或qBp且qCp或qDp且q答案C2.（2009聊城一模）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABCD答案B3.（2009临沂一模）一个几何体的三视图及长度数据如图， 则该几何体的表面积与体积分别为A、 B、 C、 D、答案C4.（2009青岛一模）如右图，一个

16、简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是A B. C D. 答案C俯视图正(主)视图侧(左)视图23225.（2009上海闸北区）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A BC D答案C6.（2009泰安一模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 体积等于 (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D)12答案A7.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）ABCD以上都不对答案C二、填空题理第11题1.（2009上海八校联考）已知一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截

17、面的距离等于此球半径的一半，若，则球的体积为_。答案 2.（2009上海青浦区）如图，用一平面去截球所得截面的面积为cm2，已知球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是 cm3.答案 AOCB第19题图三、解答题1.（2009上海普陀区）已知复数，（是虚数单位），且.当实数时，试用列举法表示满足条件的的取值集合.解：如图，设中点为，联结、.由题意，,所以为等边三角形，故，且.AOCB第19题图D又，所以.而圆锥体的底面圆面积为,所以圆锥体体积.2.（2009上海奉贤区模拟考）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90, AB=BC=1. (1)求异面直线B1C1与AC所成角的大小；(2

18、)若直线A1C与平面ABC所成角为45, 求三棱锥A1-ABC的体积. （1）因为，所以BCA（或其补角）即为异面直线与所成角 -(3分)ABC=90, AB=BC=1，所以， -(2分)即异面直线与所成角大小为。 -(1分)（2）直三棱柱ABC-A1B1C1中，所以即为直线A1C与平面ABC所成角，所以。 -(2分)中，AB=BC=1得到，中，得到， -(2分)所以 -(2分)3.（2009冠龙高级中学3月月考）在棱长为2的正方体中，（如图）ABCDA1B1C1FED1是棱的中点，是侧面的中心（1） 求三棱锥的体积；求与底面所成的角的大小（结果用反三角函数表示）（1） （2）取的中点，所求的

19、角的大小等于的大小， 中，所以与底面所成的角的大小是4. (2009闸北区) 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为的中点（）求四棱锥的体积；（）求异面直线OB与MD所成角的大小解：（）由已知可求得，正方形的面积，2分所以，求棱锥的体积 4分（）方法一（综合法）设线段的中点为，连接，则为异面直线OC与所成的角（或其补角） .1分由已知，可得，为直角三角形 .2分， .4分所以，异面直线OC与MD所成角的大小 .1分方法二(向量法)以AB,AD,AO所在直线为轴建立坐标系，则, 2分， .2分 设异面直线OC与MD所成角为，3分 OC与MD所成角的大小为1分20072008年联考题一、选择

20、题1.(2008江苏省启东中学高三综合测试二)如图在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EFDE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD 的体积是 （ ） 答案 B2.(2008江苏省启东中学高三综合测试四)一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为，则球的体积为 ( ) A. B. C. D. 8 答案 A3. (福建省南靖一中2008年第四次月考) 球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离都等于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为，则此球的体积为 （ ）A. B. C. D. 答案 D4.(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)已知中，AB=2，BC=1，平面ABC外一点P满足PA=PB=PC=2，则三棱锥PABC的体积是（ ） AB C D答案 D5.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）A B2 C4D答案C6.(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟) 三棱锥PABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 ( )A. 4 B. 6 C. 8 D. 10答案 A18